指数函数重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

指数函数重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.设集合4={尤|2，<8"€川},2={尤€冈-1<%<2},则AuB等于()

A.{0,1}B.{x|x<3}C.{止l<x<3}D.{0,1,2}

,ff(x+l),x<4,、

2.已知函数/(%)=；］；则/z(2+感3)=()

A.8B.12C.16D.24

3.设直线丫=冽分别交曲线G：y=3"与曲线C2：y=3-于M,N两点，若点尸在G上，满足二PMN为

等边三角形，则也=()

A.BB.9C.述D.3A/3

332

4.已知函数/(x)的定义域为R,y=/(尤)-4e'为奇函数，y=/(x)+2e*为偶函数，则的最小值

为()

A.273B.4如C.66D.8囱

5.设函数〃x)=3*(i)在区间,空上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(-co,-1)B.[-3,0)C.(0»1]D.[3,+co)

6.若函数/(x)=e£在区间(2,+s)上单调递增，则实数机的取值范围为()

A.[—2,0)B.(—co,—2]C.(—oo,0)D.[2,+oo)

7.已知函数〃彳)=沙盟-1为偶函数，记诏〃豌。&),6=〃1暇5),c=〃2m),则。/,c的大

小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设无eR,用印

表示不超过尤的最大整数，则>=田称为高斯函数，例如：~兀]=-4,[1.5]=1,已知函数/(x)=m，

设g(x)="(初，则下列结论错误的是()

A.f(x)是奇函数B.g(x)是奇函数

C./(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,0}

9.已知函数/5)=鼻-尤-2,若/'(加)+/(2)+2>0恒成立，则实数，"的取值范围是()

A.(-2,1)B.(T2)C.(0,2)D.(2,4)

10.若正实数。，b,c满足ablna=c,则()

A.a>bB.a>cC.b>cD.c>b

二、多选题

11.设函数/(x)=2^+21,则下列说法错误的是()

A.7(x)在(0,+s)上单调递增

B./(x)为奇函数

C.Ax)的图象关于直线x=l对称

D./(x)的图象关于点(1,0)对称

12.已知函数〃x)=/+(l+a)'(o>0),则下列结论中正确的是()

A.当。之1时，函数/(x)单调递增

B.存在正数。，使得函数“X)为偶函数

C.函数/(X)的图象与直线丁=2有两个交点

D.若函数/(x)在(0,+“)上单调递增，则实数。的最小值为与1

三、填空题

13.已知函数/(x)=2”一心2-，是偶函数，则。=.

14.已知/(x)=2T-2'—x,贝U/(x2-3)+/(2x)<0的解集为.

四、解答题

15.已知函数/(无)=]三是定义在R上的奇函数(。>0⑦>0).

⑴求“X)的解析式;

⑵求当xe[0』时，函数g(x)=•(3工+1)+9=1的值域.

16.已知函数/(x)=log2匕为常数,函数g(x)=2"+加

(1)若/(X)为奇函数，求。的值.

⑵若函数g(x)在[0,8)上单调递增，求实数机的取值范围.

(3)在第⑴问的条件下，当机=0时，x2e[1,+«),函数y=〃g(x))在区间上的值域为

[log?«.g⑸+2-3r),log2(f.g㈤+2一33,求实数f的取值范围.

Q

17.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，当xNO时，f{x}^a-y-Tx,且/(-!)=§.

(1)求。的值，并求出了(x)的解析式；

⑵若2/(无)-9、--1440在xe(0,+8)上恒成立,求2的取值范围.

18.已知函数/(司=^^+忖

⑴求函数“力的值域；

/7-I-4

(2)若x＞0时，恒有〃可＜2"2-，+9三二，求实数a的取值范围.

2—2

\-nx

19.已知定义在R上的函数/(x)=-------(。＞0且a/l).

l+ax

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若外1)=-＜，试判断函数/(元)的单调性并加以证明；并求/(彳)+1-相=。在［-2,3］上有解时，实

数加的取值范围.

参考答案

题号12345678910

答案DDCADCCBAB

题号1112

答案ABDABD

1.D

【分析】根据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解.

【详解】因为集合4=司2，<8,彳—*}={1,2},8={无©叫-1<》<2}={0,1},

则AuB={0,l,2}.

故选：D.

2.D

【分析】根据分段函数的定义域、对数、指数的运算可得答案.

【详解】因为3<2+log23<4,则3+1鸣3>4,

3

^l^/(2+log23)=/(3+log23)=2x3=24.

故选：D.

3.C

【分析】求出尸点坐标，代入函数解析式求解.

【详解】由3*=加得尤=logs机，即MQog?，由3>2=〃?得x=bg3〃7+2,即N(log3“7+2,/”),

所以|肱V|=2,PMN为等边三角形,如图，贝!JP(log3祖+1,m—6)，

所以用-垂>=3bg3^+1-2,解得m=±m,

2

故选：C.

4.A

【分析】由奇偶函数定义，利用方程组法求/(%)解析式，再利用基本不等式求最值.

【详解】由y=I(x)-4e”是奇函数，f(-x)-4e~x=-f(x)+4ex,

由y=/（x）+2e*是偶函数,得/（-%）+2尸=/（%）+2e¥,

联立解得了（X）=e，+3仁N2Je*-3仁=2百，当且仅当即x=；ln3时取等号，

所以/（x）的最小值是26.

故选：A

5.D

【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.

【详解】因为函数y=3"在R上单调递增，而函数在区间（0,£|上单调递减,

则有函数＞=了（尤-°）=,一£|［!在区间］。，3上单调递减，

因此■|2|,解得a之3,所以实数。的取值范围是［3,内）.

故选：D.

6.C

【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.

【详解】由函数〃尤）的定义域为（-8，祖）3"?，+8），

设”上一,贝ljy=e'，

x-m

又＞=6'单调递增，

当机=0时，r=o,y（x）=e°=l,无单调性，不成立；

当心＜0时，—在（-8,7〃）和（〃4+8）上单调递增，

x-m

即〃元）=新工在（一8，m）和（机,+。）上单调递增，

所以（2,+8）q（m,+8）,则机V2,即机＜0；

当相＞0时，/=——在（-8,间和（办+8）上单调递减，

x-m

即〃%）=6^在（一8四）和（也+8）上单调递减，不成立；

综上所述m＜0,

故选：C.

7.C

【详解】试题分析：因为/（%）为偶函数，所以/（r）=/（x）,

../—.'―._]=2卜一'"—x—同=卜一时..m=0

.•./()=泗-l"(x)在[0,")上单调递增,并且a=f(110go.53|)=〃k)g23),6=〃k)g25),c=〃0),

因为。<log23<log25,；.c<a<b,故选C.

考点：函数的单调性

【思路点睛】本题考查的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调

性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数机的值，所以我们采用

单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断

出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小.

8.B

【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C,由函数

新定义及分式型函数、指数函数性质求gQ)的值域判断D.

xrx

【详解】由/(-尤)=1O'^1=『1)=-/(%)且xsR,则/(九)是奇函数，A对；

1+22+1

2

由/(刈ul-IX，根据指数函数、复合函数单调性易知：/(X)在R上是增函数，C对；

1+2,

24

由g6=L/•⑴]=口一曰=0,g(-l)=[/(-l)]=[1--]=-1,显然g(-l)H-g⑴，B错；

2

当xNO时，1+2*22,贝IJ/(龙)=1-^7?[0,1),此时g(x)=0；

1+2工

2

当x<0时，1<1+2[<2,则/(*)=1-7=?(1,0),此时g(x)=-l；

1+2

所以g(x)的值域是{-1,0},D对.

故选：B

9.A

【分析】将函数解析式变形，判断函数的单调性和奇偶性，利用奇偶性以及单调性解不等式即可.

[详解]由题可知，,

e+1(e*+l)e+1

令g(x)=/(x)+l=[^_x，贝1Jg(-x)=1e+x=+x=-g(x),

所以g(x)是奇函数.又由/'(也+/(加-2)+2>0,可得/■(也+1+/(*2)+1>0,

即g")+gO-2)>0*得g(1)>g(2-〃z).

由g(x)=lz£l_%=-卜+l)+2_x=-l+，——x，因为y=-^~7，y=-x-l均为R上的减函数，

ev+leY+lev+le+1

所以g(%)在R上单调递减，所以根2<2—m，BPm2+m—2<0,

解得-2<1,即实数机的取值范围是(-2,1).

故选：A

10.B

【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.

bb

【详解】a=bea\na=c,则灰:lna=c,则〃lna=l,贝Cl-V

iie

则/=(/)"=1则〃。=(eW=e=bc，则

先比较b：作差Q一。二.一匕，设/(x)=/-x(x>0)，

111

求导-。)=一丞铲一1<0,。>0),贝IJ/(了)=/_武了>0)在(°，+0°)单调递减.

/(l)=e-l>0,/(2)=五一2=五一"<0,故/。)=1_KX>0)有正负还有零.

即值有正负还有零，故不能比较。力大小.故A错误.

1e1ei1e11

再比较a,c：作差=9——，设/(工)=?%——(%>0),求导/(工)=——z-ex+—=—(e-ex)=0,

bxxxx

则无=1

i1

由于0<x<l=>—>lne—e"<0n尸(x)<0,则/(九)在(0,1)单调递减.

x

11

x>ln—vine—e'>0n/'(x)>0,贝(l7(九)在(L+s)单调递增.

x

且/(l)=o,则〃尤)20,即。一C=1-£N0,即aNc.故B正确.

b

最后比较6,c,由于c=£,假设6=c=正满足题意，

b

假设6>c,即6>:，即^>e,即6>血也满足题意，

b

假设人<c,即八<；,即62<e,即0<b<八也满足题意.

b

则b,c无法比较大小，故CD错误.

故选：B.

11.ABD

【分析】对于B,因为/。)=21+2』的定义域为R,但/(0)=；+2/0,故f(x)不是奇函数；对于C,

只需验证f(2-x)=/(x)是否成立即可；对于D,只需验证/(2-x)+/(x)=0是否成立即可；结合C,D

可以判断A.

【详解】V/«=2-1+21-\

；•/(2-%)=21-l+2-1=/U),

即f(2-x)=f(x),

即，(x)的图象关于直线x=l对称，故C正确，A,D错误；

V因为/(%)=21+2-的定义域为R,但/(0)=g+2力0,

；•/(无)不是奇函数，故B错误.

故选：ABD.

12.ABD

【分析】分〃=1、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取“=正1,结合函

2

数奇偶性的定义可判断B选项；取结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数

的关系求出"的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当。=1时，尤)=1+2”为增函数，

当口>1时，a+l>2,贝I函数y=a*、y=(a+l)”均为增函数，

故函数"x)=a'+(l+ay也为增函数，

综上所述，当时，函数/'(无)单调递增，A对；

对于B选项，取a=贝Ua+i=2/l±l,此时+=i,

所以a+l=—,此时/(无)=a*+(a+iy=a*=ax+a~x,

函数f(x)的定义域为R,f(-x)=ax+ax=f(x),即函数为偶函数,

因此，存在正数。，使得函数为偶函数，B对；

对于C选项，当时，由A选项可知，函数f(无)在R上为增函数，且"0)=2,

此时，函数/(X)的图象与直线>=2只有一个公共点，C错；

对于D选项，因为=a"+(l+r)”(a>0),则(x)=axlna+(a+l)xIn(a+1),

由题意可知。21时，函数/(%)为增函数，

当Ovavl时，由题意可知，对任意的x>0,广(%)=优111〃+(〃+1)"111(々+1)20恒成立，

只需(a+iyin(4+l)N—alna,即「仆+1),

InQIa+1J

因为a«0,l),则£=1./1H

因为x>0,贝e(O,l),所以「n("+l)2i,即ln(a+l)2-Ina=ln1,

\a+l)Intza

所以1+aJ,可得解得r一®1■或叵土

a22

因为0<a<l,所以「TVacl.

2

故实数。的最小值为避二ID对.

综上所述，实数。的取值范围是

2

故选：ABD.

13.-1

【分析】利用特值法求出。值，再证明/(x)是偶函数即可.

【详解】函数〃x)=2-a-2T,xeR是偶函数，

.•1(一1)=/⑴，则白2。=2一%解得。=一1,

当a=T时,f{x)=2x+Tx,

"(-X)=2T+2*=f(x),故f(x)是偶函数.

综上所述，a=-l.

故答案为：-1.

14.卜|1<一3或%>1}

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得了(%)为奇函数，且在定义上单调递减,

从而得至！一3>—2%,即可求解.

【详解】易知〃%)=2一—2一x的定义域为R,又=2-"+X=—/(%),

所以/(x)为奇函数，又易知〃引=2-*-2*7=[£|-2"x在定义上单调递减,

故由/(%2-3)+〃2x)<0,可得到/廿_3)<—〃2x)=〃-2x),

所以f—3>—2x，即/+2%—3>0,解得xv—3或x>1,

所以/(f-3)+〃2x)<。的解集为{x|x<-3或x>l},

故答案为：{x|x<-3或x>l}.

5⑴〃「

⑵[52_

【分析】(1)利用奇函数定义及性质，列式计算求出a,b作答.

(2)由(1)的结论，求出函数g(x)的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可.

【详解】(1)由函数/(尤)=某;是R上的奇函数，则有〃0)=需=0,解得。=3,

3-3x+1

所以〃力=

r+b

3-3-x+13%+1-33-3'+1

VxeR,/(-x)==-〃x)，

yx+bb-r+iy+b

即VxeR,b-y+l=y+b,解得b=l,

经验证得。=3,6=1时，/(尤)是奇函数,

所以

(2)由(1)知,g(x)=/(x)-(3x+l)+9x-l=3-3x+1+9x-l=(3x)2-3x3x+2=(3x-|j一;

令r=3,%e[0,1],则14r43,

于是函数g(x)变为y=产-3t+2jw[l,3],

对称轴为所以y=r-3f+2在[1,申单调递减，在1,3]单调递增,

31

因此当/=3、=5时，g(x)min=,当f=3』3时，g(x)max=2,

所以函数g(x)的值域为-；，2.

16.(l)a=-l

⑵(fl]

【分析】(1)根据函数为奇函数可得〃-x)+/(x)=0,由此即可得解；

(2)令尤4>三为，根据增函数的定义可得g®)-g(&)>0恒成立，进而可得出答案;

(3)根据(1)中所得函数解析式确定函数/(X)的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根

据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.

【详解】CD因为“尤)为奇函数，所以/(T)+/(X)=0,

1+ax1-ax1-ax八

BPlog----+log——r=0，BPlog-----^=0，

2-x-12x-12l-x

1一〃无2

所以Lg=i,所以6=i,所以。=±1,

l-x2

经检验。=1不符题意，

所以。=-1；

(2)令尤4>x3>0,

则g⑷-g㈤=2J养一2一荽=2-2--二’)

(2•一时(2%-2沟)

=------------------,

2*3+x4

因为函数g(%)在［0,8)上单调递增，

山〜(2巧+%一屈(2々—2巧)-A-

所以g(x>g«)=^——点——。恒成“，

因为匕>忍2。，所以三+匕>0,2*>2*3,

所以>0恒成立，即m<2X}+Xi,

因为退+%>°，所以2*科工4>1，

所以;〃〈1,

所以实数机的取值范围为(3』；

(3)由(1)知〃x)=log291=腕21+白)

Ji1kJCJ-)

o

令"=1+二，函数在(1,+e)上单调递减，

又函数y=log2a为增函数，

所以函数/(无)在(1,+8)上单调递减，

当m=0时，g(x)=2工，函数g(x)在［,+(»)上单调递增，且g(x)e［2,+e),

所以函数y=/(g(x))在［1,+向上单调递减，

..「2巧+1?x,+1

所以函数y=/(g(x))在区间民,尤2］上的值域为户二，

又因为函数y=/(g(x))在区间民心］上的值域为

[log2(dg(尤2)+2-3f),log2«超(占)+2-3f)],

2巧+1

log?——=log2(rg(Jc2)+2-3/)

所以<z—1

2xi_i_i

log,(rg(X1)+2-3/)

lOg2

X2

l°g21^37=log2(r-2+2-3t)

即

og22r再T+T17"log2/(r21y+2-3r)\

、乙--L

2巧+1

=t,2%+2-3r

2J

所以

2』+1

=r2x,+2—3/

l2%1-1

令8=2",/?£[2,+8),

则关于人的方程L=1/+2-3，在［2,”）上有两根不同的实数根，

b—1

等价于关于X的方程£+（l-4r）x+3-3=o在［2,内）上有两根不同的实数根,

令/心）=£+（1-旬x+3r-3,则函数在龙e［2,y）上有两个不同零点,

当f=0时，可力=工-3为一次函数，不可能有两个零点，舍去;

当”0时，函数〃（力的对称轴为尤=黑,

Z>0

贝也（2）=-1>0无解;

4f-n(4r-l)2

+3z-3<0

2t4t-

当/<0时，函数/7（X）的对称轴为尤=H，

t<0

电匚>2

2t

/i(2)=-r-l<0解得-l<r<0且/5,

4-1]二(4-1)2

+3z—3>0

2t4t-

综上所述，实数/的取值范围为1-1,。

【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区

间内有两个不同实根，是解决本题的关键.

3x-yx,x>o

17.⑴。=1,/(x)=

3T-3”,x<0

(2)(-oo,8]

【分析】(1)利用偶函数性质以及函数值可得。=1,再由偶函数定义可得其解析式；

(2)将不等式恒成立转化为求彳43工-3-'+*0恒成立问题，由基本不等式计算可得4的取值范

3-3

围.

1Q

【详解】(1)因为/(X)是偶函数，所以/(-1)="1)=3

解得a=l,

当x<0时，可得-x>0,所以/(X)=，(T)=37-3-E=3T-3X,

y-rx,x>o,

所以函数/(x)的解析式为〃幻=

3^x-y,x<o.

(2)由(1)知，当x>0时，f(x)=3x-3-x>0,

因为2/(x)-9*-9一工-14Vo在xe(0,+oo)上恒成立,

所以/<9*+歹+14_(3-T『+16_§_k+,

~y-3-x3x-3-xy-3-x

又因为3,-3一,+16->2j(3x-3-^•——=8,

3*-3TV'3x-3-x

当且仅当3工-3T=时，即x=log3(V5+2)时等号成立，

所以248,即4的取值范围是(-8,8].

18.(1)(-oo,-3)J(l,+oo)

⑵12,+8)

【分析】(1)分尤>0和x<0两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域；

(2)将<2工-2T+/叫化为(2'+2T『-优+2-x)+a>0,利用换元法结合参变分离的思想

即可求得a的范围.

【详解】⑴〃力的定义域为{x|x*0},

2

当x>。时，f(x)=-—+l,

今-1

9

因为4*>1，所以不二了。，所以〃力>1；

2

当x<0时，/(x)=——-1,

\/4—1

因为0<芈<1,不二1<一2,所以/'(力<一3,

综上，可得函数〃x)的值域为(-力,-3)"1,+”).