指数与指数函数（讲）-2025年高考数学一轮复习（新高考）原卷版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第10讲指数与指数函数（精讲）

考点归纳

①指数基的化简与求值

磅旨数函数的图像与性质

③解指数不等式

西旨数型复合函数

⑤指数函数的综合应用

一、指数及指数运算

⑴根式的定义：

一般地，如果父=4,那么X叫做”的〃次方根，其中（〃>1,记为标，〃称为根指数，。称为根

底数.

⑵根式的性质：

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

⑶指数的概念：指数是幕运算。"（。工0）中的一个参数，，为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，鬲

运算表示指数个底数相乘.

（4）有理数指数器的分类

①正整数指数幕（〃6储）；②零指数塞。0=1（"0）；

③负整数指数幕才”二，（。/0,〃eN*）；④0的正分数指数寻等于0,0的负分数指数幕没有意义.

⑸有理数指数器的性质

①〃（。>0,m,〃wQ）；②（""）〃=m,〃eQ）；

③（"产"'33>0,相。）；④"=/（〃>（）,%〃e。）.

二、指数函数

y=a'

0<«<1a>\

vA,

~d\~1~

V11J1*

图象

①定义域R,值域(。，+8)

②〃。=1,即时x=0,y=i,图象都经过(0，1)点

性质③/=%即1=1时，),等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，a'>1;x>0时，0<a'<1x<0时，0<a*vl;。>0时,a'>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

常用结论

1.指数函数常用技巧

⑴当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<l"两种情形讨论.

(2)当Ova<l时，XT+OO,)一()；。的值越小，图象越靠近了轴，递减的速度越快.

当〃>1时XT+8,v-o；。的值越大，图象越靠近丁轴，递噌速度越快.

(3)指数函数y=与)，=(~)x的图象关于J轴对称.

a

【邈型一指数辱的化简与求值】

触类旁通指数帚运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

(2)先乘除后加减，负指数嘉化成正指数累的倒数.

（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.

⑷若是根式，应化为分数指数暴，尽可能用塞的形式表示，运用指数累的运算性质来解答.

【典例1】（2024高三・全国•专题练习）化简：

27----

（1）］一/+（0.002/-10（75-2尸+（血-6）°；

8

（2）］（1+扬3+#（1一夜）4

■题型训练■

一、解答题

1.（2023高三•全国・专题练习）化简：

⑴卜冲回a3$_（1）。；

⑵炳-3票+曲2『+gy.

2.（2023・山东•模拟预测）计算：

⑴L.51国-击+标

3.（23-24高三上.内蒙古通辽.阶段练习）求值或化简

⑴计算：0.0643+11、—（2：j+0.L；

⑵化简（用分数指数辕表示）：W•竺（“>0力>o）

a^b^y/ab

【题型二指数函数的图像与性质】

触类旁通

1.有关指数函数图象问题的解题思路

（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满

足则排除.

（2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸

缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.比较指数累大小的常用方法

不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够

单调性法

化同底的尽可能化同底

不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0,1）比较大小，

取中间值法

然后得出大小关系

根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图

图象法

象比较大小

【典例1］（单选题）（23-24高一上•浙江杭州•期中）函数/（八）=2、3r的图象可能为（）

【典例2］（单选题）（2024•上海宝山•二模）已知a>6>0,则（）

A.cr>b*2B.2"<2〃

C»log.^log,Z?

-03Vhi

【典例3】（单选题）（23-24高三上•山东潍坊•期中）函数〃x）=（g）+2,xe[-l,2]的最大值为（）

59

A.4B.3C.-D.—

24

■题型训练■

一、单选题

1.（23-24高三下.浙江丽水•开学考试）函数/（幻=1-3,的值域是（）

A.（-oo,l）B.（-co,HC.[0,1）D.[0,11

2.（23-24高一下•广东惠州•阶段练习）函数的图象大致为（）

3.（2024•云南•二模）若o———（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>h>cD.a>c>b

4.（23-24高一下•四川成都・开学考试）函数"力=。"2一3的图象过定点A,且定点A的坐标满足方程

I4

mx+ny+2=0,其中m>0,n>0,则一+一的最小值为（）

mn

A.6+4拒B.9C.5+2正D.8

二、填空题

5.(23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)已知函数y=2优"-3(〃〉()且"1)的图象恒过定点/，，则

点P的坐标为.

6.(23・24高一上.江苏宿迁•期末)若命题“玉£；,旬，是假命题，则川的取值范围为.

三、解答题

7.(2024・上海黄浦•二模)设aeR,函数/。)=马上

⑴求。的值,使得y=f(x)为奇函数;

(2)若/(2)=a,求满足f(x)>a的实数x的取值范围.

8.(23-24高三上•江苏连云港•阶段练习)已知函数/("=22*-■|•27-6.

⑴当xe[0,4]时，求f(x)的最大值和最小值;

⑵若玉<0,4],使/(“+12-4・2―0成立，求实数。的取值范围.

【题型三解指数不等式】

触类旁通

(1)解指数方程或不等式的依据

①"=。式')可(X)=g(X).

②户小⑴，当。>1时，等价于/(x)>g(x);

当0<a<\时，等价于/(x)Vg(x).

(2)解指数方程或不等式的方法

先利用累的运算性质化为同底数零，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.

【典例1](23-24高一上•全国•课后作业)解不等式>222.

题型训练

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）已知集合4=k|1＜21＜码,6=卜|y=+3口一2卜则—8=（）

2}B.卜|l<x<|!3I3

A.{x\\<x<C.,D.el<A-<-

2

2.(2023•陕西咸阳•二模)全集为R,集合A4偿<1LB={x\x-6x+S<6\t则4c”=()

A.{x|x<0}B.{x|2<x<4}

C.{x|0<x<2n£x>4}D.{A-|0<X<2sgx>4}

二、填空题

3.（23-24高三下.上海浦东新•期口）已知集合4={012},集合八伸'＞可，则"18=.

三、解答题

（1）-I

4.（2023高一上•全国・专题练习）（1）解不等式＜2；

（2）已知『a"0M"）,求x的取值范围.

5.（23-24高一上•宁夏吴忠•阶段练习）已知函数/（外=4,-32+2

（1）求函数/（⑼的值域；

⑵解不等式〃x）＞0.

6.（23-24高三上.福建龙岩.期中）已知函数〃幻=一=.

4+2

（1）试问/*）+/（1-%）是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

⑵求2[/（时＜/（1-力的解集.

【题型四指数型复合函数】

触类旁通

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性

质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”

这一性质分析判断.求参数值（范围）的方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求

解.

x-.v2+2x-3

【典例1］（单选题）（23-24高一上•湖南岳阳•期中）已知函数/*）=士,则函数/“）单调递增区

\3

间为（

B.[―C.[1,+<»)

题型训练

一、单选题

I.（22-23高三•全国•对口高考）下列函数中，值域为（0,+8）的是（

C.y=D.y=\J[—2x

2.（23-24高一上.天津和平・期末）设函数/（X）=（；）EM）在区间（0,1）上单调递增，则实数。的取值范围为（）

A.(-oo,-2]B.(-2,0]C.(0,2]D.[2,+co)

二、填空题

/.\V-x2+2x+3

3.（23-24高三上.重庆沙坪坝.阶段练习）函数、，=>!"的值域为，单调递增区间

4.（2024•全国•模拟预测）函数/5）=•的值域为.

log2(x+2),x>0

三、解答题

5.（23-24高一上•辽宁大连•期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条

件是函数），=/（力为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/（x）的图象关于点*9）成中心对称图

形的充要条件是函数y=/（x+〃）-6为奇函数.根据这一结论，解决下列问题.

已知函数/（刈=由=.

⑴证明:函数f（x）的图象关于点（1,1）对称;

⑵若/（/）+/（2。-1）＞2,求实数。的取值范围.

【款型五指数函数的综合应用】

触类旁通

指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类

问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解

决问题.

7、7

【典例1］（23-24高一上.北京.阶段练习）已知函数”工）=±-工”'，且"4）=—；

•VZ

（1）求知的值;

（2）判断/（打在（0,+8）上的单调性,并用定义证明.

⑶求不等式/（2