2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,m+(m2−1)i}(m∈R)，B={1,−2i}，若A∩B={1}，则A.m=−1 B.m=0 C.m=1 D.m=22.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是(

)A.若m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的必要条件

B.若m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的充分条件

C.若m⊥α，则“m⊥β”是“α//β”的充要条件

D.若m//α，则“m//n”是“n//α”的既不充分也不必要条件3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4.则该平面图形的面积为(

)A.122

B.92

C.4.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3A.34b−13a B.55.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面△ABC边AB上的高为ℎ.当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图①).当侧面AA1B1A.13ℎ B.12C.2D.26.灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面C处测得塔在南偏东30°的方向上，向正南方向行走152后到达D处，测得塔在南偏东75°的方向上，D处测得塔尖A的仰角为60°，则可得龙洲塔高度为(

)A.152

B.152(67.下列选项错误的是(

)A.复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则向量BA表示的复数为9+i

B.若复数z满足|z+1−2i|=1，则|z|的最大值为1+5

C.若复数z1，z2，满足z1z2=1−i,z1z28.已知f(x)是定义在R的奇函数，且f(x+2)=f(x−2).若f(1)=2，则k=110f(k)=A.−2 B.0 C.2 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若|a|=2，|b|=2，则a>b

B.在△ABC中，若AB=AC，BC=4，则BA⋅BC=8

C.已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,12)

D.已知a，b，10.欧拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是(

)A.e2π3i对应的点位于第二象限 B.eπ2i为纯虚数

C.eπi11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DA.存在点P，使得FP//平面ABC1D1

B.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

C.三棱锥C1−A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(−4,2),b=(1,3)，则a在b13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，且b2+c2=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点．

(1)证明：E，B，16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，C=2π3，D为AB边上一点．

(1)若D为AB的中点，且CD=3，求b；

(2)若△ABC的面积为43，且CD平分17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACQ；

(2)已知：AQ⊥PD

①求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；

②求点P到平面ACQ的距离．18.(本小题17分)

上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，∠AOB=π3，动点P在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且PQ/​/OA．

(1)当OQ=40米时，求分隔栏PQ的长；

(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角形OPQ的面积S的最大值．19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ.试求解下列问题：

(1)已知向量a，b满足a=(3,2)，|b|=4，a⋅b=8，求a⊗b的值；

(2)在平面直角坐标系中，已知点参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.D

6.C

7.D

8.C

9.BCD

10.BC

11.ABD

12.(113.16314.π6

6+315.解：(1)证明：如图，取DD1的中点G，

连接AG，GF，

则CD//GF，CD=GF，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD//AB，CD=AB，

∴AB//GF，AB=GF，

∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG//BF，

∵AE=D1G，AE//D1G，

∴四边形AED1G是平行四边形，∴AG//ED1，

∴BF//ED1，∴E，B，F，D1四点共面．

(2)如图，延长D1E交DA的延长线于点M，

延长D1F交DC的延长线于点N，连接BD，BD1，MN，则点B在MN上，

不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

则DM=DN=4，BD=BM=BN=216.(1)因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，

两边平方得：CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，

因为a=4，C=2π3，CD=3，

所以3=14(b2+16+2×4×b×cos2π3)，解得b=2；

(2)因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=π3，

又因为S△ACD+S△BCD=S△ABC，

所以12AC⋅CDsin∠ACD+12BC⋅CDsin∠BCD=12AC⋅CBsin∠ACB，

所以12×CD×b×sinπ3+12×4×CD×sinπ3=12×4×b×sin2π3=43，

解得CD=2．

17.(1)证明：如图：

在四棱锥P−ABCD中，连接BD，交AC于E，因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD中点，

又Q为PD中点，所以EQ//PB，又EQ⊂平面ACQ，PB⊄平面ACQ，

所以PB//平面ACQ．

(2)②因为PA⊥平面ABCD，所以△PAD是直角三角形，

又Q为PD中点，且AQ⊥PD，所以AP=AD=2．

设点P到平面ACQ的距离为ℎ，

则VP−ACQ=13S△ACQ⋅ℎ．

又因为S△APQ=12S△APD=12×12×AP×AD=12×12×2×2=1，

所以VP−ACQ=VC−APQ=13S△APQ⋅CD=13×1×2=23．

因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，

又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，PA，AD⊂平面APD，PA∩AD=A，

所以CD⊥平面APD．

又PD⊂平面APD，所以CD⊥PD.所以△CDQ为直角三角形．

△ACQ中，AQ=2，CQ=CD2+DQ2=22+(2)2=6，AC=22．19.解：(1)因为a=(3,2)，|b|=4，a⋅b=8，

可