2025年2次函数题目及答案

2025年2次函数题目及答案

一、单项选择题1.二次函数$y=x^2$的图象的对称轴是（）A.$x$轴B.$y$轴C.直线$x=1$D.直线$y=1$答案：B2.二次函数$y=-2(x-3)^2+5$的顶点坐标是（）A.$(3,5)$B.$(-3,5)$C.$(3,-5)$D.$(-3,-5)$答案：A3.对于二次函数$y=x^2+2x-3$，当$x=1$时，$y$的值为（）A.0B.-4C.1D.4答案：A4.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过原点，则$c$的值为（）A.0B.1C.-1D.2答案：A5.二次函数$y=3x^2$的图象开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右答案：A6.把二次函数$y=2x^2$的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数解析式是（）A.$y=2(x+1)^2-2$B.$y=2(x-1)^2-2$C.$y=2(x+1)^2+2$D.$y=2(x-1)^2+2$答案：A7.二次函数$y=x^2-4x+3$与$x$轴的交点坐标是（）A.$(1,0)$，$(3,0)$B.$(-1,0)$，$(-3,0)$C.$(1,0)$，$(-3,0)$D.$(-1,0)$，$(3,0)$答案：A8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$x=-1$时，$y=0$；当$x=3$时，$y=0$，则它的对称轴是（）A.直线$x=1$B.直线$x=-1$C.直线$x=3$D.直线$x=0$答案：A9.二次函数$y=-x^2+4x$的最大值是（）A.4B.-4C.0D.2答案：A10.二次函数$y=2x^2-4x+5$的对称轴方程是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=2$D.$x=-2$答案：A二、多项选择题1.下列函数中，是二次函数的有（）A.$y=3x^2$B.$y=2x-1$C.$y=x(x-2)$D.$y=\frac{1}{x^2}$答案：AC2.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$y$轴交点坐标可能是（）A.$(0,0)$B.$(0,1)$C.$(0,-1)$D.$(0,2)$答案：ABCD3.二次函数$y=x^2-2x-3$的性质正确的有（）A.开口向上B.对称轴是直线$x=1$C.顶点坐标是$(1,-4)$D.与$x$轴有两个交点答案：ABCD4.对于二次函数$y=-2x^2+4x$，下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴是直线$x=1$C.最大值是2D.图象经过原点答案：ABCD5.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.$a\lt0$B.$b\gt0$C.$c\gt0$D.$b^2-4ac\gt0$答案：ABCD6.把二次函数$y=x^2$的图象经过下列哪些变换可以得到$y=(x-2)^2+3$的图象（）A.向右平移2个单位B.向左平移2个单位C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位答案：AC7.二次函数$y=3(x-1)^2+2$的图象的性质正确的是（）A.顶点坐标是$(1,2)$B.对称轴是直线$x=1$C.开口向上D.当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大答案：ABCD8.二次函数$y=-x^2+6x-8$与$x$轴的交点坐标为（）A.$(2,0)$B.$(4,0)$C.$(-2,0)$D.$(-4,0)$答案：AB9.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）满足当$x=1$时，$y=0$，则下列式子成立的有（）A.$a+b+c=0$B.$a-b+c=0$C.$b=-a-c$D.$b=a+c$答案：AC10.二次函数$y=2x^2-8x+9$的图象可以由二次函数$y=2x^2$的图象经过怎样的变换得到（）A.向右平移2个单位B.向左平移2个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位答案：AC三、判断题1.二次函数$y=3x^2$的二次项系数是3。（√）2.二次函数$y=x^2+1$的图象与$x$轴有两个交点。（×）3.二次函数$y=-2(x+1)^2$的顶点坐标是$(1,0)$。（×）4.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）中，当$a\gt0$时，图象开口向上。（√）5.把二次函数$y=x^2$的图象向下平移3个单位，得到$y=x^2-3$。（√）6.二次函数$y=2x^2-4x$的对称轴是直线$x=-1$。（×）7.二次函数$y=x^2-6x+9$与$x$轴只有一个交点。（√）8.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$b^2-4ac\lt0$时，图象与$x$轴没有交点。（√）9.二次函数$y=-x^2+4x-4$的最大值是0。（√）10.二次函数$y=3(x-2)^2+1$的图象开口向下。（×）四、简答题1.简述二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象性质。二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\gt0$时，图象开口向上；当$a\lt0$时，图象开口向下。对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。与$y$轴交点坐标为$(0,c)$。当$b^2-4ac\gt0$时，图象与$x$轴有两个交点；当$b^2-4ac=0$时，与$x$轴有一个交点；当$b^2-4ac\lt0$时，与$x$轴无交点。2.如何将二次函数$y=2x^2$的图象通过平移得到$y=2(x-3)^2+4$的图象？先将$y=2x^2$的图象向右平移3个单位，根据“左加右减”原则，此时函数变为$y=2(x-3)^2$。再将得到的图象向上平移4个单位，依据“上加下减”原则，就可得到$y=2(x-3)^2+4$的图象。3.求二次函数$y=x^2-5x+6$与$x$轴的交点坐标。令$y=0$，即$x^2-5x+6=0$，分解因式得$(x-2)(x-3)=0$，则$x-2=0$或$x-3=0$，解得$x=2$或$x=3$。所以二次函数$y=x^2-5x+6$与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$和$(3,0)$。4.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$经过点$(0,0)$，$(1,3)$，$(-1,1)$，求该二次函数的解析式。把点$(0,0)$，$(1,3)$，$(-1,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$得：$\begin{cases}c=0\\a+b+c=3\\a-b+c=1\end{cases}$，将$c=0$代入后两个方程得$\begin{cases}a+b=3\\a-b=1\end{cases}$，两式相加得$2a=4$，$a=2$，把$a=2$代入$a+b=3$得$b=1$，所以解析式为$y=2x^2+x$。五、讨论题1.讨论二次函数在实际生活中的应用，举例说明。二次函数在实际生活中应用广泛。比如在建筑设计方面，抛物线形状的大桥拱，其形状可用二次函数来描述，通过函数可计算出不同位置的高度等参数。在销售利润问题中，设售价为$x$，利润$y$与售价$x$之间可能构成二次函数关系，通过分析函数的最值，能确定使利润最大化的售价。在体育运动中，篮球、铅球等的运动轨迹也近似二次函数，可帮助运动员调整角度和力度以达到更好成绩。2.对比二次函数$y=x^2$，$y=2x^2$，$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，它们有哪些相同点和不同点？相同点：这三个二次函数的图象都开口向上，都关于$y$轴对称，顶点都在原点$(0,0)$。不同点：二次项系数不同，决定了图象开口大小不同。$y=2x^2$的二次项系数2最大，图象开口相对$y=x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$更窄；$y=\frac{1}{2}x^2$的二次项系数最小，图象开口相对更宽。在相同的$x$取值下，对应的$y$值变化速度也不同，二次项系数越大，$y$值随$x$变化增长得越快。3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$x$轴有两个交点，讨论如何确定这两个交点的横坐标的正负情况。首先，根据韦达定理，二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）若与$x$轴交点横坐标为$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。当$a$、$b$、$c$同号时，$x_1+x_2\lt0$且$x_1x_2\gt0$，说明$x_1$、$x_2$都为负；当$a$与$c$同号，$b$异号时，$x_1+x_2\gt0$且$x_1x_2\gt0$，则$x_1$、$x_2$都为正；当$a$与$c$异号时，$x_1x_2\lt0$，此时$x_1$、$x_2$一正一负。还可结合对称轴位置及函数图象开口方向进一步分析。4.讨论二次函数的最值与二次项系数$a$的关系，并说明如何求二次函数的最值。当$a\gt0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，函数有最小值。其最值在顶点处取得，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}