高考全国2卷真题及答案

高考全国2卷真题及答案

一、单项选择题1.设集合\(A=\{x|x^2-4\leq0\}\)，\(B=\{x|2x+a\leq0\}\)，且\(A\capB=\{x|-2\leqx\leq1\}\)，则\(a=\)（）A.-4B.-2C.2D.4答案：B2.若\(z=1+i\)，则\(|z^2-2z|=（）A.0B.1C.\(\sqrt{2}\)D.2答案：D3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，则\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=（）A.\(\sqrt{2}\)B.2C.\(5\sqrt{2}\)D.50答案：A4.设\(f(x)\)为奇函数，且当\(x\geq0\)时，\(f(x)=e^x-1\)，则当\(x\lt0\)时，\(f(x)=（）A.\(e^{-x}-1\)B.\(e^{-x}+1\)C.\(-e^{-x}-1\)D.\(-e^{-x}+1\)答案：D5.曲线\(y=\lnx+x+1\)的一条切线的斜率为\(2\)，则该切线的方程为______。A.\(2x-y=0\)B.\(2x-y-1=0\)C.\(2x-y+1=0\)D.\(2x-y+2=0\)答案：A6.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(2\sin2\alpha=\cos2\alpha+1\)，则\(\sin\alpha=（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)答案：B7.执行右面的程序框图，如果输入的为\(0.01\)，则输出的值等于（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(7\)答案：C8.双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(\sqrt{3}\)，则\(C\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\sqrt{2}x\)B.\(y=\pm\sqrt{3}x\)C.\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x\)D.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)答案：A9.已知\(a=\log_20.2\)，\(b=2^{0.2}\)，\(c=0.2^{0.3}\)，则（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(b\ltc\lta\)答案：B10.在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=BC=1\)，\(AA_1=\sqrt{3}\)，则异面直线\(AD_1\)与\(DB_1\)所成角的余弦值为（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：C二、多项选择题1.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A.\(y=e^x-e^{-x}\)B.\(y=\frac{2}{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)答案：AD2.设\(a,b,c\)为实数，且\(a\gtb\gt0\)，则下列不等式中正确的是（）A.\(ac^2\gtbc^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)C.\(a^2\gtab\gtb^2\)D.\(\lna\gt\lnb\)答案：BCD3.已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过点\(F_1\)的直线与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，若\(\overrightarrow{AF_1}=3\overrightarrow{F_1B}\)，且\(\cos\angleAF_2B=\frac{3}{5}\)，则椭圆\(C\)的离心率可能为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)答案：AC4.下列关于函数\(f(x)=\sin2x-\cos2x\)的结论正确的是（）A.函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.直线\(x=\frac{\pi}{8}\)是函数\(f(x)\)图象的一条对称轴C.点\((\frac{\pi}{4},0)\)是函数\(f(x)\)图象的一个对称中心D.将函数\(f(x)\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{8}\)个单位长度，可得到\(y=\sqrt{2}\sin2x\)的图象答案：AD5.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax+1\)，则（）A.若\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，则\(a\geq1\)B.若\(f(x)\)在\(R\)上单调递减，则\(a\leq1\)C.当\(a\lt1\)时，\(f(x)\)有两个极值点D.当\(a\gt1\)时，\(f(x)\)有两个极值点答案：AC6.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则（）A.数列\(\{a_n+1\}\)是等比数列B.数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)C.数列\(\{a_n\}\)是等差数列D.数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2^{n+1}-n-2\)答案：ABD7.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((1,0)\)对称，且满足\(f(x+2)=-f(x)\)，当\(x\in(0,1]\)时，\(f(x)=\log_2x\)，则（）A.\(f(3)=-1\)B.\(f(x)\)在\((3,4)\)上是增函数C.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=2\)对称D.\(f(2023)=0\)答案：ABC8.已知\(F\)是抛物线\(C:y^2=2px(p\gt0)\)的焦点，过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线交抛物线\(C\)于\(A,B\)两点，\(|AB|=8\)，则（）A.\(p=2\)B.抛物线\(C\)的准线方程为\(x=-2\)C.原点\(O\)到直线\(AB\)的距离为\(\sqrt{2}\)D.\(\triangleOAB\)的面积为\(4\sqrt{2}\)答案：ACD9.已知函数\(f(x)=\cos(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)C.\(f(x)\)的单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\inZ)\)D.\(f(x)\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后得到\(y=\sin2x\)的图象答案：ABC10.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，则（）A.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}\gt\frac{1}{2}\)C.\(\log_2a+\log_2b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)答案：ABD三、判断题1.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)。（×）2.函数\(y=\sinx\)在其定义域上是增函数。（×）3.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（√）4.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，则\(ac\ltbd\)。（√）5.函数\(y=\log_ax(a\gt0,a\neq1)\)的图象一定过点\((1,0)\)。（√）6.若数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+1\)，则\(a_n=2n-1\)。（×）7.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（√）8.若函数\(f(x)\)满足\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），则\(T\)是函数\(f(x)\)的周期。（×）9.若直线\(l\)与平面\(\alpha\)内的无数条直线垂直，则\(l\perp\alpha\)。（×）10.若\(z=a+bi(a,b\inR)\)，则\(z\)为纯虚数的充要条件是\(a=0\)。（×）四、简答题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)。求数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n\)与前\(n\)项和\(S_n\)。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_6=36\)可得\(6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36\)，即\(6a_1+15d=36\)。联立方程解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)，\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n^2\)。2.已知函数\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)。求\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间。答案：先化简\(f(x)\)，\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。根据正弦函数性质，最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}(k\inZ)\)，所以单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}](k\inZ)\)。3.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(2\)，且过点\((4,\sqrt{3})\)。求双曲线\(C\)的方程。答案：因为离心率\(e=\frac{c}{a}=2\)，即\(c=2a\)，又\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(b^2=3a^2\)。双曲线方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1\)，将点\((4,\sqrt{3})\)代入方程得\(\frac{16}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1\)，解得\(a^2=15\)，\(b^2=45\)，所以双曲线\(C\)的方程为\(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{45}=1\)。4.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。求函数\(f(x)\)