排列数的题目及答案

排列数的题目及答案

一、单项选择题1.从\(5\)个不同元素中取出\(3\)个元素的排列数为（）A.\(60\)B.\(20\)C.\(15\)D.\(10\)答案：A2.\(A_{4}^2\)的值是（）A.\(12\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(4\)答案：A3.若\(A_{n}^3=60\)，则\(n\)的值为（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)答案：A4.从\(7\)名同学中选出\(3\)名同学排队，不同的排法有（）A.\(210\)种B.\(35\)种C.\(840\)种D.\(105\)种答案：A5.\(A_{5}^5\)等于（）A.\(120\)B.\(24\)C.\(720\)D.\(60\)答案：A6.用\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)这四个数字组成没有重复数字的三位数，共有（）A.\(24\)个B.\(12\)个C.\(36\)个D.\(48\)个答案：A7.从\(8\)个不同元素中取出\(5\)个元素的排列数\(A_{8}^5\)与\(A_{8}^3\)的关系是（）A.\(A_{8}^5=A_{8}^3\)B.\(A_{8}^5=20A_{8}^3\)C.\(A_{8}^5=30A_{8}^3\)D.\(A_{8}^5=40A_{8}^3\)答案：D8.已知\(A_{n}^2=30\)，则\(n\)等于（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)答案：B9.从\(6\)名运动员中选\(4\)人参加\(4×100\)米接力赛，甲不跑第一棒的安排方法有（）A.\(360\)种B.\(240\)种C.\(180\)种D.\(120\)种答案：B10.从\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)这四个数字中任取两个数字组成一个两位数，这个两位数是奇数的概率是（）A.\(1\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：A二、多项选择题1.下列关于排列数的说法正确的是（）A.\(A_{n}^m\)表示从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的排列数B.\(A_{n}^m=n(n-1)(n-2)…(n-m)\)C.\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)D.\(A_{n}^n=n!\)答案：ACD2.从\(4\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人站成一排，下列说法正确的是（）A.若选的\(3\)人都是男生，有\(A_{4}^3\)种排法B.若选的\(3\)人中有\(2\)男\(1\)女，有\(C_{4}^2×C_{3}^1×A_{3}^3\)种排法C.若选的\(3\)人中有\(1\)男\(2\)女，有\(C_{4}^1×C_{3}^2×A_{3}^3\)种排法D.若选的\(3\)人都是女生，有\(A_{3}^3\)种排法答案：ABCD3.以下等式成立的是（）A.\(A_{n}^m=A_{n}^k×A_{n-k}^{m-k}\)（\(m≥k\)）B.\(A_{n}^m=mA_{n-1}^{m-1}+A_{n-1}^m\)C.\(A_{n}^n=A_{n}^{n-1}\)D.\(A_{n}^m+A_{n}^{m-1}=A_{n+1}^m\)答案：ABD4.从\(5\)个不同的元素\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(e\)中取出\(3\)个元素的排列中，\(a\)不在首位的排列有（）A.\(A_{4}^2\)种B.\(A_{5}^3-A_{4}^2\)种C.\(4×A_{4}^2\)种D.\(A_{4}^1×A_{4}^2\)种答案：CD5.对于排列数\(A_{n}^m\)，当\(n\)，\(m\)满足（）时，\(A_{n}^m\)有意义。A.\(n\)是正整数B.\(m\)是正整数C.\(m≤n\)D.\(m\)，\(n\)都是正整数且\(m≤n\)答案：D6.下列排列问题可以用\(A_{n}^m\)表示的有（）A.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素排成一列B.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的所有排列的个数C.\(n\)个同学站成一排的站法种数D.从\(n\)个不同的字母中选取\(m\)个进行排列的方法数答案：ABCD7.已知\(A_{n}^m=720\)，\(A_{n}^{m-1}=120\)，则（）A.\(n=6\)B.\(m=5\)C.\(n=7\)D.\(m=6\)答案：AB8.从\(6\)名志愿者中选\(4\)人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案有（）A.\(A_{4}^1×A_{5}^3\)种B.\(A_{4}^4+A_{4}^3×2\)种C.\(A_{4}^4+A_{4}^3×A_{2}^1\)种D.\(A_{4}^4+A_{4}^3+A_{4}^2\)种答案：AC9.用\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数有（）A.\(A_{4}^4+A_{3}^1×A_{3}^3\)个B.\(A_{4}^4+A_{2}^1×A_{3}^3\)个C.\(A_{4}^4+A_{3}^1×A_{3}^3+A_{2}^1×A_{3}^3\)个D.\(A_{4}^4+A_{3}^1×A_{3}^3-A_{2}^1×A_{2}^2\)个答案：AD10.从\(7\)名同学中选出\(3\)名同学分别担任班长、副班长、学习委员，不同的选法有（）A.\(A_{7}^3\)种B.\(C_{7}^3×A_{3}^3\)种C.\(C_{7}^3\)种D.\(A_{7}^1×A_{6}^1×A_{5}^1\)种答案：ABD三、判断题1.\(A_{n}^m\)与\(A_{m}^n\)（\(m≠n\)）表示的排列数一定不相等。（）答案：×2.\(A_{n}^n=n\)。（）答案：×3.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的排列数\(A_{n}^m\)中，\(m\)可以大于\(n\)。（）答案：×4.\(A_{n}^m=\frac{n!}{m!}\)。（）答案：×5.从\(3\)个不同元素中取出\(2\)个元素的排列数\(A_{3}^2\)等于从\(3\)个不同元素中取出\(2\)个元素的组合数\(C_{3}^2\)的\(2\)倍。（）答案：√6.\(A_{n}^m\)中\(n\)，\(m\)都是正整数且\(m≤n\)。（）答案：√7.用\(1\)，\(2\)，\(3\)组成没有重复数字的三位数，所有三位数的个数为\(A_{3}^3\)。（）答案：√8.从\(5\)个不同元素中取出\(4\)个元素的排列数\(A_{5}^4\)比从\(5\)个不同元素中取出\(3\)个元素的排列数\(A_{5}^3\)大。（）答案：√9.\(A_{n}^m\)与\(A_{n}^{n-m}\)（\(m≤n\)）相等。（）答案：×10.从\(4\)名同学中选\(2\)名同学分别参加数学和物理竞赛，不同的安排方法有\(A_{4}^2\)种。（）答案：√四、简答题1.简述排列数公式\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)的推导过程。答案：从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素进行排列。第一个位置有\(n\)种选法，第二个位置有\(n-1\)种选法，第三个位置有\(n-2\)种选法，……，第\(m\)个位置有\(n-(m-1)\)种选法。根据分步乘法计数原理，总的排列方法数为\(n(n-1)(n-2)…(n-m+1)\)，而\(n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)，所以\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)。2.用\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这五个数字组成没有重复数字的五位数，求奇数的个数。答案：要组成奇数，个位必须是奇数。个位从\(1\)，\(3\)，\(5\)中选一个，有\(3\)种选法；万位从剩下\(4\)个数字中选一个，有\(4\)种选法；千位从剩下\(3\)个数字中选一个，有\(3\)种选法；百位从剩下\(2\)个数字中选一个，有\(2\)种选法；十位就剩下\(1\)个数字可选。根据分步乘法计数原理，奇数的个数为\(3×4×3×2×1=72\)个。3.已知\(A_{n}^2=30\)，求\(n\)的值。答案：根据排列数公式\(A_{n}^2=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)。已知\(A_{n}^2=30\)，即\(n(n-1)=30\)，展开得\(n^2-n-30=0\)，因式分解为\((n-6)(n+5)=0\)，解得\(n=6\)或\(n=-5\)。因为\(n\)是正整数，所以舍去\(n=-5\)，则\(n=6\)。4.从\(6\)名运动员中选\(4\)人参加\(4×100\)米接力赛，甲不跑第一棒的安排方法有多少种？答案：方法一：分两类。第一类，不选甲，有\(A_{5}^4\)种安排方法；第二类，选甲，甲不在第一棒，甲有\(3\)种排法，其余\(3\)人全排列有\(A_{5}^3\)种排法，共有\(3×A_{5}^3\)种安排方法。所以共有\(A_{5}^4+3×A_{5}^3=300\)种安排方法。方法二：用间接法。不考虑限制条件，有\(A_{6}^4\)种安排方法，甲跑第一棒有\(A_{5}^3\)种安排方法，所以甲不跑第一棒的安排方法有\(A_{6}^4-A_{5}^3=300\)种。五、讨论题1.在排列问题中，如何判断是全排列还是部分排列？并举例说明。答案：全排列是指从\(n\)个不同元素中取出\(n\)个元素的排列，即\(A_{n}^n\)；部分排列是从\(n\)个不同元素中取出\(m\)（\(m＜n\)）个元素的排列，即\(A_{n}^m\)。例如，将\(3\)个不同的球全部分别放入\(3\)个不同的盒子，这就是全排列，有\(A_{3}^3=3×2×1=6\)种放法；若从\(3\)个不同的球中选\(2\)个放入\(2\)个不同的盒子，这就是部分排列，有\(A_{3}^2=3×2=6\)种放法。2.讨论排列数在实际生活中的应用场景，并举例说明。答案：排列数在生活中应用广泛。比如在排队问题中，\(n\)个人站成一排，有\(A_{n}^n\)种不同站法；在密码设置方面，若密码由\(m\)位不同数字组成，数字可从\(n\)个数字中选取，那么密码的组合数就是\(A_{n}^m\)。再如，安排比赛出场顺序，\(n\)个运动员参加比赛，确定\(m\)个出场顺序，就有\(A_{n}^m\)种安排方式。这些都体现了排列数在实际生活中的作用。3.当\(n\)固定时，随着\(m\)的增大，排列数\(