第六节　二项分布及其应用、正态分布2026年高三数学第一轮总复习

二项分布及其应用、正态分布第六节课程内容要求1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.2.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征，均值、方差及其含义.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.伯努利试验

由教材回扣基础伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验n重伯努利试验定义将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验特征同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结果相互独立2.二项分布定义一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=_____________，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~_________均值与方差如果X~B(n，p)，那么E(X)=___，D(X)=_________

B(n，p)npnp(1-p)3.正态曲线和正态分布(1)正态曲线：函数f(x)=______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为______________，特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态曲线的特点：①曲线是单峰的，它关于直线_____对称；②曲线在x=μ处达到峰值______；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响：①当σ较小时，峰值高，曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较_____；②当σ较大时，峰值低，曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较_____.x=μ

(5)若X~N(μ，σ2)，则E(X)=___，D(X)=___.(6)3σ原则：①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈_______；

②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈_______；

③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈________.

μσ20.68270.95450.9973

澄清微点·熟记结论一、练牢基本小题1.某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，则发生险情时，至少有2台报警的概率是

.

答案：0.972练小题巩固基础2.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若P(ξ>2)=0.023，则P(-2≤ξ≤2)=

.

答案：0.954

二、练清易错易混1.(忽视正态曲线的对称性)某病毒的潜伏期X(单位：日)近似服从正态分布X~N(7，σ2)，若P(X>3)=0.872，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为(

)A.0.372 B.0.256C.0.128 D.0.744解析：因为X~N(7，σ2)，所以P(X≥11)=P(X≤3)=1-P(X>3)=1-0.872=0.128.√

√考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一n重伯努利试验√

√

方法技巧

针对训练√

[典例]

某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试.初试共考核A，B，C三项技能，其中A必须过关，B，C至少有一项过关才能进入面试.现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立.命题视角二二项分布考核技能ABC过关率

X0123P二项分布的解题策略(1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率.(2)①求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ~B(n，p)，则用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大减少计算量.②有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b).

方法技巧

针对训练

X345P

2.(2023·武汉模拟)某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，并制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间[80，100]内的人数为X，成绩在区间[70，100]内的人数为Y，记Z=X+Y，比较E(X)+E(Y)与E(Z)的大小关系.解：(1)平均成绩为10×(45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005)=69.5.

[典例]

某校为了解该校小学生课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.命题视角三正态分布

(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t(分钟)服从正态分布N(μ，13.42)，其中μ为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在(49.1，89.3]内的人数为X，求X的数学期望(精确到0.1).参考数据：当X服从正态分布N(μ，

σ2)时，P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.

正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)中的哪一个.方法技巧

针对训练√√解析：依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3>0.5，C正确，D错误；P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841

3，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7<0.2，而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误.故选B、C.2.为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计数据如下表所示：经计算，这100天的销售数量的平均数μ=64，标准差σ=4.8，用频率估计概率.销售数量/件4849n5263646566676869707173天数11356193318442121(1)求表格中字母n的值.(2)为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为X，并根据以下规则评判.评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格.三个不等式分别为①P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.6827，②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.9545，③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.9973.试分析该公司的销售水平.

思维激活—灵活不足·难得高分03

数学建模•练抽象思维——二项分布与正态分布中的创新应用问题A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大√√

√

3.(2023·新课标Ⅱ卷)(多选)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)

(

)A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率√√√

04课时跟踪检测

√

√3.(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是

(

)附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827.A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30，280)的概率是0.6827，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.34135√√√

√

5.某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为

(

)附：若随机变量X~N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.A.32 B.16 C.