甘肃省武威市民勤一中2024-2025学年高二上学期开学数学试卷

/2024-2025学年甘肃省武威市民勤一中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z(1−i)=1−2i，则|z|=(

)A.2 B.5 C.102.已知向量a=(2,1),b=(x,−2)，若a//bA.(−2,−1) B.(2,1) C.(3,−1) D.(−3,1)3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=30°，c=5，a=8，则cosA=(

)A.35 B.±35 C.−4.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB=a，AC=b，以向量a，b为基底，则向量AEA.12a+14b

B.15.某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是(

)A.“至少有1名女生”与“都是女生” B.“至少有1名女生”与“至多1名女生”

C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D.“至少有1名男生”与“都是女生”6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，AA1=5，E为A.510 B.3434 C.7.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为(

)A.32π3 B.4π C.2π D.8.对于f(x)=cos2(x−πA.f(x)关于直线x=π3对称 B.f(x)是偶函数

C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则(

)A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为23

C.所得的三位数是偶数的概率为23 D.所得的三位数大于40010.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若A=60°,a=3，则△ABC外接圆的半径等于1

B.若cos2A2=b+c2c，则此三角形为直角三角形

C.若11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BBA.FG//平面AED1

B.BC1//平面AED1

C.BC1与GF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a,b的夹角为5π6，且|a|=23，13.假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(AB)=______；P(A∪B)=______．14.若0<α<π2,0<β<π2,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知非零向量a，b满足|a|=|b|，且cos〈a,b〉=45．

(1)若向量a+2b与ka16.(本小题15分)

一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为0.9，0.8，0.8，在一小时的过程中，试求：

(Ⅰ)三台机床都不需要照顾的概率；

(Ⅱ)恰有两台机床需要照顾的概率；

(Ⅲ)至少有一台机床需要照顾的概率．17.(本小题15分)

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：PA//面BDE；平面PAC⊥平面BDE；

(2)若二面角E−BD−C为30°，求四棱锥P−ABCD的体积．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且bcosA+acosB=2ccosA．

(1)求角A的值；

(2)已知D在边BC上，且BD=3DC，AD=3，求△ABC的面积的最大值．19.(本小题17分)

在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图①，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②．

(1)证明：CP⊥DE；

(2)若CE⊥平面DEP，且AB=2，求点C到平面PBD的距离．

答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.C

7.D

8.D

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.213.0.56

0.94

14.566515.解：(1)由向量a+2b与ka+b共线，

得存在实数μ，使得ka+b=μ(a+2b)，则k=μ1=2μ，

所以k=12．

(2)由|a|=|b|，cos〈a,b16.解：(Ⅰ)设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件A1，A2，A3，由题意A1，A2，A3相互独立，且

P(A1)=0.9，P(A2)=0.8，P(A3)=0.8，

设“三台机床都不需要照顾”为事件B，

则P(B)=P(A1A2A3)=P(A117.(1)证明：连结EO

∵四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心

∴BD⊥AC=O，AO=CO

∵在△PAC中，E为PC的中点，∴PA//EO

又∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE

∴PA/​/平面BDE；

∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD

∴PO⊥BD

又∵BD⊥AC，AC∩PO=E，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC

∴BD⊥平面PAC

又∵BD⊂平面BDE

∴平面PAC⊥平面BDE；

(2)解：由(1)可知，∠EOC=30°，∴∠OPC=60°，

∵底面边长为a，

∴CO=22a，

∴PO=66a，

18.解：(1)△ABC中，bcosA+acosB=2ccosA，

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，

所以sin(A+B)=2sinCcosA，

因为A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC，

所以sinC=2sinCcosA，

又因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosA=12；

又因为A是△ABC的内角，所以A=π3．

(2)因为BC=3DC，所以AD−AB=3(AC−AD)，所以AD=14AB+34AC；19.证明：(1)在图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点，

∴∠ACB=90°，又E为AC的中点，所以DE/​/BC，

在图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，且CE∩PE=E，CE，PE⊂平面CEP，

∴DE⊥平面CEP，又PC⊂平面CEP，

所以CP⊥DE；

(2)解：因为CE⊥平面DEP，PE⊂平面DEP，

所以CE⊥PE，又PE⊥DE，CE⋂DE=