海南省华中师范大学琼中附属中学等2025届高三上学期10月月考数学试卷有解析

/华中师范大学琼中附属中学高三年级10月份数学学科月考试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分）.1.设全集，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，而，所以.故选：C2.已知复数，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为，所以.故选：D3.设，向量，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分必要条件定义即可判断.【详解】若，则，，则，所以；若，则，得.所以是的充分不必要条件.故选：A.4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B.2 C. D.【正确答案】D【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，所以.故选：D.5.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C.0 D.1【正确答案】C【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得，即可得答案.【详解】由题意是幂函数，则，即，将代入可得，故，故选：C6.已知函数为奇函数，则（）A.2 B.1C.0 D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得.【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得，即，所以.故选：B7.设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.【详解】易知，由于单调递增，所以，而，所以，综上.故选：A8.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围.【详解】函数的定义域为，若时，由求导得，，故当时，f′x<0，当时，f所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，；若时，由求导得，，因，故恒有f′x>0，即在上单调递增，且当时，，当时，，即时，恒有.作出函数的大致图象如图所示.又由可得或，由图知有两个根，此时有2个零点；要使函数恰有5个不同的零点，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，满分18分.全部选对得6分；如果有2个正确选项，只选对一个得3分；如果有3个正确选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分；选错或不选得0分.）9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.【详解】选项A：为奇函数不是增函数，选项B：，为奇函数和增函数，选项C：为奇函数和增函数，选项D：不是奇函数.故选：BC.10.下列命题正确的是（

）A.若，且，B.已知正数、满足，则的最小值为C.若，则的最大值是D.若，，，则的最小值是【正确答案】BC【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件．【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误；对于选项，，所以，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确；对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确；对于选项，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误．故选：．11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为【正确答案】BCD【分析】对于A，先建系，写出点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量垂直关系求得动点轨迹方程即可判断；对于B，利用等体积转化即可得到；对于C，利用向量数量积等于0即得动点轨迹，计算即得；对于D，依题作出并证明截面为正六边形，计算即得.【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，若平面，则，所以，即表示线段，则当点在线段时，平面，所以存在点，使得平面，A错误；对于B，由等体积法，三棱锥的高为，底面积，所以，所以三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，在选项A坐标系下，，若，，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，C正确；对于D，如图取中点，连接，由题可得，平面，连接，因为，平面，则，，又，平面，则平面，又取中点为，则，有四点共面，则平面即为平面，设平面与交于，又由两平面平行性质可知，，，，又都是中点，故是中点，是中点，则平面截正方体的截面为正六边形，又正方体棱长为，则，故截面面积，D正确.故选：BCD方法点睛：本题主要考查与正方体有关的动点轨迹，截面和体积定值问题，属于难题.解题方法一般有以下几种：（1）建系法：通过建立空间直角坐标系，将空间中的点、线、面的关系用向量表示并求解；（2）翻转求体积法：对于三棱锥有关的体积问题，常将其翻转通过不同底面求解；（3）作截面法：对于几何体的截面问题，一般通过棱的相交或平行平面的性质作出截线得到截面.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分）.12.已知向量，满足，，，则______．【正确答案】##0.5【分析】由数量积的运算律得，结合向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】，即，故．故答案为.13.通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则________【正确答案】1000【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案.【详解】由题知.故100014.已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是______..【正确答案】【分析】根据二次函数与对数函数的图象作出函数图象，利用数形结合及对勾函数的性质计算即可.【详解】作函数的图象如下图所示：由图象可知，方程有四个不同的解，且，需满足，则由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，，，则，，∴，而函数递减，上递增，当时，，当或4时，，故其取值范围为.故思路点睛：函数零点求参问题通常利用数形结合思想，及常用结论：对于方程有两根，且该两根之积为定值1，化简，再根据参数范围及对勾函数的性质计算即可.四、解答题：（本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.15.的内角A，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式计算即可；（2）利用余弦定理结合三角形面积公式化简计算即可.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得.又，所以.因为，所以；【小问2详解】的面积，则.由余弦定理：，得，所以，故的周长为.16.如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面.（1）证明：⊥平面；（2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值.【正确答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直.（2）由体积求出线段长，建立空间直角坐标系，找到两个面的一个法向量，由法向量求出二面角的余弦值即可.【小问1详解】如图，取中点，连接与交于点，，∴，∵，，，∴四边形为正方形，∴，∵平面⊥平面且平面平面，平面，∴平面又∵且，∴，∴AD⊥平面【小问2详解】∵，为正方形中心，故，∴，又∵平面⊥平面且平面平面，平面，∴平面，∴如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，∴，∴则由1）可知是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则即设则，即是平面的一个法向量，设二面角为，则，∴17.最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.（1）求的值；（2）若数列满足，，求数列的前n项和；（3）若公差为整数的等差数列满足，，证明.【正确答案】（1）2（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算；（2）由新定义转化后用错位相减法求和；（3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立．【小问1详解】.【小问2详解】因为，，且2与3互质，所以，所以，，两式相减得，所以.【小问3详解】证明：设an的公差为d.因为，，所以，则，因公差d为整数，所以，.当时，因为与互质，所以，所以，所以.18.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；（3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．【小问1详解】依题可得，解得，所以，所以椭圆的方程为．小问2详解】设，，因为直线过点且斜率不为，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，其判别式，所以，.两式相除得，即．因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．从而．【小问3详解】由（1）知，设，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当