解析卷北师大版9年级数学上册期中试题【培优】附答案详解

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣22、如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（）A．10 B．20 C．12 D．243、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（

）A．1 B． C． D．4、若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A．k＜且k≠﹣2 B．k≤ C．k≤且k≠﹣2 D．k≥5、若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．126、设，是方程的两个实数根，则的值为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237、若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（

）A．6 B．12 C．12或 D．6或二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、下列命题是真命题的是（）A．过线段中点的直线是线段的垂直平分线B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分D．对角线互相垂直的矩形是正方形2、下列方程中，有实数根的方程是（）A．(x﹣1)2＝2 B．(x+1)(2x﹣3)＝0C．3x2﹣2x﹣1＝0 D．x2+2x+4＝03、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论中正确的有（

）A．AE=BF； B．AE⊥BF； C．AO=OE； D．第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、若m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，则代数式m2+n2-2mn＝_____．2、中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.3、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠（1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为___．（2）当CD′的长最小时，PC的长为___．4、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．5、如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为_____．6、一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6，随机摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球（1）用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；（1）求两次抽出数字之和为奇数的概率．7、如图，在长方形ABCD中，AD=8，AB=6，点E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形时，则DE的长为___.8、某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：每次试验粒数501003004006001000发芽频数4796284380571948估计这批青稞发芽的概率是___________．（结果保留到0.01）9、如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）10、对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、解方程：（1）；

（2）．

（3）．2、在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，.（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点在上时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明；（3）当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长.3、圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．

（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）4、如图，已知正方形点在边上，以为边在左侧作正方形；以为邻边作平行四边形连接．（1）判断和的数量及位置关系，并说明理由；（2）将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，和的数量及位置关系是否发生变化？请说明理由．5、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出△BPE周长的最小值．6、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】设x2+y2＝z，则原方程换元为z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，由此即可求解．【详解】解：设x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣3）＝5，整理得：z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣2不合题意，舍去，∴x2+y2＝4．故选：B．【考点】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键，注意代数式x2+y2本身的取值范围不能忘．2、A【解析】【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CEAB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．【详解】：∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CEAB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CDAE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴DEBC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=BC=×3=1.5，∴AD==2.5，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故选A．【考点】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故选：D．【考点】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，解得：k≤且k≠-2，故选C．【考点】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．5、C【解析】【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【考点】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．6、B【解析】【分析】由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，∴=2022-1=2021．故选：B．【考点】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程得，当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；则该直角三角形的面积是6或，故选：D．【考点】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．二、多选题1、BD【解析】【分析】根据线段垂直平分线的定义，矩形的判定方法，三角形中位线的性质，以及正方形的判定方法逐项分析即可【详解】解：A.过线段中点且与这条线段垂直的直线是线段的垂直平分线，故原说法错误；B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确；C.如图，DE是△ABC的中位线，作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，AN=AM，∵S△ADE==，S△ABC=，∴S△ADE=S△ABC，∴S△ADE=S四边形BCED，∴三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故原说法错误；D.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；故选BD．【考点】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．2、ABC【解析】【分析】根据直接开方法可确定A选项正确；根据因式分解法可确定B选项正确；根据方程的判别式，当时，方程有两个不等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根，可判断C选项正确，D选项错误．【详解】A.，解得：，，方程有实数根，A选项正确；B.，解得：，，方程有实数根，B选项正确；C.，，，，方程有实数根，C选项正确；D.，，，，方程无实数根，D选项错误．故选：ABC．【考点】本题考查了一元二次方程根的判断，熟练掌握根的判别式是解题的关键．3、ABD【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE，∴AE=BF，所以A选项符合题意；∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE⊥BF，所以B选项符合题意；连结BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以C选项不符合题意；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以D选项符合题意．故选ABD．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，也考查了正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、填空题1、21【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m，n是关于x的方程x2-3x-3＝0的两根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【考点】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．2、20【解析】【分析】设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.【详解】解：设该地区人均收入增长率为x，则300×（1+x）2=432，∴（1+x）2=1.44，解得x=0.2（x=-2.2舍），∴该地区人均收入增长率为20％.故本题答案应为：20％.【考点】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.3、

【解析】【分析】（1）根据四边形是正方形，得到从而得到再利用勾股定理求解即可得到答案；（2）如图：连接，运用矩形的性质和折叠的性质求出的最小值，再设，则，最后在中运用勾股定理解答即可【详解】解：（1）如图所示，∵四边形是正方形∴∵∴∵四边形ABCD是矩形∴，∠B=90°∴（2）如图：连接，当点在上时，有最小值．∵四边形是矩形，，，∴，，∴．由折叠性质，得，，∴的最小值．设，则．在中，，即，解得，∴的长为．故答案为：．【考点】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质确定的最小值成为解答本题的关键．4、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．5、64【解析】【分析】连接HE、EF、FG、GH，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG是菱形，根据菱形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：连接HE、EF、FG、GH，∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF＝AC＝4，EF∥AC，同理可得，HG＝AC＝4，HG∥AC，EH＝BD＝4，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形HEFG为平行四边形，∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，∴OE2+OH2＝EH2＝16∴EG2+FH2＝(2OE)2+(2OH)2＝4(OE2+OH2)＝64，故答案为64．【考点】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定和性质定理是解题的关键．6、【解析】【分析】(1)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．(2)根据概率的求法，找准两点：第一点，全部情况的总数；第二点，符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】(1)根据题意，画树状图如下：数字之和为

8，9，10，9，10，11，10，11，12由树状图可知，共有9种可能的结果．(2)共有9种可能的结果，其中两次抽出数字之和为奇数(记为事件A)的情况有4种,P(A)=故答案为：【考点】此题考查用列表法或树状图法求概率，概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果那么事件A的概率P(A)=7、或8或或【解析】【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠D=90°，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x即可．②当点F落在AB边上时，如答图2所示．此时四边形ADEF为正方形，得出DE=AD=8．③当点F落在BC边上时，利用勾股定理即可解决问题；④如图4中，当点F在CB的延长线上时，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，，当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，F落在AC上，如图1所示．由折叠的性质得：EF=DE，AF=AD=8，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得x=，∴DE=；②当点F落在AB边上时，如图2所示．此时ADEF为正方形，∴DE=AD=8．③如图4，当点F落在BC边上时，易知BF，设DE=EF=x，在Rt△EFC中，，，，④如图3中，当点F在CB的延长线上时，设DE=EF=x，则BF，在Rt△CEF中，，解得x=，综上所述，BE的长为或8或或.【考点】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．8、0.95【解析】【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．【详解】观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在0.95附近，则这批青稞发芽的概率的估计值是0.95，故答案为：0.95．【考点】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键．9、①③【解析】【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故②错误；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，不能得出AE=AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；故答案为：①③．【考点】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．10、或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【考点】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．四、解答题1、（1）;（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．【详解】（1）解得（2）解得：（3）去分母得：解得：当时，当时，原方程的根为【考点】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．2、（1）AM=DF；（2），证明见解析；（3）1或5【解析】【分析】（1）可通过证明，即可利用全等三角形的性质得出结论；（2）通过作辅助线，构造等边三角形DMN，再通过全等证明出DF=EN，利用等边三角形得出DN=DM，DA=DB，求出AM=BN，即可证明题中三线段之间的关系；（3）分别讨论当E点在线段BD和DB的延长线上两种情况，利用全等以及等边三角形的相关结论即可求出DF的长．【详解】解：（1）AM=DF；理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，可得△BCD和△ABD都是等边三角形；∴BD=BA，∠DBA=60°，又由旋转可知ME=MF，∠EMF=60°，得△MEF也是等边三角形，∴EF=EM，∠MEF=60°，∴∠MEA=∠FED，可证：；∴AM=DF．（2）结论：证明：过点作交延长线于.∵四边形是菱形∴，∴∵∴∴是等边三角形∴，∵∴，∴是等边三角形∴∵，∴是等边三角形∴，，∴∴∴即：∵，∴∴.（3）1或5当E点在线段BD上时，由（2）知，，∵AB=6，∴BD=AD=6，∵BD=2BE，AD=3AM，∴BE=3,AM=2,∴DF=5；当E点在线段DB的延长线上时，如图所示：作MN∥AB与DE交于点N，∵∠MDN=∠DAB=60°，利用平行线的性质可得出∠DMN=60°，则△DMN是等边三角形，∴MN=MD，又由∠DMN=∠EMF，∴∠EMN=∠FMD,∵ME=MF，∴，∴DF=EN∵EN=EB-BN=BD-AM=3-AD=3-2=1；综上可得：DF的长为1或5．【考点】本题涉及到了几何图形的动点问题，综合考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等内容，要求学生理解相关概念与性质，能利用相关知识进行边角之间的转化，本题难点在于作辅助线，考查了学生的综合分析的能力，对学生推理分析能力有较高要求．3、（1）；（2）见解析，【解析】【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;(2)画出树状图计算即可.【详解】（1）∵这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,∴数字是6的概率为,故答案为：；（2）解：画树状图如图所示：∵共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况．∴（其中有一幅是祖冲之）．【考点】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键．4、（1）；；理由见解析；（2）与的数量及位置关系都不变；答案见解析．【解析】【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则可得出结论；（2）证明，由全等三角形的性质得出，，由平行线的性质证出，则可得出结论．【详解】解：（1），．由题意可得，平行四边形为矩形，，，，，，，，，设与交于点，则，即．（2）与的数量及位置关系都不变．如图，延长到