2025年中国科学技术大学少年班数学试题解析与答案

2025年中国科学技术大学少年班数学试题解析与答案一、选择题（每题5分，共30分）1.设集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)解析：首先求解集合\(A\)，对于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，则\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。-当\(B=\varnothing\)时，方程\(ax-2=0\)无解，此时\(a=0\)。-当\(B\neq\varnothing\)时，\(B=\{x|x=\frac{2}{a}\}\)。-若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)。-若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)，答案选A。2.函数\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((3,+\infty)\)解析：首先求函数的定义域，由\(x^2-2x-3>0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)>0\)，解得\(x>3\)或\(x<-1\)。令\(t=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\)，函数\(y=\log_{0.5}t\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。根据复合函数“同增异减”的原则，求\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间，即求\(t=x^2-2x-3\)在定义域内的单调递减区间。\(t=(x-1)^2-4\)的对称轴为\(x=1\)，其在\((-\infty,1)\)上单调递减，结合定义域\(x>3\)或\(x<-1\)，所以\(y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)\)的单调递增区间是\((-\infty,-1)\)，答案选A。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)平行，则\(x\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(2\)解析：先求出\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)和\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)的坐标。\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,2+2)=(1+2x,4)\)。\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=2(1,2)-(x,1)=(2-x,4-1)=(2-x,3)\)。因为\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)平行，根据两向量平行的坐标关系：若\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。所以\(3(1+2x)-4(2-x)=0\)，展开得\(3+6x-8+4x=0\)，合并同类项得\(10x-5=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，答案选A。4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(14\)解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，根据等差数列的性质：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_5=2a_4\)，已知\(a_3+a_4+a_5=12\)，即\(3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。根据等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}\)。又因为\(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(S_7=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28\)，答案选A。5.若直线\(l\)过点\((-1,2)\)且与直线\(2x-3y+4=0\)垂直，则直线\(l\)的方程为（）A.\(3x+2y-1=0\)B.\(3x+2y+7=0\)C.\(2x-3y+5=0\)D.\(2x-3y+8=0\)解析：已知直线\(2x-3y+4=0\)，其斜率\(k_1=\frac{2}{3}\)。因为两直线垂直，斜率之积为\(-1\)，设直线\(l\)的斜率为\(k_2\)，则\(k_1k_2=-1\)，即\(\frac{2}{3}k_2=-1\)，解得\(k_2=-\frac{3}{2}\)。直线\(l\)过点\((-1,2)\)，根据点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\((x_0,y_0)\)为直线上一点，\(k\)为直线斜率），可得直线\(l\)的方程为\(y-2=-\frac{3}{2}(x+1)\)。整理得\(2y-4=-3x-3\)，即\(3x+2y-1=0\)，答案选A。6.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与抛物线在\(x\)轴上方的部分相交于点\(A\)，\(AK\perpl\)，垂足为\(K\)，则\(\triangleAKF\)的面积是（）A.\(4\)B.\(3\sqrt{3}\)C.\(4\sqrt{3}\)D.\(8\)解析：对于抛物线\(y^2=2px(p>0)\)，其焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。在抛物线\(y^2=4x\)中，\(2p=4\)，则\(p=2\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(l:x=-1\)。过点\(F(1,0)\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线方程为\(y=\sqrt{3}(x-1)\)。联立直线与抛物线方程\(\begin{cases}y=\sqrt{3}(x-1)\\y^2=4x\end{cases}\)，将\(y=\sqrt{3}(x-1)\)代入\(y^2=4x\)得：\([\sqrt{3}(x-1)]^2=4x\)，即\(3(x^2-2x+1)=4x\)，展开得\(3x^2-6x+3=4x\)，移项化为\(3x^2-10x+3=0\)，因式分解得\((3x-1)(x-3)=0\)，解得\(x_1=\frac{1}{3}\)，\(x_2=3\)。因为点\(A\)在\(x\)轴上方，把\(x=3\)代入\(y=\sqrt{3}(x-1)\)得\(y=2\sqrt{3}\)，所以\(A(3,2\sqrt{3})\)。因为\(AK\perpl\)，垂足为\(K\)，所以\(K(-1,2\sqrt{3})\)。\(|AK|=3-(-1)=4\)，点\(F\)到\(AK\)的距离就是\(A\)点的纵坐标的绝对值，即\(2\sqrt{3}\)。则\(\triangleAKF\)的面积\(S=\frac{1}{2}\times|AK|\times2\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)，答案选C。二、填空题（每题5分，共20分）1.已知复数\(z=\frac{2+i}{1-i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(|z|=\)______。解析：先将复数\(z=\frac{2+i}{1-i}\)化简，给分子分母同时乘以\(1+i\)得：\(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{2+3i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。根据复数的模的计算公式，若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），则\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)，所以\(|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{1+9}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。2.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x>0\end{cases}\)，则\(f(f(\frac{1}{4}))=\)______。解析：先求\(f(\frac{1}{4})\)，因为\(\frac{1}{4}>0\)，所以\(f(\frac{1}{4})=\log_2\frac{1}{4}=\log_22^{-2}=-2\)。再求\(f(f(\frac{1}{4}))\)，即\(f(-2)\)，因为\(-2\leqslant0\)，所以\(f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}\)。3.已知三棱锥\(P-ABC\)的四个顶点都在球\(O\)的球面上，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(PA=3\)，\(AB=2\)，\(AC=2\sqrt{3}\)，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，则球\(O\)的表面积为______。解析：在\(\triangleABC\)中，由余弦定理\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cos\angleBAC\)。已知\(AB=2\)，\(AC=2\sqrt{3}\)，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，则\(BC^2=4+12-2\times2\times2\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=16-4\sqrt{3}\)，\(BC=4\)。设\(\triangleABC\)外接圆的半径为\(r\)，根据正弦定理\(\frac{BC}{\sin\angleBAC}=2r\)，即\(\frac{4}{\sin60^{\circ}}=2r\)，解得\(r=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)。设球\(O\)的半径为\(R\)，因为\(PA\perp\)平面\(ABC\)，则\(R=\sqrt{r^2+(\frac{PA}{2})^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{16}{3}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{64+27}{12}}=\sqrt{\frac{91}{12}}\)。球\(O\)的表面积\(S=4\piR^2=4\pi\times\frac{91}{12}=\frac{91\pi}{3}\)。4.已知函数\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则当\(x<0\)时，\(f(x)=\)______。解析：设\(x<0\)，则\(-x>0\)。因为当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(-x)=-x(1-x)\)。又因为\(y=f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(x)=-f(-x)=-[-x(1-x)]=x(1-x)\)。三、解答题（共50分）1.（10分）已知函数\(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)\)的最小正周期为\(\pi\)，且图象过点\((\frac{\pi}{4},\sqrt{2})\)。（1）求\(\omega\)和\(\varphi\)的值；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。解析：（1）根据正弦函数的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（\(\omega>0\)），已知最小正周期\(T=\pi\)，则\(\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，解得\(\omega=2\)。所以\(f(x)=2\sin(2x+\varphi)\)，因为函数图象过点\((\frac{\pi}{4},\sqrt{2})\)，所以\(2\sin(2\times\frac{\pi}{4}+\varphi)=\sqrt{2}\)，即\(2\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi)=\sqrt{2}\)。根据诱导公式\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，则\(2\cos\varphi=\sqrt{2}\)，\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。又因为\(0<\varphi<\pi\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{4}\)。（2）由（1）知\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\)。当\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{8}\)时，\(f(x)\)取得最大值\(f(\frac{\pi}{8})=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)。当\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)\)取得最小值\(f(\frac{\pi}{2})=2\sin\frac{5\pi}{4}=2\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}\)。2.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-2\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。解析：（1）当\(n=1\)时，\(S_1=a_1=2a_1-2\)，解得\(a_1=2\)。当\(n\geqslant2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-2-(2a_{n-1}-2)\)。化简得\(a_n=2a_n-2a_{n-1}\)，即\(a_n=2a_{n-1}\)。所以数列\(\{a_n\}\)是以\(2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列。根据等比数列的通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(a_1\)为首项，\(q\)为公比），可得\(a_n=2\times2^{n-1}=2^n\)。（2）由（1）知\(a_n=2^n\)，则\(b_n=\log_2a_n=\log_22^n=n\)。所以\(\frac{1}{b_nb_{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)。则\(T_n=\frac{1}{b_1b_2}+\frac{1}{b_2b_3}+\cdots+\frac{1}{b_nb_{n+1}}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\)。\(T_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)。3.（14分）如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是菱形，\(\angleBAD=60^{\circ}\)，\(PA=PD\)，\(E\)是\(AD\)的中点。（1）证明：平面\(PED\perp\)平面\(ABCD\)；（2）若\(PA=AB=2\)，求三棱锥\(P-BCD\)的体积。解析：（1）连接\(BD\)。因为底面\(ABCD\)是菱形，\(\angleBAD=60^{\circ}\)，所以\(\triangleABD\)是等边三角形。因为\(E\)是\(AD\)的中点，所以\(BE\perpAD\)，\(DE\perpAD\)。又因为\(PA=PD\)，\(E\)是\(AD\)的中点，所以\(PE\perpAD\)。因为\(PE\capBE=E\)，\(PE,BE\subset\)平面\(PED\)，\(AD\subset\)平面\(ABCD\)，所以\(AD\perp\)平面\(PED\)。又\(AD\subset\)平面\(ABCD\)，所以平面\(PED\perp\)平面\(ABCD\)。（2）因为\(PA=AB=2\)，\(\triangleABD\)是等边三角形，\(E\)是\(AD\)的中点，所以\(AE=1\)，\(PE=\sqrt{PA^2-AE^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)。\(S_{\triangleBCD}=S_{\triangleABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times4=\sqrt{3}\)。因为\(PE\perpAD\)，平面\(PED\perp\)平面\(ABCD\)，平面\(PED\cap\)平面\(ABCD=AD\)，\(PE\subset\)平面\(PED\)，所以\(PE\perp\)平面\(ABCD\)。则三棱锥\(P-BCD\)的体积\(V_{P-BCD}=\frac{1}{3}S_{\triangleBCD}\cdotPE=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}=1\)。4.（14分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，\(M\)是线段\(AB\)的中点，直线\(OM\)（\(O\)为坐标原点）的斜率为\(k_{OM}\)，若\(k\cdotk_{OM}=-\frac{1}{2}\)，证明：