2025年湖南省长沙一中新华都中学中考数学模拟试卷（二）

第1页（共1页）2025年湖南省长沙一中新华都中学中考数学模拟试卷（二）一、选择题（共10小题，每题3分）1．（3分）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（）A．﹣2025 B． C．2025 D．2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（）A． B． C． D．3．（3分）据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（）A．151×108 B．15.1×109 C．1.51×109 D．1.51×10104．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2+a2＝5a4 B．（a4）2＝a8 C．a3•a4＝a12 D．a8+a2＝a45．（3分）下列所给的事件中，是随机事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为180° C．若a，b互为相反数，则a+b＝0 D．水中捞月6．（3分）反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限7．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，则OB的长为（）A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，垂足为E．若CD＝16，OD＝10（）A．12 B．16 C．18 D．209．（3分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧；以点C′为圆心，CD长为半径画弧；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等10．（3分）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）分解因式：a2+5a＝．12．（3分）在数轴上，介于和之间的整数是．13．（3分）如图，直线l分别与直线a，b相交，若∠1＝71°，则∠2的度数为．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝．15．（3分）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．16．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，B，如果∠C＝65°，那么∠P的度数等于．三、解答题（共9小题）17．（8分）计算：．18．（8分）解方程：2x2+x﹣2＝0．19．（8分）尺规作图问题：如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．小明：小丽，你的作法有问题．小丽：哦…我明白了！（1）证明AF∥CE；（2）指出小丽作法中存在的问题．20．（8分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度x/cm频率4.0≤x＜4.70.044.7≤x＜5.4m5.4≤x＜6.10.456.1≤x＜6.80.306.8≤x＜7.50.09合计1根据图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的m＝；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．21．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点（1）求证：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．22．（8分）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，共收入680元；销售A产品50件，共收入1240元．（1）求A，B两种产品的销售单价．（2）若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元23．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，使得BF＝CE，连接AF（1）求证：四边形ADEF是矩形．（2）若AB＝3，DF＝4，DF⊥CD24．（8分）新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．25．（8分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF；（2）已知AD＝AE＝1；①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上；②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，如果BC＝4，且CD2＝DM•DN，∠DMC＝∠CEM，求边CD的长．

2025年湖南省长沙一中新华都中学中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AAD．BABCBAC一、选择题（共10小题，每题3分）1．（3分）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（）A．﹣2025 B． C．2025 D．【解答】解：2025的相反数是﹣2025．故选：A．2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．3．（3分）据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（）A．151×108 B．15.1×109 C．1.51×109 D．1.51×1010【解答】解：151亿1.51×1010．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2+a2＝5a4 B．（a4）2＝a8 C．a3•a4＝a12 D．a8+a2＝a4【解答】解：A、4a2+a6＝5a2≠8a4，故该项不正确，不符合题意；B、（a4）7＝a8，故该项正确，符合题意；C、a3•a3＝a7≠a12，故该项不正确，不符合题意；D、a8与a5不是同类项，不能合并，不符合题意；故选：B．5．（3分）下列所给的事件中，是随机事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．任意画一个三角形，其内角和为180° C．若a，b互为相反数，则a+b＝0 D．水中捞月【解答】解：A、抛掷硬币时，符合题意；B、任意画一个三角形，不符合题意；C、若a，则a+b＝0是必然事件；D、水中捞月是不可能事件，故选：A．6．（3分）反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞2，∴反比例函数y＝的图象在一．故选：B．7．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，则OB的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，又∵AC＝4，∴OA＝OB＝2，故选：C．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，垂足为E．若CD＝16，OD＝10（）A．12 B．16 C．18 D．20【解答】解：由条件可知，∵OD＝10＝OA，∴，∴AE＝OA+OE＝10+4＝16．故选：B．9．（3分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧；以点C′为圆心，CD长为半径画弧；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．故选：A．10．（3分）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：连接CD，∵∠CAD＝90°，∴CD是⊙O的直径，在Rt△ACD中，AC＝4，∴CD＝＝＝2，∴sin∠ADC＝＝＝，∵∠ABC＝∠ADC，∴sin∠ABC＝sin∠ADC＝，故选：C．二、填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）分解因式：a2+5a＝a（a+5）．【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，∴原式＝a（a+8），故答案为：a（a+5）．12．（3分）在数轴上，介于和之间的整数是3．【解答】解：∵，∴，∵，∴，∴介于和之间的整数是3，故答案为：3．13．（3分）如图，直线l分别与直线a，b相交，若∠1＝71°，则∠2的度数为109°．【解答】解：∵∠1＝71°，∴∠3＝180°﹣71°＝109°，∵a∥b，∴∠5＝∠3＝109°．故答案为：109°．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝3．【解答】解：由题知，将x＝1代入一元二次方程得，1﹣6+a＝0，解得a＝3．故答案为：3．15．（3分）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴OA＝OB＝＝，∴S扇形OAB＝＝＝．故答案为：．16．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，B，如果∠C＝65°，那么∠P的度数等于50°．【解答】解：连接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切线、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝65°，∴∠AOB＝130°，∴∠P＝360°﹣130°﹣90°﹣90°＝50°．故答案为：50°．三、解答题（共9小题）17．（8分）计算：．【解答】解：原式＝4﹣+﹣1﹣1＝2．18．（8分）解方程：2x2+x﹣2＝0．【解答】解：2x2+x﹣8＝0，b2﹣4ac＝12﹣5×2×（﹣2）＝17，x＝，x2＝，x3＝．19．（8分）尺规作图问题：如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，则AF∥CE．小明：小丽，你的作法有问题．小丽：哦…我明白了！（1）证明AF∥CE；（2）指出小丽作法中存在的问题．【解答】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵CF＝AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE；（2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，此时可能会有两个交点．故小丽的作法有问题．20．（8分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．【确定调查方式】（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是③；（只填序号）①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本③随机抽取100个麦穗的长度作为样本【整理分析数据】（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：试验田100个麦穗长度频率分布表长度x/cm频率4.0≤x＜4.70.044.7≤x＜5.4m5.4≤x＜6.10.456.1≤x＜6.80.306.8≤x＜7.50.09合计1根据图表信息，解答下列问题：①频率分布表中的m＝0.12；②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）【作出合理估计】（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．【解答】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，故答案为：③（2）①频率分布表中的m＝1﹣（0.04+6.45+0.3+2.09）＝0.12，故答案为：0.12，②麦穗长度频率分布在8.1≤x＜6.6之间的频数有：100×0.3＝30，频数分布直方图补全如下：（3）7.45+0.3+7.09＝0.84，故长度不小于5.2cm的麦穗在该试验田里所占比例为84%．21．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点（1）求证：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．【解答】（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∵BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS）；（2）证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA＝CA，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BE＝CA，∴BA＝BE．22．（8分）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，共收入680元；销售A产品50件，共收入1240元．（1）求A，B两种产品的销售单价．（2）若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元【解答】解：（1）设A产品的销售单价为x元，B产品的销售单价为y元，根据题意得：，解得：．答：A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元；（2）设销售A产品m件，则销售B产品（300﹣m）件，根据题意得：12m+16（300﹣m）≤4000，解得：m≥200，∴m的最小值为200．答：最少要销售A产品200件．23．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，使得BF＝CE，连接AF（1）求证：四边形ADEF是矩形．（2）若AB＝3，DF＝4，DF⊥CD【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵BF＝CE．∴BF+BE＝CE+BE，即EF＝BC，∴EF＝AD，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形．∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴▱ADEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∵DF＝4，∴，∵DF⊥CD，∴∠CDF＝90°．∴△CDF的面积＝，即，解得：．24．（8分）新定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则称此抛物线为“直角型抛物线”．（1）抛物线是“直角型抛物线”吗？请说明理由．（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，且tan∠BAC＝2（3）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，△ABC的面积为S，当时，t的最小值为1，求S的值及抛物线的解析式．【解答】解：（1）抛物线是“直角型抛物线”抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x5，0），x1＜x7，与y轴交于点C，当y＝0时，得：，解得：x7＝﹣1，x2＝7，当x＝0时，得：y＝2，∴A（﹣7，0），0），2），∴AB＝4﹣（﹣1）＝6，∴，，∴AC6+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴抛物线是“直角型抛物线”；（2）令x＝5，则y＝c，∴C（0，c），令x＝0，则ax4+bx+c＝0，∴，，∴，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AC8+BC2＝AB2，∴，整理得：c7＝﹣x1x2，∴，整理得：x1+x8＝bc，ac＝﹣1，在Rt△ABC中，，∴BC＝6AC，∴BC2＝4AC2，∴，即，解得：x2＝﹣7x1或x2＝x7（不合题意，舍去），∴B（﹣4x1，3），，∴c＝2x4或c＝﹣2x1，∵x4＜x2，即x1＜﹣2x1，∴x1＜3，当c＝2x1时，b•3x1＝bc＝x1+x2＝﹣3x1，解得：；当c＝﹣2x3时，b•（﹣2x1）＝bc＝x6+x2＝﹣3x2，解得：；∴综上所述，b的值为或；（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是“直角型抛物线”，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，由（2）得，，，ac＝﹣1，∴，∴，∵C（7，c），∴，∴，∴，∴，∴函数t的对称轴为，由题意得，S＞0，①当，即0＜S＜1，当a＝2时，t取最小值1，此时，解得：（不合题意；②当时，即1≤S≤5，当时，t取最小值1，此时，解得：S＝8（不合题意，舍去）；③当，即S＞4，当时，t取最小值1，此时，解得：S＝6，∴，，解得：，∴抛物线