数值分析（第2版）课件第一章 引言

数值分析

Numericalanalysis1引言一、数值计算方法的产生与发展第一阶段自15世纪的欧洲数学的发展开始第二阶段计算机辅助下的快速发展第三阶段现代数值计算蓬勃发展3第一阶段：萌芽与初步发展阶段艾萨克·牛顿莱昂哈德·欧拉约瑟夫·路易·拉格朗日一般插值方法、差分方法已出现4第一阶段：萌芽与初步发展阶段最优逼近的方法和理论，曲线拟合的最小二乘法等等，解决了天文学等工程计算中的实际问题。卡尔·弗雷德里希·高斯阿德利昂·玛利·埃·勒让德切比雪夫5第一阶段：萌芽与初步发展阶段多项式计算方法、方程组求解方法等数值计算的发展做出了巨大贡献秦九韶刘徽朱世杰6第二阶段：计算机辅助下的快速发展阶段冯·诺依曼冯·诺依曼是现代计算机架构的奠基人之一，他提出的存储程序概念，为数值计算提供了硬件基础。开发了蒙特卡洛方法、差分方程和偏微分方程的数值解法等，推动了数值分析方法的发展.7冯康，中国数学家，中国科学院院士，被誉为“中国计算数学之父”。他在计算数学领域做出了许多开创性的工作，特别是在有限元方法（FiniteElementMethod，FEM）的发展上具有深远的影响力。冯康8第三阶段：现代化与多样化发展阶段“科学与工程计算”已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段。二、数值分析及其主要内容1.数值分析具有基础性、实用性和边缘性的特点特点04数值分析也称为计算方法名称01研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的一门数学课程课程性质02是一门与工程实际应用密切相关的课程应用03《数值代数》、《数值逼近》和《微分方程数值解》主要包括：线性和非线性方程（组）的求解、函数的插值与逼近、数值积分与数值微分和微分方程的数值解法等。102.主要研究内容三、实际问题是如何求解的呢？考虑一个物理问题：求球体进水深度

解题步骤：数学模型实际问题

数值计算方法计算机计算输出结果

13实际问题数值计算方法修改数学模型程序设计结果分析计算机计算重新选择计算机解决实际问题的一般流程:四、一个好的算法有什么特点呢？141.针对计算机设计，结构简单，易于编程实现；2.有可靠的理论分析；（误差分析、收敛性和稳定性分析等）3.有好的复杂度（时间、空间复杂度）;4.便于设计数值实验.15误差(Error)武芳芳误差16

科学计算中所处理的数据和计算的结果往往都是在一定范围内的近似数值，它们与真实值之间总存在着一些偏差——误差.1.误差的来源与分类2.误差的计算方法本节主要学习内容：计算机解决实际问题的一般流程17实际问题数值计算方法数学模型程序设计结果分析计算机计算1243一、误差的来源与分类18按误差来源分类可分为如下四类：一、误差的来源与分类3.截断误差4.舍入误差误差1.模型误差2.测量误差19一些物理量是通过观测得到，由观测产生的误差称为观测误差。例如：工件的测量，肉眼观测必然有误差。2.观测误差3.截断误差当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求其近似解，其近似解和精确解之间的误差称为截断误差(Truncationerror)或方法误差。

截断误差21

4.舍入误差在数值分析中，我们总假定模型是“完美”的，观测数据是“精确”的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.【注意】由于计算机的字长有限，将计算过程中取有限位数字进行运算而引起的误差称为舍入误差(Round-offerror)。22误差可正可负！二、误差的计算方法1.绝对误差

23

24

这告诉大家评估近似值的精度，不仅要看绝对误差的大小，还要考虑数值本身的大小思考:25

2.相对误差

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解：

28

解:

29有效数字SignificantFigures30

祖冲之(429年-500年)，南北朝时代，今河北省涞水县人。一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。

直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。

【思考】

一、有效数字祖冲之得到圆周率的近似值是3.1415926，共有31415926八位数字，其中有效数字是哪几位呢？【思考】

数位：有效数字：3，1，4，1，5，9，2绝对误差限：

小数点后六位从左起第一个非0开始到小数点后六位34有效数字其他定义

35

解

根据定义2有效数字位数越多，绝对误差越小

37

二、有效数字与相对误差的关系有效数字位数越多，相对误差越小

解

由定理1

故要取4位有效数字。解

由定理2

40数值算法设计原则武芳芳41一、数值算法设计原则

1.简化计算步骤，减少运算次数

只要做14次乘法运算即可。

42例多项式求值的秦九韶算法

秦九韶算法:

秦九韶是我国南宋数学家，他于1247年提出此算法。国外称此算法为Hornor算法，是1819年给出的，比秦九韶算法晚了500多年。

例

解方法1：直接计算

方法2：先通分，再计算

2.避免两个相近的数相减两个相近的数相减，不仅会产生较大的相对误差，而且会丢失有效数字。44在进行数值计算时,如果遇到两个相近数相减的情形,也可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失.

常用形式：3.避免绝对值很小的数作除数和大数作乘数

在计算过程中，用绝对值很小的数作为除数，有可能使得商的数量级增大，从而导致出现两种情况：

即使没有发生“溢出”，但商的数量级远大于其他参与运算的数，出现大数“吃掉”小数的现象。商有可能超出计算机表示的范围而引发“溢出”现象；

可见，商发生了巨大的变化。

参与运算的数，如果数量级差距较大，绝对值很小的数往往会被绝对值较大的数“吃掉”，不能发挥作用，造成计算结果失真。4.防止大数“吃掉”小数

由于计算机只能存放8位十进制数，因此上式计算结果变为

方法2：如果改变计算次序,先将三个小数相加，再与大数相加

方法1：按照加法浮点运算的对阶规则，应有47实际计算时，给定的数据会有误差，数值计算中也会产生误差，并且，这些误差在进一步