第15章第01讲 轴对称（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第01讲轴对称课程标准学习目标①轴对称图形②轴对称③轴对称及其轴对称图形的性质1.掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。2.掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。知识点01轴对称图形轴对称图形的概念：若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的。一个轴对称图形可以有多条对称轴。常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量：角：对称轴所在位置是所在直线，一共有条对称轴。底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是所在的直线，一共有条对称轴。等边三角形：对称轴所在直线是所在的直线，一共有条对称轴。矩形：对称轴所在直线是所在的直线，一共有条对称轴。正方形：对称轴所在直线是所在的直线，一共有条对称轴。圆形：对称轴所在直线是所在的直线，一共有条对称轴。【即学即练1】1．我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【即学即练2】2．下面图形中，对称轴最多的是（）A． B． C． D．知识点02轴对称轴对称的概念：一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的。轴对称只有一条对称轴。重合的边叫做，重合的角叫做。重合的点叫做。注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。【即学即练1】3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（）A． B． C． D．知识点03轴对称与轴对称图形的性质轴对称与轴对称图形的性质：①轴对称图形对称轴两旁的部分，成轴对称的两个图形。②对应边，对应角。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。③对称轴经过任何一组对应点连线的且与线段。我们把对称轴叫做对应点连线的。④对应点的连线之间相互。【即学即练1】4．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练2】5．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（）A．144° B．108° C．72° D．54°【即学即练3】6．如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（）A．9 B．18 C．24 D．36题型01轴对称图形判断【典例1】第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【变式1】垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（）A． B． C． D．【变式2】二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．题型02判断对生活中的轴对称【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（）A． B． C． D．【变式1】在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（）A． B． C． D．【变式3】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M题型03轴对称图形与轴对称的性质【典例1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列选项中的结论不正确的是（）A．△ABC≌△A′B′C′ B．∠BAC＝∠B'A′C′ C．直线l垂直平分CC′ D．直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则下列结论不一定正确的是（）A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．直线l垂直平分AA′ D．BB′＝2AA′【变式2】如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式3】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，下列结论：①l垂直平分CE；②∠BAE＝∠DAC；③△BCE≌△DEC；④直线BC，DE的交点一定在l上，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型04轴对称的性质—桌球反弹规律题【典例1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【变式1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【变式2】如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2的坐标是，点P2017的坐标是．【变式3】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为．【变式4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（）A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）题型05利用轴对称的性质计算角度【典例1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（）A．15° B．20° C．25° D．35°【变式1】如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B的度数为（）A．90° B．95° C．80° D．85°【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式3】起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝．题型06利用轴对称的性质计算线段【典例1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式1】如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为厘米．【变式2】如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB于点C，D，P1P2＝6cm，则△PCD的周长为．【变式3】如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．5 C．6 D．71．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋3．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（）A． B． C． D．4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（）A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（）A．90° B．100° C．120° D．140°8．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，连接BD交m于点F，则∠1的度数为（）A．36° B．70° C．72° D．108°9．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（）A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．1 C．2 D．311．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有条对称轴．12．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品．13．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD与△BED关于BD对称，则△ADE的周长为cm．14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B，C分别落在点B′，C′的位置，C′在AD上，再沿AB折叠，点B′落在点B″位置，点B″在C′E上，若∠1＝∠2，则∠1＝°．15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是．16．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个