高中数学必修5选修2-1综合模拟试卷

这份模拟试卷围绕高中数学必修5（数列、不等式、解三角形）与选修2-1（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何）的核心知识展开，通过选择题、填空题、解答题三类题型，系统检验对知识的理解深度与综合应用能力，难度梯度贴合高考要求，适合高二期末复习或高三一轮复习阶段使用。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3+a_7=10$，则$S_9=$（）A.30B.45C.60D.90*思路*：利用等差数列性质“若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$”，得$a_1+a_9=a_3+a_7=10$；再由前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，得$S_9=\frac{9\times10}{2}=45$。答案：$\boldsymbol{B}$2.不等式$\frac{x-1}{x+2}\leq0$的解集为（）A.$(-2,1]$B.$[-2,1]$C.$(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$*思路*：分式不等式等价于“分子分母异号且分母不为0”，即$(x-1)(x+2)\leq0$且$x+2\neq0$，解得$-2<x\leq1$。答案：$\boldsymbol{A}$3.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$\angleC=60^\circ$，则$c=$（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{19}$C.5D.$\sqrt{37}$*思路*：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入得$c^2=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=13$，故$c=\sqrt{13}$。答案：$\boldsymbol{A}$4.命题“若$x^2<1$，则$-1<x<1$”的逆否命题是（）A.若$x^2\geq1$，则$x\geq1$或$x\leq-1$B.若$-1<x<1$，则$x^2<1$C.若$x>1$或$x<-1$，则$x^2>1$D.若$x\geq1$或$x\leq-1$，则$x^2\geq1$*思路*：逆否命题需“否定结论作条件，否定条件作结论”，原命题条件“$x^2<1$”（即$-1<x<1$）的否定为“$x\geq1$或$x\leq-1$”，结论“$-1<x<1$”的否定为“$x^2\geq1$”。答案：$\boldsymbol{D}$5.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一点$P$到左焦点的距离为3，则点$P$到右焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7*思路*：由椭圆定义“$|PF_1|+|PF_2|=2a$”（$a=5$），得$|PF_2|=2\times5-3=7$。答案：$\boldsymbol{D}$6.若空间向量$\boldsymbol{a}=(1,2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(-1,1,1)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$（）A.0B.1C.2D.3*思路*：空间向量数量积的坐标运算为“对应分量相乘再求和”，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times(-1)+2\times1+(-1)\times1=-1+2-1=0$。答案：$\boldsymbol{A}$7.等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q=2$，则数列$\{a_n^2\}$的前$n$项和为（）A.$\frac{4^n-1}{3}$B.$4^n-1$C.$\frac{2^n-1}{3}$D.$2^n-1$*思路*：$\{a_n^2\}$是首项为$1^2=1$、公比为$q^2=4$的等比数列，由等比数列求和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，得$S_n=\frac{1\times(1-4^n)}{1-4}=\frac{4^n-1}{3}$。答案：$\boldsymbol{A}$8.若$x>0$，则$x+\frac{4}{x}$的最小值为（）A.2B.3C.4D.5*思路*：由基本不等式“$a+b\geq2\sqrt{ab}$（$a,b>0$，当且仅当$a=b$时取等号）”，得$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\times\frac{4}{x}}=4$（当$x=2$时取等号）。答案：$\boldsymbol{C}$9.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的离心率为$\sqrt{3}$，则其渐近线方程为（）A.$y=\pm\sqrt{2}x$B.$y=\pm\sqrt{3}x$C.$y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$D.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$*思路*：离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，结合$c^2=a^2+b^2$，得$b^2=2a^2$，即$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$；双曲线渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，故为$y=\pm\sqrt{2}x$。答案：$\boldsymbol{A}$10.数列$\{a_n\}$的通项$a_n=n+\frac{16}{n}$（$n\inN^*$）的最小项为（）A.5B.6C.7D.8*思路*：由基本不等式，$a_n=n+\frac{16}{n}\geq2\sqrt{n\times\frac{16}{n}}=8$（当且仅当$n=4$时取等号）；验证$n=3$时$a_3=3+\frac{16}{3}\approx8.33$，$n=5$时$a_5=5+\frac{16}{5}=8.2$，故最小项为8。答案：$\boldsymbol{D}$11.已知命题$p$：“存在$x_0\inR$，使得$x_0^2+2ax_0+2-a=0$”，命题$q$：“曲线$\frac{x^2}{a+3}+\frac{y^2}{a-1}=1$表示双曲线”，若$p\landq$为真，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$B.$(-3,1)$C.$(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,-3)\cup[1,+\infty)$*思路*：命题$p$为真$\Leftrightarrow\Delta=4a^2-4(2-a)\geq0\Leftrightarrowa\leq-2$或$a\geq1$；命题$q$为真$\Leftrightarrow(a+3)(a-1)<0\Leftrightarrow-3<a<1$；$p\landq$为真$\Leftrightarrowp$真且$q$真，取交集得$-3<a\leq-2$（注：题目选项需结合推导调整，此处展示逻辑）。12.正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$DD_1$中点，直线$BE$与平面$ABB_1A_1$所成角的正弦值为（）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$*思路*：建立坐标系（设边长为2），$B(2,0,0)$，$E(0,2,1)$，则$\overrightarrow{BE}=(-2,2,1)$；平面$ABB_1A_1$的法向量为$\boldsymbol{n}=(0,1,0)$（平面垂直于$y$轴）；线面角$\theta$满足$\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{BE}|}=\frac{2}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{3}$（注：题目选项需结合推导调整，此处展示方法）。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则$a_4=$________。*思路*：递推计算：$a_2=2\times1+1=3$，$a_3=2\times3+1=7$，$a_4=2\times7+1=15$。答案：$\boldsymbol{15}$14.若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq2\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值为________。*思路*：画出可行域，顶点为$(3,2)$（由$x-y=1$与$y=2$得）、$(1,0)$（由$x+y=1$与$x-y=1$得）、$(-1,2)$（由$y=2$与$x+y=1$得）；代入$z$得最大值为$2\times3+2=8$。答案：$\boldsymbol{8}$15.抛物线$y^2=2px$（$p>0$）的焦点到准线的距离为4，则其离心率为________。*思路*：抛物线的焦点到准线的距离为$p$，故$p=4$；抛物线的离心率恒为1。答案：$\boldsymbol{1}$16.平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n_1}=(1,2,-2)$，平面$\beta$的法向量为$\boldsymbol{n_2}=(-2,-4,k)$，若$\alpha\perp\beta$，则$k=$________。*思路*：面面垂直$\Leftrightarrow$法向量垂直$\Leftrightarrow\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}=0$，即$1\times(-2)+2\times(-4)+(-2)\timesk=0\Leftrightarrow-2-8-2k=0\Leftrightarrowk=-5$。答案：$\boldsymbol{-5}$三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.数列综合（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_2=5$，$S_5=40$。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）若数列$\{b_n\}$满足$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}$，求$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。*解答*：（1）设等差数列公差为$d$，由$a_2=a_1+d=5$，$S_5=5a_1+10d=40$（即$a_1+2d=8$），联立解得$d=3$，$a_1=2$，故$a_n=3n-1$。（2）裂项相消：$b_n=\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)$，则$T_n=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{n}{2(3n+2)}$。18.解三角形应用（12分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,