必修3 第五章函数知识点详解与习题

必修3第五章函数知识点详解与习题函数作为高中数学的核心概念，贯穿代数、几何乃至高等数学的学习。本章围绕函数的定义、表示、性质展开，是构建函数思维体系的关键环节。以下从知识点梳理与典型习题解析两方面，助力同学们夯实基础、提升应用能力。一、函数的核心概念与三要素（一）函数的定义设\(A\)、\(B\)为非空数集，若存在对应关系\(f\)，使得对\(A\)中任意一个数\(x\)，\(B\)中都有唯一确定的数\(f(x)\)与之对应，则称\(f:A\toB\)为从\(A\)到\(B\)的函数，记作\(y=f(x)\)（\(x\inA\)）。其中：\(x\)为自变量，取值范围\(A\)称为定义域；\(f(x)\)为函数值，所有函数值的集合\(\{f(x)\midx\inA\}\)称为值域。关键理解：“任意”体现自变量的遍历性，“唯一确定”体现函数的单值性（一个\(x\)只能对应一个\(y\)，但多个\(x\)可对应同一个\(y\)）。（二）函数的三要素函数由定义域、对应关系、值域共同决定。判断两个函数是否“相同”，需三要素完全一致（如\(y=x\)与\(y=\frac{x^2}{x}\)定义域不同，不是同一函数）。二、函数的表示方法函数的本质是“对应关系”，其表示形式反映了研究函数的不同视角：（一）解析法用数学表达式（如\(y=2x+1\)、\(y=\sqrt{x-1}\)）直接刻画\(x\)与\(y\)的对应关系。优点是逻辑严谨、便于推导；缺点是无法表示所有函数（如气温随时间的变化）。（二）列表法通过表格列举自变量与函数值的对应（如工资表、成绩表）。优点是直观、可直接查值；缺点是仅适用于有限个或离散的自变量。（三）图像法在平面直角坐标系中，用点\((x,f(x))\)的集合表示函数。优点是能直观体现变化趋势（如上升、下降、对称）；缺点是精度有限，需结合代数分析。（四）分段函数定义域被划分为若干区间，每个区间内对应关系不同的函数（如\(y=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\-x+1,&x<0\end{cases}\)）。注意：分段函数是一个函数，需关注区间衔接处的取值。三、定义域与值域的求解策略（一）定义域的求法（“合法”原则）1.分式型：分母\(\neq0\)（如\(y=\frac{1}{x-2}\)，定义域\(x\neq2\)）；2.偶次根式型：被开方数\(\geq0\)（如\(y=\sqrt{x+3}\)，定义域\(x\geq-3\)）；3.对数型：真数\(>0\)，底数\(>0\)且\(\neq1\)（如\(y=\log_2(x-1)\)，定义域\(x>1\)）；4.实际问题：结合背景意义（如时间、长度为正）；5.复合函数：由内到外分析（如\(f(g(x))\)，先求\(g(x)\)的定义域，再结合\(f(t)\)的要求）。（二）值域的求法（“转化”思想）1.观察法：简单函数直接分析（如\(y=3x+2\)，\(x\in[1,3]\)，值域\([5,11]\)）；2.配方法：二次函数核心方法（如\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，值域\([2,+\infty)\)）；3.换元法：通过变量代换简化函数（如\(y=\sqrt{x+1}+x\)，令\(t=\sqrt{x+1}\geq0\)，转化为\(y=t^2+t-1\)，值域\([-1,+\infty)\)）；4.单调性法：先判断单调性，再结合定义域（如\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)单调递减，值域\((0,+\infty)\)）；5.分离常数法：分式函数化简（如\(y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}\)，值域\(\{y\midy\neq2\}\)）。四、函数的单调性：变化趋势的量化分析（一）单调性的定义设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，区间\(D\subseteqI\)。若对\(D\)内任意\(x_1<x_2\)，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），则称\(f(x)\)在\(D\)上是增函数（或减函数），\(D\)为单调区间。（二）单调性的判断方法1.定义法：五步走——取值（\(x_1<x_2\)）、作差（\(f(x_1)-f(x_2)\)）、变形（因式分解、配方等）、定号（判断差的符号）、下结论；2.图像法：观察图像“从左到右上升/下降”；3.复合函数法：“同增异减”（内外函数单调性相同则复合函数增，相反则减）；4.导数法：若\(f(x)\)可导，\(f'(x)>0\)则增，\(f'(x)<0\)则减（高中后期学习）。（三）单调性的应用比较函数值：若\(f(x)\)在\(D\)上增，且\(x_1<x_2\)，则\(f(x_1)<f(x_2)\)；求最值：单调区间的端点（或极值点）处取得最值；解不等式：利用单调性将“函数值的不等”转化为“自变量的不等”（如\(f(x)>f(2)\)，若\(f(x)\)增，则\(x>2\)）。五、函数的奇偶性：对称性的代数表达（一）奇偶性的定义设函数\(f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称（若\(x\inD\)，则\(-x\inD\)）。若对任意\(x\inD\)，有：\(f(-x)=f(x)\)，则\(f(x)\)为偶函数；\(f(-x)=-f(x)\)，则\(f(x)\)为奇函数。（二）奇偶性的判断步骤1.定义域检验：若定义域不关于原点对称，直接判定“非奇非偶”（如\(y=\sqrt{x}\)，定义域\([0,+\infty)\)，非奇非偶）；2.代数验证：计算\(f(-x)\)，与\(f(x)\)、\(-f(x)\)比较。（三）奇偶函数的图像特征偶函数：图像关于\(y\)轴对称（如\(y=x^2\)）；奇函数：图像关于原点对称（如\(y=x^3\)）；既奇又偶的函数：仅\(f(x)=0\)（定义域关于原点对称）。六、典型习题精析（一）概念辨析题例1判断下列对应是否为函数：（1）\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\mathbb{R}\)，\(f:x\toy=\sqrt{x}\)；（2）\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，\(f:1\to4\)，\(2\to5\)，\(3\to6\)；（3）\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\mathbb{R}\)，\(f:x\toy=2x+1\)。解析：（1）否。\(A\)中负数无对应值（\(\sqrt{x}\)无意义），不满足“任意性”；（2）是。\(A\)中每个元素都有\(B\)中唯一元素对应，符合函数定义；（3）是。任意\(x\in\mathbb{R}\)，都有唯一\(y=2x+1\in\mathbb{R}\)。（二）定义域与值域题例2求\(f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定义域。解析：分式分母\(x-3\neq0\)（即\(x\neq3\)），偶次根式\(x-2\geq0\)（即\(x\geq2\)）。综上，定义域为\([2,3)\cup(3,+\infty)\)。例3求\(y=x^2-4x+6\)（\(x\in[1,5)\)）的值域。解析：配方得\(y=(x-2)^2+2\)，对称轴\(x=2\in[1,5)\)。当\(x=2\)时，\(y_{\text{min}}=2\)；当\(x\to5^-\)时，\(y\to5^2-4\times5+6=11\)（但\(x<5\)，故\(y<11\)）；当\(x=1\)时，\(y=3\)（在\([2,11)\)范围内）。因此，值域为\([2,11)\)。（三）单调性题例4证明：\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上是减函数。解析：任取\(x_1,x_2\in(0,1)\)，且\(x_1<x_2\)，作差：\[\begin{align*}f(x_1)-f(x_2)&=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\\&=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)\\&=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\\&=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)\\&=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}.\end{align*}\]因\(x_1,x_2\in(0,1)\)，故\(x_1x_2\in(0,1)\)（即\(x_1x_2-1<0\)），且\(x_1-x_2<0\)，\(x_1x_2>0\)。因此\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。故\(f(x)\)在\((0,1)\)上是减函数。（四）奇偶性题例5判断\(f(x)=x^3+2x\)的奇偶性。解析：定义域为\(\mathbb{R}\)（关于原点对称）。计算\(f(-x)\)：\[f(-x)=(-x)^3+2(-x)=-x^3-2x=-(x^3+2x)=-f(x).\]故\(f(x)\)为奇函数。例6判断\(f(x)=|x|+1\)的奇偶性。解析：定义域为\(\mathbb{R}\)（关于原点对称）。计算\(f(-x)\)：\[f(-x)=|-x|+1=|x|+1=