2024-2025学年上海市上海大学附属中学高二下学期诊断测试数学试卷

2024-2025学年上海市上海大学附属中学高二下学期诊断测试数学试卷一、填空题(★)1.双曲线的焦距为_______________.(★)2.已知直线：恒过定点，则定点坐标是______.(★★)3.已知直线，，则与的夹角大小是________．(★)4.已知首项为2的等比数列的公比为，则_____．(★)5.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．(★★)6.已知圆和圆交于两点，则__________.(★★)7.在数列中，，，且为等差数列，则________．(★★★)8.若对于任意实数，都有，则的值为______；(★★)9.若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.(★)10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示）(★★★★)11.已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）(★★★)12.已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________．二、单选题(★★)13.点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（）

A．B．C．D．(★★)14.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）

A．7B．6C．5D．4(★★)15.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．(★★★★)16.已知数列满足，，给出下列四个结论：①数列每一项都满足（，n为正整数）；②数列的前n项和，；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足（n为正整数）．其中，所有正确结论的序号是（）

A．①③B．②④C．①③④D．①②三、解答题(★★)17.已知数列的前n项和满足，n为正整数．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前200项和．(★★★)18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点．(1)求证：直线平面；(2)求点到平面的距离．(★★★)19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：

质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量，则.(★★★★)20.如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．(1)求双曲线的标准方程；(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；(3)求的取值范围．(★★★★)21.已知函数，.(1)判断函数的奇偶