25.2.2 频率与概率（重点练）解析版

25.2.2频率与概率（重点练）一、单选题1．（2020·全国九年级单元测试）做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（）A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58【答案】B【分析】在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率．【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.42，故选B．【点睛】本题考察概率的相关知识．在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率．2．（2018·江西景德镇·九年级期中）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．其中合理的是（）A．① B．② C．①③ D．②③【答案】B【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题【详解】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812．故②正确；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．故选：B．【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.3．（2021·北京）新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下：抽检数量n/个205010020050010002000500010000合格数量m/个194693185459922184045959213口罩合格率0.9500.9200.9300.9250.9180.9220.9200.9190.921下面四个推断合理的是（）A．当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.921；B．由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920；D．当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率一定是0.921．【答案】C【分析】根据统计表中的数据和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】A、当抽检口罩的数量是10000个时，口罩合格的数量是9213个，这批口罩中“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误；B、由于抽检口罩的数量分别是50和2000个时，口罩合格率均是0.920，这批口罩中“口罩合格”的概率不一定是0.920，故该选项错误；C、随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.920，故该选项正确；D、当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的概率不一定是0.921，故该选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．4．（2020·全国九年级单元测试）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表抛掷次数100200300400500正面朝上的频数5398156202249若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】D【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．5．（2020·山东博兴·九年级月考）某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（）A．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 B．无数次实验中，该事件平均每次出现次C．每做次实验，该事件就发生次 D．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近【答案】C【分析】利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，符合概率意义，故A选项不符合题意；B、无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，符合概率意义，故B选项不符合题意；C、每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故错误，符合题意；D、逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近，符合概率意义，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率的意义是解题关键.二、填空题6．（2021·全国）一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______．【答案】P（A）＝统计频率概率7．（2021·全国）所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时，事件发生的次数与__________的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变．而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数________．从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个_____附近，具有______性，即试验频率稳定于其理论概率．【答案】试验总次数无关常数稳定8．（2021·全国九年级课时练习）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？幼树移植成活率是实际问题中的一种概率．这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计．在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺，并完成表下的填空．移植总数n成活数m成活的频率（结果保留小数点后三位）1080.8005047——2702350.870400369——750662——150013350.890350032030.91570006335——90008073—902从表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定．当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为_________．【答案】0.9【分析】根据频率=频数÷总数进行求解，可填表；利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．【详解】解：；；；；；∵根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右，∴这种幼树在此条件下移植成活的概率是0.9；故答案为：0.9．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．9．（2021·北京西城·北师大实验中学）如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为__cm2．【答案】2.8【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．【详解】∵正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，故答案为：2.8．【点睛】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．10．（2020·全国）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为_________．【答案】【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，设草鱼的条数为x，可得：；解得：x=2400，经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．11．（2018·内蒙古莫力达瓦·九年级期末）在一个不透明的口袋中有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则口袋中的白球大约有________个．【答案】17试题分析：当试验次数很大时，实验频率趋于理论概率.所以设口袋中白球数为个,则红球概率=红球数除以总球数.即考点：实验概率定义.12．（2021·全国九年级单元测试）在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的乒乓球共15个，这些球除颜色外都相同，小刚通过多次摸球实验后发现，其中摸到黄色球的频率稳定在60%，则布袋中白色球的个数很可能是______．【答案】【分析】设出黄球的个数，根据黄球的频率求出黄球的个数即可解答．【详解】设黄球的个数为x，

∵共有黄色、白色的乒乓球15个，黄球的频率稳定在60%，∴，解得，，

∴布袋中白色球的个数很可能是15-9=6个．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系，列出方程．13．（2018·山西九年级专题练习）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．【答案】1【详解】解：由题意可知，正方形的面积为4平方米，因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米.故答案为：114．（2015·河南九年级）六一期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外其余都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2附近，由此可以估计纸箱内有红球________个．【答案】200【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．【详解】设红球的个数为x，根据题意得：解得：x=200故答案为：200．考点：利用频率估计概率．15．（2021·山东省济南博文中学九年级月考）在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有___个球．【答案】20．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出球个数即可．【详解】解：设球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴，解得：，经检验，x=20是原方程解，所以，球的个数为20个，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．三、解答题16．（2021·全国九年级课时练习）一箱灯泡有24个，灯泡的合格率是0.98，那么小亮从中任意拿出一只灯泡是次品的概率是多少？【答案】0.02【分析】根据合格率与不合格率的和为1即可求得结果．【详解】由于灯泡的合格率是0.98，把这作为灯泡合格的概率，则从中任意拿出一只灯泡是次品的概率为1－0.98=0.02．【点睛】本题考查了用频率估计概率，概率的特征：正（合格率）反（不合格率）两个事件的概率的和为1，因此掌握此特征是解答本题的关键．17．（2021·全国九年级课时练习）用前面拋掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率．【答案】【分析】根据表格信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；【详解】全班同学分组做掷骰子的试验，试验的结果如下：投掷次数102030601202401出现的次数235112040随着投掷次数增加，掷一次骰子时“点数是1”的频率稳定在左右，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率为：．【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确用频率估计概率的方法，准确进行试验．18．（2021·全国）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158321801“射中9环以上”的频率（1）计算表中相应的“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）．（2）这些频率具有怎样的稳定性？（3）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（结果保留小数点后一位）．【答案】（1）0.750.830.780.790.800.80；（2）在0.8附近摆动；（3）0.8．【分析】（1）根据频率=频数÷总数进行求解即可；（2）根据（1）中计算的结果进行分析即可；（3）用频率估计概率即可得到答案．【详解】解：（1），，，，，，故答案为：0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80；（2）从频率的波动情况来看可以发现频率稳定在0.8附近；（3）P（9环以上）=0.8，从频率的波动情况来看可以发现频率稳定在0.8附近，∴运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．19．（2021·全国）在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会有什么变化趋势？【答案】事件发生的频率逐渐趋于一个稳定值，也就是概率．【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．【详解】解：在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐趋于一个稳定值，也就是概率．【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·全国九年级课时练习）某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，由于柑橘在运输中会有些损坏，并且柑橘损坏的概率为0.1，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？【答案】出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元．【分析】根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答．【详解】解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克．设每千克柑橘的销售价为x元，则应有：9000x=2×10000+5000，解得x．答：出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解题的关键．21．（2021·全国九年级课时练习）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中2次正面朝上，3次反面朝上，现再掷一次．小明认为，因为硬币质地均匀，前面已经是2次正面朝上，3次反面朝上，所以这一次一定是正面朝上，即这一次正面朝上的概率为1；小凡认为，每次硬币正面朝上和反面朝上的可能性是相同的，所以这一次正面朝上的概率仍然是．你同意谁的观点？你是怎么想的？【答案】小凡，具体见解析【分析】根据概率的意义分析即可，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小．【详解】同意小凡的观点，理由如下：因为掷硬币为独立的重复试验，每次掷硬币出现正面的概率都为，所以第次掷硬币出现正面朝上的概率为．【点睛】本题考查了概率的意义，理解概率的意义是解题的关键．22．（2021·全国九年级课时练习）（1）自制一个长方体盒子，各面依次写上数字1，2，3，4，5，6，从一定高度掷下，落地后，写有1的一面朝上的概率是吗？通过试验的方法验证你的判断；（2）利用试验数据，你还能估计哪些事件发生的概率？【答案】（1）不一定，理由见解析；（2）学生可以抛掷一枚图钉的实验来估计落地时针尖朝上的概率（答案不唯一）．【分析】（1）由长方体盒子长，宽，高不相等可得各面落地的可能性不一定相同，从而可得答案；（2）可以利用抛掷图钉实验，落地时是针尖朝上还是钉帽朝上，不断增加实验次数，计算针尖朝上的频率，从而可从实验中得出结论.【详解】解：（1）落地后，写有1的一面朝上的概率不一定是，因为该盒子是长方体，长，宽，高不相等，各面落地的可能性不一定相同；（2）利用试验数据可以估计很多事件发生的概率，在进行大量的重复实验时，随着实验次数的增加，一个不确定事件发生的频率会逐渐稳定在某个数值，我们可以用稳定时的频率来估计这个事件发生的概率，比如：学生可以抛掷一枚图钉的实验来估计落地后针尖朝上的概率．【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，掌握实验次数足够多的情况下，利用频率来估计概率是解题的关键.23．（2020·全国九年级课时练习）某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：射击次数20406080100120140160射中9环以上的次数1533637997111130射中9环以上的频率0.750.830.800.790.790.790.81（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由.【答案】（1）480.81；（2）0.8．【分析】（1）根据频数的计算方法计算即可；（2）根据频率估计概率．【详解】解：（1）答案为：48，0.81；（2）解：P（射中9环以上）=0.8从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（2020·全国九年级课时练习）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：摸球总数n400150035007000900014000摸到红球数m325133632036335807312628摸到红球的频率（精确到0.001）0.8130.8910.9150.9050.8970.902（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是（精确到0.1）（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．【答案】（1）0.9；（2）P＞P'【分析】（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而得出答案；（2）由（1）得出b＝0.9a，根据概率公式得出P′＝，再两者相减得出p﹣p′＞0，从而得出P与P'的大小．【详解】（1）根据给出的数据可得：任意摸出1个球为红球的概率约是0.9；故答案为0.9；（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，由题意得：P′＝，p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，∵a＞0，∴p﹣p′＞0，∴P＞P'．【点睛】本题考查了概率公式，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．25．（2020·全国）电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表组别成绩x（分）人数A60≤x＜7010B70≤x＜80mC80≤x＜9016D90≤x≤1004请观察上面的图表，解答下列问题：（1）统计表中m＝；统计图中n＝，D组的圆心角是度．（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．【答案】（1）20、32、28.8；（2）①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为；②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出B组人数m的值，用360°乘以D组人数所占比例可得；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）被调查的总人数为10÷20%＝50，则m＝50﹣（10+16+4）＝20，n%100%＝32%，即n＝32，D组的圆心角是360°28.8°，故答案为20、32、28.8；（2）①设男同学标记为A、B；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：AB12A/（B，A）（1，A）（2，A）B（A，B）/（1，B）（2，B）1（A，1）（B，1）/（2，1）2（A，2）（B，2）（1，2）/共有12种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种，∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为；②∵至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种结果，∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．【点睛】本题考查了频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．