2024-2025学年七年级数学上册同步讲与练21整式（学生版+教师详解版）

2.1整式1.会用含字母的式子表示数或数量关系2.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念以及它们之间的关系3.会确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数及常数项，掌握它们之间的区别与联系4.通过单项式、多项式的应用过程,培养符号意识及观察、归纳、概括和语言表达的能力.知识点一用含字母的式子表示数或数量关系1.用含字母的式子表示数或数量关系用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.从具体的数字抽象到用字母表示数,在认识上是一个重大飞跃2.书写规范(1)数与字母相乘、字母与字母相乘、数字与括号相乘、字母与括号相乘、括号与括号相乘,通常将乘号写作“·”或省略不写.如可以写成或.(2)数与字母相乘,数写在字母前面.如可以写成或.(3)数字因数为“1”或“-1”时,常省略“1”,如写成,写成.(4)当数字因数为带分数时,要写成假分数.如要写成.(5)除法运算要用分数线,如写成.(6)式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来.如元,等.即学即练用含字母的式子表示下列数量关系．（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花元；（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是；（3）若正方体的棱长是a–1，则正方体的表面积为；（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费元．知识点二单项式1.单项式的定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式.如,，.特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式2.单项式的系数及次数单项式的系数是指单项式中的数字因数单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和如:的系数是-,次数是,次数是3(的指数是2,的指数是1),是三次单项式.注意：圆周率是常数，单项式中出现时,要将其看成系数当一个单项式的系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略不写,如,;次数为“1”时,通常也省略不写,如数字与字母的商不是单项式,如不是单项式，单独一个字母的次数是1,而不是0.如单项式的次数是1而不是0.非0常数的次数为0,如常数-5的次数是0.即学即练找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．(1)2m3；(2)5a+2b；(3)−y；(4)18x知识点三多项式1多项式几个单项式的和叫做多项式,如2.多项式的项在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项3.多项式次数多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数,如的次数是3.提示多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式一个多项式有几项,就叫它几项式.如有三项，最高次项的次数为3,所以叫做三次三项式，注意先说次数再说项，书写时一般用汉字书写.(3)当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时,任取某一项的次数作为这个多项式的次数，如多项式的次数是2即学即练说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；（2）10x+y3﹣0.5．知识点四整式单项式与多项式统称整式它们的关系可以用图2-1-1表示提示：如果一个式子既不是单项式,也不是多项式,那么它一定不是整式.如:,都是整式,而,都不是整式，是分式（八年级上学期教学内容）即学即练1下列各式−12mn，m，8，1a，x2+2x+6，A．4个 B．5个 C．6个 D．7个即学即练2下列各式①−14，②3xy，③a2−b2，④3x−y5，⑤2x>1，⑥−x，⑦0.5+x，⑧2题型一用字母表示数例1（2025秋·江苏·七年级统考期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（

）．A．x+y B．10xy C．10x+y D．举一反三1（2025秋·河北张家口·七年级统考期末）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（

）．A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定举一反三2（2025秋·江西吉安·七年级统考期末）用a表示的数一定是（

）A．正数 B．正数或负数 C．正整数 D．以上全不对题型二列代数式例2（2025春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是．举一反三1（2025秋·广西柳州·七年级校考期末）一个两位数的个位数字为m，十位数字为n，则这两位数表示为．举一反三2（2025春·安徽亳州·七年级校考期中）如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示种植花草面积的是（

A．4x+4 B．2x−1 C．x2−1 题型三用代数式表示数、图形的规律例3（2025春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）下列图形都是由圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个圆点，……，依此规律，则图6中圆点的个数是（

）

A．42 B．52 C．63 D．75举一反三1（2025春·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．

(1)数一数，完成下列表格．直线的条数2345交点的个数(2)若有n条直线相交，则最多有交点__________个．（用含n的代数式表示）举一反三2（2025秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习）根据下面的图形中圆个数的变化规律，第10个图形中有()个圆，第n个图形中有()个圆．

题型四代数式的概念例4（2025秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．单项式－y的系数是－1，次数是0 B．x＋2＝5是代数式C．多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式 D．0不是单项式举一反三1（2025春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm）4.25.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是cm．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各式中，不是代数式的是（）A．3a B．0 C．2x＝1 D．a举一反三2（2024秋·湖南长沙·七年级校联考期中）下列说法正确的是（）A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大C．2m的值一定比2大 D．2m的值随m的增大而增大题型五代数式书写方法例5（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列各式中，符合代数式书写要求的是（

）A．134x2 B．a×3 C．举一反三1（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）学完整式的加减内容后，下列各式书写规范的是（

）A．2022a B．a×2022 C．3x+2022个 D．2022×举一反三2（2025秋·吉林长春·七年级统考期末）下列各式中，符合单项式书写要求的是（

）A．a×b2 B．−1ab C．14题型六代数式表示的实际意义例6在−3x=2，0，5y−1，S=πd24，x≥y，stA．4 B．5 C．6 D．7举一反三1（2025秋·山东潍坊·七年级统考阶段练习）下列能用2a+4表示的是（

）．A．

B．

C．

D．

举一反三2（2025春·河北承德·七年级统考期末）代数式−2x的意义可以是（）A．−2与x的和 B．−2与x的差C．−2与x的积 D．−2与x的商题型七单项式的判断例7（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：−3m2n2，x2+y2，x+y3举一反三1（2025秋·云南红河·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．数字0也是单项式 B．单项式−3x3C．多项式−2x3+4x−2的常数项是2 举一反三2（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．23a4的系数是2，次数是7 B．若C．0不是单项式 D．若x2+mx是关于x题型八单项式的系数、次数例8（2025秋·湖北恩施·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是()A．单项式12xy2的系数是3 C．多项式x2+2x+18是二次三项式 D．多项式x举一反三1（2025秋·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式−2ab4举一反三2（2025秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）在下列说法中，正确的是（

）A．m2n35不是整式C．多项式3x2y题型九写出满足某些特征的单项式例9（2025秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式：．举一反三1（2025秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是−2022，并且含字母x、y的三次单项式．举一反三2（2025秋·安徽芜湖·七年级校考期末）请写出一个系数为−2且次数为5的单项式.题型十单项式规律题例10（2025秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）观察一列单项式：x2,3x2,5举一反三1（2025春·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：2x,4x3,8x5A．n+1x2n−1 B．2nx2n−1 举一反三2（2025春·云南楚雄·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：3x,4x3,5x5,6xA．n+2x2n+1 B．3nxn C．题型十一多项式的判断例11（2024秋·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．b2单项式：（

）；多项式：（

）；整式：（

）．举一反三1（2025春·广东河源·七年级校考开学考试）在下列代数式：12ab，a+b2，ab2+b+1，3xA．2个 B．3个 C．4个 D．5个举一反三2（2025秋·山东济宁·七年级统考期末）下列结论中正确的是（

）A．单项式πx2y4的系数是14C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式 D．在1x，2x+y题型十二多项式的项、项数或次数例12（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）3a2−a举一反三1（2025秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式−2x3−3A．最高次项是2x3 B．二次项系数是−2 C．常数项是7举一反三2（2025秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）下列说法中正确的是（

）A．x−1x−1x2是二次三项式C．x2y23的系数是13题型十三多项式系数、指数中字母求值例13（2025秋·甘肃天水·七年级校考期末）若5x2ym−1举一反三1（2025春·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考开学考试）如果3xn−m−1x+1是关于举一反三2（2025秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式x2ym+m+2x2−y+3是一个关于题型十四将多项式按某个字母升幂(降)排列例14（2025秋·吉林长春·七年级统考期末）将多项式−8a4+a−2举一反三1（2025秋·安徽六安·七年级校考期中）将多项式3b−6a2b−2ab−a4举一反三2（2025春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）把多项式2y2+x3题型十五整式的判断例15（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）下列说法正确的是（

）A．x−y2是整式 C．单项式−πx系数为−1 D．多项式2−a−ab−2πx举一反三1（2025春·福建福州·七年级统考开学考试）下列对式子a2b的判断与说法，不正确的是（A．它是单项式 B．它是整式 C．它的系数是1 D．它的次数是2举一反三2（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式x2+5，−1，−3x+2，π，5x，x2+A．3个 B．1个 C．5个 D．6个题型十六数字类规律探索例16（2025秋·山东济南·七年级校考阶段练习）观察下列算式第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3(1)按以上规律写出第10个等式a10(2)第n个等式an(3)试利用以上规律求11×2(4)你能算出12×4举一反三1（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习）−11；12；−13；14；举一反三2（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）已知整数a1，a2，a3a1=0，a2=−a(1)直接写出a2，a3，a4(2)仔细观察（1）的结果，填写：a1−a2=______；a猜想：an−1(3)探究a2021题型十七图形类规律探索例17（2025秋·山东济南·七年级校考阶段练习）《庄子•天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．

（规律探索）（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影依此类推，如图3，S阴影3如图4，S阴影3…S阴影n(规律应用)规律应用：计算12举一反三1（2025秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数−1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数+2024的点与圆周上表示数字______的点重合．（

）

A．0 B．1 C．2 D．3举一反三2（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）找出以下图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数量是（

）

A．3033 B．3034 C．3035 D．3036单选题1.（2025秋·河北石家庄·七年级统考期末）下列各式符合代数式书写规范的是（

）A．m×6 B．n3 C．x−7元 D．2．（2025春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）在−2x3yA．1 B．2 C．3 D．43．（2025秋·云南楚雄·七年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．x+y2是单项式 B．单项式2πrC．−2是单项式 D．多项式2a二、填空题1.（2025秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有个．−1x2y，2×(a+b)，a÷bc2，2．（2025春·福建三明·七年级统考阶段练习）单项式−πab23．（2025秋·吉林·七年级统考期末）若多项式(k−5)x2−3x+1中不含x2项，则三、解答题1.（2025秋·山东菏泽·七年级统考期末）多项式7xm+k−1x2．（2025秋·河南南阳·七年级校考期末）把多项式﹣x3﹣7x2y+y3﹣4xy2重新排列（1）按x的升幂排列；（2）按y的升幂排列．3．（2025秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知多项式−x3ym+1+x

2.1整式1.会用含字母的式子表示数或数量关系2.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念以及它们之间的关系3.会确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数及常数项，掌握它们之间的区别与联系4.通过单项式、多项式的应用过程,培养符号意识及观察、归纳、概括和语言表达的能力.知识点一用含字母的式子表示数或数量关系1.用含字母的式子表示数或数量关系用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.从具体的数字抽象到用字母表示数,在认识上是一个重大飞跃2.书写规范(1)数与字母相乘、字母与字母相乘、数字与括号相乘、字母与括号相乘、括号与括号相乘,通常将乘号写作“·”或省略不写.如可以写成或.(2)数与字母相乘,数写在字母前面.如可以写成或.(3)数字因数为“1”或“-1”时,常省略“1”,如写成,写成.(4)当数字因数为带分数时,要写成假分数.如要写成.(5)除法运算要用分数线,如写成.(6)式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来.如元,等.即学即练用含字母的式子表示下列数量关系．（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花元；（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是；（3）若正方体的棱长是a–1，则正方体的表面积为；（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费元．【答案】4a12【分析】根据题意列代数式即可；【详解】解：（1）笔记本4本共花4a元；（2）三角形的面积是12（3）正方体的表面积为6（a–1）2；（4）用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，共花费（8m+100n）元；故答案为：4a；12【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．知识点二单项式1.单项式的定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式.如,，.特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式2.单项式的系数及次数单项式的系数是指单项式中的数字因数单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和如:的系数是-,次数是,次数是3(的指数是2,的指数是1),是三次单项式.注意：圆周率是常数，单项式中出现时,要将其看成系数当一个单项式的系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略不写,如,;次数为“1”时,通常也省略不写,如数字与字母的商不是单项式,如不是单项式，单独一个字母的次数是1,而不是0.如单项式的次数是1而不是0.非0常数的次数为0,如常数-5的次数是0.即学即练找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．(1)2m3；(2)5a+2b；(3)−y；(4)18x【答案】（1），（3），（4），（5）符合单项式的定义，是单项式；（1）2m3的系数是23，次数是1；（3）−y的系数是−1，次数是1；（4）18x2y的系数是【分析】根据单项式的定义找出单项式，再根据单项的系数与次数的概念进行求解即可.【详解】(1)(3)(4)(5)符合单项式的定义，是单项式．(1)2m3的系数是2(3)−y的系数是−1，次数是1；(4)18x2(5)25x7【点睛】本题考查了单项式的概念、单项式的系数与次数，熟练掌握相关概念是解题的关键.知识点三多项式1多项式几个单项式的和叫做多项式,如2.多项式的项在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项3.多项式次数多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数,如的次数是3.提示多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式一个多项式有几项,就叫它几项式.如有三项，最高次项的次数为3,所以叫做三次三项式，注意先说次数再说项，书写时一般用汉字书写.(3)当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时,任取某一项的次数作为这个多项式的次数，如多项式的次数是2即学即练说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；（2）10x+y3﹣0.5．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出即可；（2）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出即可．【详解】解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，最高次项的系数是﹣3，常数项是1；（2）10x+y3﹣0.5，是三次三项式，最高次项是y3，最高次项的系数是1，常数项是﹣0.5．【点睛】此题主要考查了多项式相关的概念，正确把握相关定义是解题关键．知识点四整式单项式与多项式统称整式它们的关系可以用图2-1-1表示提示：如果一个式子既不是单项式,也不是多项式,那么它一定不是整式.如:,都是整式,而,都不是整式，是分式（八年级上学期教学内容）即学即练1下列各式−12mn，m，8，1a，x2+2x+6，A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案．【详解】根据单项式和多项式统称为整式，则整式有：−12mn，m，8，x2+2x+6故选：B．【点睛】此题考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式．解题的关键是注意分式与整式的区别及正确记忆整式的类型．即学即练2下列各式①−14，②3xy，③a2−b2，④3x−y5，⑤2x>1，⑥−x，⑦0.5+x，⑧2【答案】①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦；．【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．【详解】解：整式有：−14，3xy，a2−b2单项式有：−14，3xy多项式有：a2−b22x>1是不等式，2x−1故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦．【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断．题型一用字母表示数例1（2025秋·江苏·七年级统考期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（

）．A．x+y B．10xy C．10x+y D．【答案】D【分析】根据两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字，即可解答．【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是x，个位数字是y，∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：10x+y．故选：D【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键．举一反三1（2025秋·河北张家口·七年级统考期末）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（

）．A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定【答案】A【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元∵m＞0，∴m＞0.99m，∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况故选：A．【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．举一反三2（2025秋·江西吉安·七年级统考期末）用a表示的数一定是（

）A．正数 B．正数或负数 C．正整数 D．以上全不对【答案】D【分析】字母可以表示任何数，A、B、C三个选项说法都不全面.【详解】字母可以表示任何数，即a可以表示正数、0或负数，故选D.【点睛】本题考查了代数式，需要注意字母可以表示任意数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数.题型二列代数式例2（2025春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是．【答案】乙【分析】分别求出甲、乙、丙三家超市打折后的商品价格即可．【详解】解：由题意得：甲超市的价格为：m×0.8×0.8=0.64m（元）乙超市的价格为：0.6m（元）；丙超市的价格为：m×0.7×0.9=0.63m（元）故：乙超市的价格最便宜，故答案为：乙．【点睛】本题考查列代数式．注意理解题意．举一反三1（2025秋·广西柳州·七年级校考期末）一个两位数的个位数字为m，十位数字为n，则这两位数表示为．【答案】10n+m/m+10n【分析】根据题意直接列式即可．【详解】根据题意，这两位数表示为：10n+m，故答案为：10n+m．【点睛】本题考查了列代数式的知识，明确题意，是解答本题的关键．举一反三2（2025春·安徽亳州·七年级校考期中）如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示种植花草面积的是（

A．4x+4 B．2x−1 C．x2−1 【答案】D【分析】直接列代数式表示种植花草面积即可．【详解】解：种植花草面积为：x2故选D．【点睛】本题考查列代数式，掌握不规则图形的面积表示方法是解题的关键．题型三用代数式表示数、图形的规律例3（2025春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）下列图形都是由圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个圆点，……，依此规律，则图6中圆点的个数是（

）

A．42 B．52 C．63 D．75【答案】B【分析】将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总结出一般规律即可求解．【详解】解：根据图形可知，图1中圆点个数为：6+1+2+3；图2中圆点个数为：6+1+2×2+3+4；图3中圆点个数为：6+1+2×3+3+4+5；图4中圆点个数为：6+1+2×4+3+4+5+6；图n中圆点个数为：6+1+2n+3+4+5+6……n+2∴图6中圆点的个数是：6+1+2×6+3+4+5+6+7+8=52，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形，总结出一般规律求解．举一反三1（2025春·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．

(1)数一数，完成下列表格．直线的条数2345交点的个数(2)若有n条直线相交，则最多有交点__________个．（用含n的代数式表示）【答案】(1)1，3，6，10(2)n(n−1)【分析】（1）根据图形信息即可求解；（2）根据（1）中直线条数与交点的数量的关系即可求解．【详解】（1）解：根据图示，直线的条数2345交点的个数13610故答案为：1，3，6，10．（2）解：根据题意设有n条直线，则交点的数量为n(n−1)2当n=2时，则n(n−1)2当n=3时，则n(n−1)2当n=4时，则n(n−1)2当n=5时，则n(n−1)2故答案为：n(n−1)2【点睛】本题主要考查图形规律与整式的混合运算，理解图示含义，掌握整式的混合运算是解题的关键．举一反三2（2025秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习）根据下面的图形中圆个数的变化规律，第10个图形中有()个圆，第n个图形中有()个圆．

【答案】313n+1【分析】根据图形的排序、数量找出规律，即可求解．【详解】解：第1个图形的数量为4；第2个图形的数量为4+3=4+3×(2−1)=7；第3个图形的数量为4+3+3=4+3×(3−1)=10；……∴第10个图形的数量为4+3×(10−1)=31；∴第n个图形的数量为4+3(n−1)=3n+1；故答案为：31，3n+1．【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算，理解题目中图形的排序，数量的关系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．题型四代数式的概念例4（2025秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．单项式－y的系数是－1，次数是0 B．x＋2＝5是代数式C．多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式 D．0不是单项式【答案】C【分析】直接根据单项式，多项式的系数，次数，项数及代数式的定义逐项判断即可得解；【详解】解：A.单项式－y的系数是－1，次数是1，故本选项不正确，不符合题意；B.x＋2＝5是等式，不是代数式，故本选项不正确，不符合题意；C.多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式,故本选项正确，符合题意；D.0是单项式，故本选项不正确，不符合题意；故选择：C．【点睛】本题考查单项式，多项式，代数式的有关概念，明确相关概念是解题的关键．举一反三1（2025春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm）4.25.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是cm．【答案】9.3102.8【分析】（1）根据表格可知y与x的关系式，可知x=5时，y的值；（2）将x=60代入（1）中函数关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，得y=2.5+(2.5−0.8)(x−1)=1.7x+0.8，当x=5时，y=1.7×5+0.8=9.3，故答案为：9.3；（2）当x=60时，y=1.7×60+0.8=102.8（cm），故答案为：102.8．【点睛】本题考查了图形的变化规律，函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解题的关键．（2025秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各式中，不是代数式的是（）A．3a B．0 C．2x＝1 D．a【答案】C【分析】根据代数式的定义逐项判断．【详解】A、3a是代数式，不符合题意；B、0是代数式，不符合题意；C、2x＝1是方程，不是代数式，符合题意；D、a2故选：C．【点睛】本题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键．举一反三2（2024秋·湖南长沙·七年级校联考期中）下列说法正确的是（）A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大C．2m的值一定比2大 D．2m的值随m的增大而增大【答案】D【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案．【详解】解：A.2m表示2和m相乘，故本选项错误，不符合题意；B.例如，当m=−1时，2m<m，故本选项错误，不符合题意；C.例如，当m=−1时，2m=−2<2，故本选项错误，不符合题意；D.2m的值随m的增大而增大，该说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键．题型五代数式书写方法例5（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列各式中，符合代数式书写要求的是（

）A．134x2 B．a×3 C．【答案】D【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可．【详解】解：A．134xB．a×3应表示为3a，故B错误；C．ab÷2应该表示为ab2D．a2故选：D．【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．举一反三1（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）学完整式的加减内容后，下列各式书写规范的是（

）A．2022a B．a×2022 C．3x+2022个 D．2022×【答案】A【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可．【详解】解：A．2022a符合书写要求，故A正确；B．代数式中不能出现乘号且数字再去前，因此a×2022书写错误，故B错误；C．多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此3x+2022个书写错误，故C错误；D．2022×12x故选：A．【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．举一反三2（2025秋·吉林长春·七年级统考期末）下列各式中，符合单项式书写要求的是（

）A．a×b2 B．−1ab C．14【答案】C【分析】根据代数式的书写要求逐项分析即可．【详解】A．a×b2应写为B．−1ab应写为−ab，故不符合题意；C．14D．213a故选C．【点睛】本题考查了代数式的书写格式，熟练掌握代数式的书写要求是解答本题的关键．数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“·”代替，更不能省略不写；数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面；两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性；当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数．题型六代数式表示的实际意义例6在−3x=2，0，5y−1，S=πd24，x≥y，stA．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据代数式的定义对各小题进行分析即可求出答案．【详解】解：−3x=2，S=πd2则代数式的有0，5y−1，st，a故选：A．【点睛】此题考查了代数式的概念，熟练掌握代数式的概念是解答此题的关键．举一反三1（2025秋·山东潍坊·七年级统考阶段练习）下列能用2a+4表示的是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据图形的几何意义，计算判断即可．【详解】A.

AB=a+6,不符合题意；B.

2a+4=2a+8C.

2a+2=2a+4D.

V=4a,不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了几何图形的计算，熟练掌握线段的计算，矩形周长，面积，圆柱的体积计算是解题的关键．举一反三2（2025春·河北承德·七年级统考期末）代数式−2x的意义可以是（）A．−2与x的和 B．−2与x的差C．−2与x的积 D．−2与x的商【答案】C【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案．【详解】解：代数式−2x的意义可以是−2与x的积．故选：C．【点睛】此题主要考查了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键．题型七单项式的判断例7（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：−3m2n2，x2+y2，x+y3【答案】−3m2n2，0【分析】根据单项式和多项式的定义来求解．【详解】解：−3m2n2，x2+y−3m2nx2+yx+y3x，−故答案为：−3m2n2，0；【点睛】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式．举一反三1（2025秋·云南红河·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．数字0也是单项式 B．单项式−3x3C．多项式−2x3+4x−2的常数项是2 【答案】C【分析】根据单项式和多项式的相关定义，逐个进行判断即可．【详解】解：多项式−2x3+4x−2A、B、D均正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数及多项式项数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．举一反三2（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．23a4的系数是2，次数是7 B．若C．0不是单项式 D．若x2+mx是关于x【答案】D【分析】根据单项式及其系数、次数的定义判断即可．【详解】解：A、的系数是23B、若−34xC、0是单项式，故C错误；D、若x2+mx是关于x单项式，则故选：D．【点睛】本题主要考查单项式的定义及系数、次数的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的相关定义．题型八单项式的系数、次数例8（2025秋·湖北恩施·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是()A．单项式12xy2的系数是3 C．多项式x2+2x+18是二次三项式 D．多项式x【答案】C【分析】利用单项式、多项式的定义即可解答．【详解】解：A、单项式12xyB、单项式−5xC、多项式x2D、多项式x2故选：C．【点睛】本题主要考查了单项式和多项式，解题的关键是熟记单项式、多项式的定义．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“-”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．举一反三1（2025秋·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式−2ab4【答案】−【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的的系数解答即可．【详解】解：单项式−2ab4故答案为：−2【点睛】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．举一反三2（2025秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）在下列说法中，正确的是（

）A．m2n35不是整式C．多项式3x2y【答案】D【分析】根据整式的定义，单项式的系数与次数，以及多项式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．m2B．abc2的系数是1C．3xD．0是单项式，故该选项正确；故选D．【点睛】本题考查了整式的定义，单项式的系数与次数，以及多项式的定义，掌握以上知识是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．其中单项式中的数字因数称这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．单项式与多项式统称为整式．题型九写出满足某些特征的单项式例9（2025秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式：．【答案】−2x【分析】根据单项式定义直接求解即可得到答案．【详解】解：由单项式定义可得满足条件的一个单项式为−2x故答案为：−2x【点睛】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键．举一反三1（2025秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是−2022，并且含字母x、y的三次单项式．【答案】−2022xy【分析】根据单项式的定义可知，所求单项式中x和y的指数之和为3，系数为−2022．【详解】解：根据单项式的系数和次数的定义可知，符合条件的一个单项式为−2022xy故答案为：−2022xy【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数之和叫作单项式的次数．举一反三2（2025秋·安徽芜湖·七年级校考期末）请写出一个系数为−2且次数为5的单项式.【答案】−2x【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中所有字母的指数和，按要求写出一个单项式即可．【详解】解：系数为−2且次数为5的单项式可以是−2x故答案为：−2x【点睛】本题考查了单项式的系数以及次数的定义，熟记相关定义是解本题的关键．题型十单项式规律题例10（2025秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）观察一列单项式：x2,3x2,5【答案】4043【分析】根据所给的单项式可得出各个单项式的系数依次为1，3，5，7，9，…；各个单项式的次数都是2，即可求出第2022个单项式．【详解】解：根据题意各单项式的次数都是2，系数为奇数，第n个的系数为2n−1，∴第n个单项式为2n−1x∴第2022个单项式为：(2022×2−1)x2=4043x故答案为4043x【点睛】本题考查单项式的系数和次数，找出单项式系数和次数的变化规律是解答本题的关键．举一反三1（2025春·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：2x,4x3,8x5A．n+1x2n−1 B．2nx2n−1 【答案】B【分析】找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答.【详解】解：因为给出的一列单项式的系数分别是2=2所以第n个单项式是2n故选：B.【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键.举一反三2（2025春·云南楚雄·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：3x,4x3,5x5,6xA．n+2x2n+1 B．3nxn C．【答案】C【分析】观察题目所给单项式可得，系数依次增加1，次数为连续奇数，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：系数依次增加1，第n个单项式次数为n+2，次数为连续奇数，第n个单项式次数为2n−1，∴第n个单项式为：n+2x故选：C．【点睛】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．题型十一多项式的判断例11（2024秋·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．b2单项式：（

）；多项式：（

）；整式：（

）．【答案】b23，0，m，4b；xy2+3，ab+x5，a−3；b23，0，m，【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式．多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式．【详解】单项式：（b23，0，m，多项式：（xy2+3，ab+x5是整式：（b23，0，m，4b，xy2+3，【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键．举一反三1（2025春·广东河源·七年级校考开学考试）在下列代数式：12ab，a+b2，ab2+b+1，3xA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】多项式是几个单项式的和，可得答案．【详解】解：在：12ab，a+b2，ab2+b+1，3x123x+2多项式有：a+b2，ab2故选：B．【点睛】本题考查了多项式的定义，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）是解题关键．举一反三1（2025秋·山东济宁·七年级统考期末）下列结论中正确的是（

）A．单项式πx2y4的系数是14C．多项式2x2+xy2+3是二次三项式 D．在1x，2x+y【答案】D【分析】根据单项式次数和系数的定义，多项式项和次数的定义，整式的定义进行求解即可．【详解】解：A、单项式πx2yB、单项式m的次数是1，系数为1，原结论错误，不符合题意；C、多项式2xD、在1x，2x+y，13a2，x−y3，5y4x，0中整式有故选D．【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，整式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是多项式和单项式的统称．题型十二多项式的项、项数或次数例12（2025秋·上海静安·七年级校考阶段练习）3a2−a【答案】三次四项【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，进而可得出答案．【详解】3a故答案为：三次四项【点睛】本题考查了多项式，掌握多项式的次数和项数是解题的关键．举一反三1（2025秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式−2x3−3最高次项是2x3 B．二次项系数是C．常数项是7 D．是三次四项式【答案】D【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数进行分析即可．【详解】解：多项式−2x3−3x2+x−7最高次项是故选：D．【点睛】此题主要考查了多项式的定义，关键是掌握和多项式有关的定义．举一反三2（2025秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）下列说法中正确的是（

）A．x−1x−1x2是二次三项式C．x2y23的系数是13【答案】C【分析】运用多项式及单项式的定义求解．【详解】解：A、x−1B、单项式−3πxy2zC、x2y2D、x2故选：C．【点睛】本题主要考查了多项式及单项式的定义，解题的关键是掌握多项式中关于项数和次数的规定及单项式的次数与系数的概念．题型十三多项式系数、指数中字母求值例13（2025秋·甘肃天水·七年级校考期末）若5x2ym−1【答案】1【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．【详解】解：∵多项式5x2y∴m+1≠0m∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．举一反三1（2025春·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考开学考试）如果3xn−m−1x+1是关于【答案】8【分析】根据一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得n=3，m−1=0，进一步计算即可求解．【详解】解：由题意得：n=3，m−1=0，解得：m=1，n=3，则−m+n故答案为：8．【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义．举一反三2（2025秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式x2ym+m+2x2−y+3是一个关于【答案】2【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．【详解】解：∵多项式x2ym+m+2∴m=2且m+2≠0解得：m=2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．题型十四将多项式按某个字母升幂(降)排列例14（2025秋·吉林长春·七年级统考期末）将多项式−8a4+a−2【答案】−4【分析】利用降幂排列的定义进行排列即可得出答案．【详解】解：将多项式−8a4+a−2a2故答案为：−4a【点睛】本题考查了多项式按某个字母升幂或降幂的排列，解题时需要注意按x的降幂排列即要把x按从高次到低次排列．举一反三1（2025秋·安徽六安·七年级校考期中）将多项式3b−6a2b−2ab−a4【答案】−【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列．【详解】解：多项式3b−6a2b−2ab−按字母a降幂排列为−故答案为：−a【点睛】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．举一反三2（2025春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）把多项式2y2+x3【答案】−【分析】按照y的指数的大小，从大到小进行排列即可．【详解】解：把多项式2y2+故答案为：−1【点睛】本题考查多项式的排列，会分清各项的指数和系数，在重新排列时一定不能改变该项的符号，这是解此题的关键．题型十五整式的判断例15（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）下列说法正确的是（

）A．x−y2是整式 C．单项式−πx系数为−1 D．多项式2−a−ab−2πx【答案】A【分析】根据多项式、单项式、整式的相关概念解答即可．【详解】解：A、x−y2B、2是单项式，其系数是2，次数是0，原说法错误，故此选项不符合题意；C、单项式−πx系数为−π，原说法错误，故此选项不符合题意；D、多项式2−a−ab−2πx故选：A．【点睛】本题考查整式、多项式与单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式的概念，本题属于基础题型．举一反三1（2025春·福建福州·七年级统考开学考试）下列对式子a2b的判断与说法，不正确的是（A．它是单项式 B．它是整式 C．它的系数是1 D．它的次数是2【答案】D【分析】根据单项式的相关概念，逐个进行判断即可．【详解】解：a2∴A、B、C正确，不符合题意；D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了单项式的相关概念，解题的关键是掌握单项式和多项式统称为整式；单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0．举一反三2（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式x2+5，−1，−3x+2，π，5x，x2+A．3个 B．1个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式．【详解】解：代数式x2+5，−1，−3x+2，π，5x，x整式有：x2+5，−1，−3x+2，π，故选：C．【点睛】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键．题型十六数字类规律探索例16（2025秋·山东济南·七年级校考阶段练习）观察下列算式第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3(1)按以上规律写出第10个等式a10(2)第n个等式an(3)试利用以上规律求11×2(4)你能算出12×4【答案】(1)1(2)1(3)2022(4)125【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式，总结出其规律即可；（3）利用（2）中的规律进行求解即可；（4）仿照（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：∵第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3…，∴第10个等式a10故答案为：110×11（2）解：由（1）的规律得，第n个等式an故答案为：1n（3）解：1=1−=1−=11×2+12×3+1=1−12+12−=1−=20202021（4）解：1======125【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．举一反三1（2025秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习）−11；12；−13；14；【答案】−【分析】由已知数据，得到奇数为负，偶数为正，第n个数的绝对值为1n【详解】解：由已知数据可知：奇数为负，偶数为正，第n个数的绝对值为1n∴第2013个数是−1故答案为：−1【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是从已有数据中抽象概括出相应的数字规律．举一反三2（2025秋·河南周口·七年级校考阶段练习）已知整数a1，a2，a3a1=0，a2=−a(1)直接写出a2，a3，a4(2)仔细观察（1）的结果，填写：a1−a2=______；a猜想：an−1(3)探究a2021【答案】(1)−2，−5，−9，−14；(2)2，3，4，5，n；(3)−2043230【分析】（1）将数字代入求解即可得到答案；（2）根据题意的得到数列是一组逐渐减小的数，去绝对值直接求解即可得到答案；（3）根据（2）的规律求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵a1∴a2=−0−2=−2，a3故答案为：−2，−5，−9，−14；（2）解：由（1）得，这组数是逐渐减小的数，∵a2=−a1−2∴a2=−(2−a1)∴a1−a2=2，a由上述规律可得：an−1故答案为：2，3，4，5，n；（3）解：由（2）得，a1∴a1即an∴a2021【点睛】本题考查绝对值及规律题，解题的关键是找到规律．题型十七图形类规律探索例17（2025秋·山东济南·七年级校考阶段练习）《庄子•天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．

（规律探索）（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影依此类推，如图3，S阴影3如图4，S阴影3…S阴影n(规律应用)（2）规律应用：计算12【答案】（1）18；116；1【分析】（1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解；（2）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解．【详解】解：（1）如图3，S阴影3如图4，S阴影3…S阴影n故答案为：18；116；（2）∵1−1∴12【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．举一反三1（2025秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数−1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数+2024的点与圆周上表示数字______的点重合．（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合．【详解】解：