2023新版高中数学函数专题训练题目

2023新版高中数学函数专题训练题目引言：函数学习的核心地位与训练价值高中数学中，函数是贯穿代数、几何乃至高等数学的核心工具，其思想方法渗透于数列、不等式、导数、解析几何等多个知识模块。2023年新版教材在函数体系的编排上，更强调概念本质的理解与实际问题的应用，训练题的设计需贴合新高考“素养导向、能力立意”的命题趋势——既要夯实定义域、单调性等基础考点，又要强化函数与方程、数形结合等思想的综合运用。本专题训练从“基础巩固—能力提升—创新拓展”三个维度设计题目，帮助学生在解题中构建系统的函数思维，真正实现“知识—方法—能力”的进阶。专题一：函数的概念与表示（核心考点：定义域、解析式、对应关系）知识点梳理函数的本质是“非空数集上的对应关系”，需重点突破：①定义域的限制（分式、根式、对数、抽象函数定义域的传递性）；②解析式的求法（待定系数法、换元法、配凑法、方程组法）；③同一函数的判定（定义域与对应关系均相同）。训练题目精选基础巩固题1.函数\(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{\log_{2}(3-x)}\)的定义域为______。要确定定义域，需同时满足分式分母不为0、根式被开方数非负、对数的真数大于0且底数对应的对数不等于0。因此分别解不等式\(2x-1\geq0\)（根式要求）、\(3-x>0\)（对数真数要求）、\(\log_{2}(3-x)\neq0\)（分式分母要求，即\(3-x\neq1\)），最后取交集即可。2.已知\(f(x+1)=x^2-2x\)，则\(f(x)\)的解析式为______。可通过换元法（令\(t=x+1\)，则\(x=t-1\)，代入原式得\(f(t)=(t-1)^2-2(t-1)\)，整理后替换\(t\)为\(x\)），或配凑法（将\(x^2-2x\)变形为\((x+1)^2-4(x+1)+3\)）求解。能力提升题3.若函数\(f(x)\)的定义域为\([1,3]\)，则\(f(2x-1)\)的定义域为______；\(f(\log_{2}x)\)的定义域为______。抽象函数定义域的核心是“括号内的整体范围一致”。对于\(f(2x-1)\)，令\(1\leq2x-1\leq3\)，解不等式得\(x\in[1,2]\)；对于\(f(\log_{2}x)\)，令\(1\leq\log_{2}x\leq3\)，即\(2^1\leqx\leq2^3\)，得\(x\in[2,8]\)。4.已知\(f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\)，求\(f(x)\)的解析式。用方程组法：将\(x\)替换为\(\frac{1}{x}\)，得\(f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{3}{x}\)。联立原方程\(f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x\)，消去\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)后求解\(f(x)\)。专题二：函数的基本性质（核心考点：单调性、奇偶性、周期性）知识点梳理函数性质是研究函数图像与变化规律的关键：①单调性（定义法证明、导数法判断、单调性的应用：比较大小、解不等式）；②奇偶性（定义判断、图像对称性、奇偶性与单调性的综合）；③周期性（定义、常见周期函数模型、周期性与奇偶性的结合）。训练题目精选基础巩固题5.证明函数\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上单调递增（用定义法）。任取\(x_1,x_2\in(1,+\infty)\)且\(x_1<x_2\)，计算\(f(x_2)-f(x_1)=\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)-\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)\)。因\(x_1,x_2>1\)，故\(x_1x_2>1\)，\(1-\frac{1}{x_1x_2}>0\)，且\(x_2-x_1>0\)，因此\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增。6.若\(f(x)=ax^3+bx+5\)，且\(f(-2)=10\)，则\(f(2)=\)______。构造奇函数\(g(x)=ax^3+bx\)，则\(f(x)=g(x)+5\)。由奇函数性质\(g(-x)=-g(x)\)，得\(f(-2)=g(-2)+5=-g(2)+5=10\)，故\(g(2)=-5\)。因此\(f(2)=g(2)+5=-5+5=0\)。能力提升题7.已知\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递减，若\(f(2x-1)>f(3)\)，则\(x\)的取值范围为______。偶函数的性质是\(f(x)=f(|x|)\)，因此不等式可转化为\(f(|2x-1|)>f(3)\)。结合\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递减，得\(|2x-1|<3\)，解此绝对值不等式即可。8.若\(f(x+2)=-f(x)\)，且\(f(1)=2\)，则\(f(2023)=\)______。由\(f(x+2)=-f(x)\)，令\(x\)替换为\(x+2\)，得\(f(x+4)=-f(x+2)=f(x)\)，故函数周期为4。因此\(f(2023)=f(4\times505+3)=f(3)\)。又\(f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2\)，故\(f(2023)=-2\)。专题三：基本初等函数（核心考点：指数、对数、幂函数的图像与性质）知识点梳理三类函数的核心是“图像特征+性质应用”：①指数函数（单调性与底数\(a\)的关系、定点\((0,1)\)、值域）；②对数函数（单调性与底数\(a\)的关系、定点\((1,0)\)、定义域）；③幂函数（\(y=x^\alpha\)的图像随\(\alpha\)变化的规律、过定点\((1,1)\)）。训练题目精选基础巩固题9.比较大小：\(0.3^{0.2}\)，\(0.2^{0.3}\)，\(\log_{0.3}0.2\)。利用指数函数单调性：\(y=0.3^x\)在\(\mathbb{R}\)上递减，故\(0.3^{0.2}>0.3^{0.3}\)；又幂函数\(y=x^{0.3}\)在\((0,+\infty)\)上递增，故\(0.3^{0.3}>0.2^{0.3}\)，因此\(0.3^{0.2}>0.2^{0.3}\)。再看对数：\(\log_{0.3}0.2>\log_{0.3}0.3=1\)，而\(0.3^{0.2}<0.3^0=1\)，故\(\log_{0.3}0.2>0.3^{0.2}>0.2^{0.3}\)。10.函数\(f(x)=\log_{a}(x-1)+2\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图像过定点______。对数函数\(\log_{a}t\)过定点\((1,0)\)，令\(x-1=1\)，得\(x=2\)，此时\(f(2)=\log_{a}1+2=0+2=2\)，故定点为\((2,2)\)。能力提升题11.已知\(a=\log_{2}3\)，\(b=\log_{3}2\)，\(c=\log_{\frac{1}{2}}3\)，则\(a,b,c\)的大小关系为______。利用对数函数单调性：\(\log_{2}3>\log_{2}2=1\)，\(0=\log_{3}1<\log_{3}2<\log_{3}3=1\)，\(\log_{\frac{1}{2}}3<\log_{\frac{1}{2}}1=0\)，故\(a>b>c\)。12.若幂函数\(f(x)=(m^2-3m+3)x^{m^2-m-2}\)的图像不过原点，则\(m\)的值为______。幂函数的定义是系数为1（\(m^2-3m+3=1\)），解得\(m=1\)或\(m=2\)。又图像不过原点，需指数\(m^2-m-2\leq0\)（保证\(x=0\)时无定义或函数值为常数）。当\(m=1\)时，指数为\(-2\)，满足；当\(m=2\)时，指数为\(0\)，也满足。故\(m=1\)或\(m=2\)。专题四：函数的零点与方程、不等式（核心考点：零点存在性、零点个数、函数与方程的转化）知识点梳理函数零点是“\(f(x)=0\)的实数解”，核心方法：①零点存在定理（判断零点是否存在）；②数形结合（将零点个数转化为函数图像交点个数）；③函数与方程、不等式的转化（如\(f(x)>g(x)\)转化为\(f(x)-g(x)>0\)）。训练题目精选基础巩固题13.函数\(f(x)=e^x+x-2\)的零点所在区间为（）A.\((-1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((1,2)\)D.\((2,3)\)计算区间端点的函数值：\(f(0)=e^0+0-2=-1<0\)，\(f(1)=e^1+1-2=e-1>0\)，由零点存在定理（\(f(0)\cdotf(1)<0\)），知零点在\((0,1)\)内，选B。14.方程\(\log_{2}x=x-2\)的实数解个数为______。转化为\(y=\log_{2}x\)与\(y=x-2\)的图像交点个数。画图分析：\(y=\log_{2}x\)过\((1,0)\)、\((2,1)\)，\(y=x-2\)过\((2,0)\)、\((0,-2)\)。当\(x=4\)时，\(\log_{2}4=2\)，\(4-2=2\)，故\((4,2)\)是交点；当\(x=2\)时，\(\log_{2}2=1\)，\(2-2=0\)，\(\log_{2}x>x-2\)；当\(x=1\)时，\(\log_{2}1=0\)，\(1-2=-1\)，\(\log_{2}x>x-2\)。结合单调性，两函数有2个交点，故解的个数为2。能力提升题15.已知函数\(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0\\x^2+2x,&x\leq0\end{cases}\)，若\(f(x)=a\)有三个不同的实数解，则\(a\)的取值范围为______。分段分析：①\(x>0\)时，\(y=\lnx\)单调递增，值域为\(\mathbb{R}\)，与\(y=a\)有一个解当且仅当\(a\in\mathbb{R}\)；②\(x\leq0\)时，\(y=x^2+2x=(x+1)^2-1\)，图像为开口向上的抛物线，顶点\((-1,-1)\)，与\(y=a\)有两个解当且仅当\(-1<a\leq0\)（因\(x=0\)时\(y=0\)）。综上，\(a\in(-1,0]\)时，\(f(x)=a\)有三个解。16.已知\(f(x)=x^2-2x+3\)，若\(f(x)\geq2x+