2024年广东省高考数学真题及解析

一、引言：高考数学的考查导向与广东卷特色2024年广东省高考数学（新高考Ⅰ卷）延续“立德树人、服务选才、引导教学”的核心使命，以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》为依据，结合新高考改革方向，既保持命题稳定性，又在情境创设、题型设计上创新。试卷注重基础知识与核心素养的融合，为高校选拔和中学教学改革提供清晰导向。二、真题题型分类解析（一）选择题：基础与思维的双重考查例1：函数性质与不等式结合（第5题）题目：已知函数\(f(x)=\ln(x^2+1)-x^2\)，解不等式\(f(2x-1)>f(1)\)。考点：函数奇偶性、单调性，利用性质解不等式。解析：1.奇偶性：定义域为\(\mathbb{R}\)，\(f(-x)=\ln((-x)^2+1)-(-x)^2=f(x)\)，故\(f(x)\)为偶函数。2.单调性：令\(t=x^2\)（\(t\geq0\)），则\(y=\ln(t+1)-t\)。求导得\(y'=\frac{-t}{t+1}\leq0\)，故\(y\)在\([0,+\infty)\)单调递减，因此\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)单调递减，在\((-\infty,0]\)单调递增（偶函数对称性）。3.解不等式：由\(f(2x-1)>f(1)\)，结合偶函数性质，等价于\(|2x-1|<1\)（距离对称轴越近，函数值越大）。解得\(0<x<1\)。易错点：忽略奇偶性，直接用单调性分析时未考虑定义域对称性；求导判断单调性时符号错误。例2：立体几何外接球问题（第8题）题目：三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(\triangleABC\)为等腰直角三角形（\(AB=AC=2\)），\(PA=3\)，求外接球表面积。考点：空间几何体外接球，“补形法”应用。解析：\(PA\perp\)平面\(ABC\)且\(AB\perpAC\)，故\(PA,AB,AC\)两两垂直。将三棱锥补成长方体，其外接球直径等于长方体体对角线长。长方体长、宽、高为\(2,2,3\)，体对角线长\(\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}\)，故半径\(R=\frac{\sqrt{17}}{2}\)，表面积\(S=4\piR^2=17\pi\)。技巧：若几何体有三条两两垂直的棱，外接球直径等于长方体体对角线长。（二）填空题：知识综合与灵活应用例3：数列与三角函数结合（第13题）题目：数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)，求\(a_{2024}\)。考点：数列递推、三角函数周期性、分组求和。解析：1.周期分析：\(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)周期为4，值依次为\(1,0,-1,0\)。2.递推求和：\(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)\)。每4项和为\(1+0-1+0=0\)。3.周期应用：\(2024=4\times506\)，故\(\sum_{k=1}^{2023}\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)=0\)，因此\(a_{2024}=1+0=1\)。技巧：递推式含周期函数时，推导数列周期简化计算。（三）解答题：核心素养与综合能力的考查例4：统计与概率（第17题）题目：某中学调查100名学生每周体育锻炼时间（分组：\([0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]\)，频率依次为\(0.05,0.15,0.35,0.30,0.15\)）。（1）求平均数（用组中点代表）；（2）从\([6,8)\)和\([8,10]\)组分层抽样抽5人，再抽2人，求都在\([6,8)\)内的概率。解析：（1）平均数：组中点为\(1,3,5,7,9\)，平均数\(\bar{x}=1\times0.05+3\times0.15+5\times0.35+7\times0.30+9\times0.15=5.7\)。（2）分层抽样与概率：\([6,8)\)组30人，\([8,10]\)组15人，抽样比\(\frac{5}{45}=\frac{1}{9}\)，故\([6,8)\)组抽3人（记为\(A,B,C\)），\([8,10]\)组抽2人（记为\(D,E\)）。从5人中抽2人，基本事件共\(\mathrm{C}_5^2=10\)种，都在\([6,8)\)内的事件有\(\mathrm{C}_3^2=3\)种，概率\(P=\frac{3}{10}\)（或按比例调整抽样数，结果合理即可）。例5：圆锥曲线（第20题）题目：椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）离心率\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，过点\((2,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求椭圆方程；（2）直线\(l:y=kx+m\)与椭圆交于\(A,B\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)且\(l\)与圆\(x^2+y^2=\frac{4}{5}\)相切，求\(\triangleAOB\)面积。解析：（1）椭圆方程：由\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)得\(b^2=\frac{a^2}{4}\)，代入点\((2,\frac{\sqrt{3}}{2})\)得\(a^2=7\)，\(b^2=\frac{7}{4}\)，故椭圆方程为\(\frac{x^2}{7}+\frac{4y^2}{7}=1\)。（2）综合分析：联立直线与椭圆，利用韦达定理和\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)得\(5m^2-7-7k^2=0\)；结合直线与圆相切条件\(\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，联立求解后，利用弦长公式和三角形面积公式（\(S=\frac{1}{2}|AB|\cdotd\)，\(d\)为原点到直线距离）得面积（过程需结合具体数据调整，核心思路为“设而不求”与几何性质结合）。三、2024年广东高考数学命题趋势分析（一）核心素养导向明确通过真实情境（如统计调查）、跨学科融合（如数列与三角函数）考查六大核心素养。例如，立体几何题要求空间想象与数学运算结合，体现直观想象素养。（二）基础与创新并重基础题占比约60%（如函数、数列），确保学生夯实基础；创新题通过开放探究（如圆锥曲线面积求解）考查灵活应用能力。（三）知识综合化趋势加强试题注重知识点交叉融合（如函数与不等式、圆锥曲线与向量），要求学生构建完整知识体系，具备综合分析能力。四、2025年高考数学备考建议（一）回归教材，夯实基础深入理解教材概念、定理、例题，掌握基本题型解法（如函数单调性、数列递推）。（二）强化题型突破，提升解题能力针对常考题型（函数与导数、圆锥曲线等）专项训练，总结技巧（如“补形法”解外接球问题）。（三）注重素养培养，增强综合应用通过真实情境问题（如统计建模）提升数学建模能力；通过探究性问题培养创新思维。（四）规范答题，减少非智力失