《材料力学简明教程》课件-第十二章 能量法

材料力学简明教程第十二章能量法主要内容：

概述

外力功和应变能的计算

卡氏定理

单位载荷法·莫尔定理

运用能量法解超静定问题

动载荷应力§12－1概述构件受外力作用而变形，载荷作用点随之产生位移，载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量，称为该载荷的相应位移。外力通过相应位移做功，同时，在构件内部积蓄了能量，称为应变能，并用V表示。根据能量守恒定律可知，如果载荷由零逐渐地、缓慢地增加，以至在加载过程中，构件的动能与热能的变化均可忽略不计，则存储在构件内的应变能V，数值上等于外力所做的功W．即V=W

利用能量原理分析构件或结构的位移与应力的方法称为能量法。能量原理线性弹性体的外力功在整个加载过程中，载荷所做的总功为式中，F为广义力;而△则为相应于该广义力的广义位移§12－2外力功和应变能的计算

克拉贝依隆原理上述载荷Fi(i=1，2，…，n)应理解为广义力，而位移△i(i=l，2…，n)应理解为相应的广义位移。杆件应变能计算

当杆件仅受到轴向拉伸(或压缩)时的应变能为当轴力沿杆轴线为常数F时，则有当轴仅受到扭转时的应变能为当扭矩沿杆轴线为常数T时，则有当梁在平面弯曲时的应变能为整个杆或杆系的应变能例求图示桁架应变能及节点C的垂直位移△C

各杆的拉压刚度均为EA。解：取节点C，受力情况如图b所示，两杆轴力分别为结构总的应变能为△c为外力F在其作用点沿作用力方向上的位移，外力功为得设梁的应变能VS为外力F1，F2，…，Fn的函数。有应变能增量可以表示为§12－3卡氏定理

梁的应变能由3个部分组成略去高阶小量，可得卡氏定理例桁架由杆件BC和BD组成，在结点占作用有铅垂载荷F，如图所示。已知两杆的抗拉刚度EA相同并且为常量，试求B点的水平和铅垂位移。解：桁架为拉压杆件组成的杆系结构，桁架的总应变能为根据卡氏定理，铅垂位移根据题意需要计算B点的水平位移，而结构中没有对应的广义力。因此需要施加一个虚拟的广义力Faf，如图(b)所示。根据平衡关系可得两杆的内力，如图(c)所示，即桁架的应变能为结点位移为因为偏导数求解完成后，令内力表达式中的虚拟广义力Faf为0，则将上述结果代入位移表达式，可得设简支梁在载荷F1，F2，…，Fn作用下,梁上任一截面C的位移为△(图a))。梁的弯曲应变能为设想在C点沿位移△的方向上单独作用数值为1的单位力(图b))，梁在单位力作用下的应变能为§12－4单位载荷法·莫尔定理

作用于C点的单位力又产生位移△(图c))，完成了1•△的功，故应变能为关于莫尔定理的应用作如下说明：(1)当外载荷在杆件横截面上同时产生轴力、弯矩和扭矩时，可推出莫尔积分的普遍形式在只受节点载荷作用的桁架中，由于各杆在横截面上只有轴力且沿杆长为定值，则表达式可写为(2)单位力为广义力，视所要确定位移的性质而定。

(3)公式右端的计算结果若为正值，则表示待定位移△的指向与单位力指向一致；若为负值，则△的指向与单位力指向相反。莫尔定理例图示直角折杆，在端点C上作用集中力F，设折杆两段均为等截面直杆，材料相同，试用莫尔定理确定C点的铅垂位移△c

。解：在C点竖直方向施加一单位力，计算实际载荷和单位力单独作用时各段的内力方程如下：CB段：AB段：由莫尔定理，C点的垂直位移为运用能量法可较方便地建立与变形协调条件相应的补充方程，使求解过程简便许多。解：由图(a)可以看出，该刚架有四个支座反力，独立平衡方程只有三个，所以是一次静不定问题。将可动铰支座A设为多余约束，以垂直支反力代替其作用，则可得到基本静定系如图(b)所示，相应的变形谐调条件为截面A处的垂直位移为零，即§12－5运用能量法解超静定问题

例图示等截面刚架，一端为固定端，另一端为可动铰支座，在杆AB受均布载荷q作用，试计算支反力。

使用莫尔积分来找出yA的表达式。由图(c)可以看出，在q和RA的作用下，刚架AB和BC段的弯矩方程分别为在基本静定系上沿RA方向作用一单位力，如图(c)示，可以看出，在单位力作用下，刚架AB和BC段的弯矩方程分别为多余约束反力确定后，由平衡方程得§12－6动载荷应力

如果构件在载荷的作用下,其各部分的加速度相当显著,这种载荷即称为动载荷。因动载荷作用而引起构件产生的应力称为动应力。

在研究动载荷作用于构件的问题时,都假定构件材料的动荷应力不超过材料的比例极限,而研究方法采用动静法。构件作等加速直线运动时的动荷应力

水平放置在一排滚子上的等直杆，在载荷F牵引下沿杆件轴线力向作等加速直线运动，根据牛顿第二定律，有杆件加速度为使用假想截面沿m-m截面将杆分为A,B两部分，如图b）所示。根据动静法，在杆件各个点施加与加速度力向相反的惯性力，外力与惯性力组成平衡力系(图c）。单位长度的惯性力为上述分析同样适用于构件的任意部分。对于A部分，如图d）所示，有横截面m-m的动应力为

构件作匀速转动时的动荷应力

设某一机器飞轮的轮缘以等角速度ω转动。飞轮轮缘以等角速度转动时：微段的惯性力为取半个轮缘为研究对象，列出平衡方程得

冲击载荷

重物从高度h处自由下落，以一定的速度冲击直杆。根据功能原理，在冲击过程中，冲击物所做的功应等于被冲击物的变形能,即在整个冲击过程中，冲击物的动能变化为零，冲击物所做的功为杆的变形能为假设杆的材料是线弹性的，故有冲击时杆的最大缩短量：其中：例

如图所示制动器，1为制功轮，2为飞轮。在转轴被制动时，因飞轮与轴等已具有一定的转速，有一定的功能，制功时它因惯性使轴受到扭转冲击。若已知轴直径d=50mm,长l=1.5m,切变模量G=80GPa;轮回转半径为250mm,重力W=450N，转速n=