《材料力学简明教程》课件-第四章 扭转

材料力学简明教程第四章扭转

外力偶矩和扭矩的计算

切应力互等定理与剪切胡克定律

圆轴扭转时横截面上的应力主要内容：

扭转概念和工程实例

圆轴扭转时的强度计算

扭转变形和刚度条件

圆桂形密圈螺旋弹簧

矩形截面杆扭转理论简介§4－1扭转概念和工程实例受力特点：杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用两个大小相等、转向相反的外力偶

变形特点：杆件的任意两个横截面都将发生绕杆件轴的相对转动。

这种形式的变形即为扭转变形

扭转角：任意两横截面上相对转过的角度。用表示

表示截面B对截面A的相对扭转角。

§4－2外力偶矩和扭矩的计算外力偶矩的计算

令n表示轴每分钟的转数(r/min)，则作用在轴上的力偶矩为M的外力偶，每分钟所作的功为

令N表示轴传递的功率，其单位为千瓦，1千瓦（kW）＝1000牛顿·米/秒（N·m/s）。则每分钟所作的功为

外力偶矩的计算公式为

当功率为N马力（1马力＝765.5N·m/s）时，外力偶矩计算方式为圆轴扭转时的内力取左段为研究对象取右段为研究对象，求得扭矩大小相等，但转向相反。

T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩

右手螺旋法则

若以右手的四指沿着扭矩的旋转方向卷曲，当大拇指的指向与该扭矩所作用的横截面的外法线方向一致时，则扭矩为正，反之为负。

TT扭矩图

：为了清楚地表示扭矩随横截面位置的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，从而作出扭矩随截面位置而变化的图线。

例传动轴如图所示。已知主动轮A输入功率为PA=36kW,从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW。轴的转速为n=300r／min。试画出传动轴的扭矩图。反映最大扭矩值及其所在的位置解：算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小

将传动轴分为三段。在BC段内在CA段内绘制扭矩图

在AD段内

T3=MD=446N·m

§4－3切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转产生的切应力切应力互等定理在一对相互垂直的微面上，与棱线正交的切应力应该大小相等，其方向共同指向或背离两个截面的交线，这就是切应力互等定理剪切胡克定律：薄圆筒扭转试验表明，在切应力为一定的范围内，切应变与切应力成正比，即

剪切胡克定律材料切变模量：§4－4圆轴扭转时横截面上的应力

变形几何关系

圆轴扭转变形的平面假设:假设圆轴的各横截面在扭转变形后保持为平面，且形状、大小及间距都不变。

圆轴扭转变形时横截面上不存在正应力，只有切应力，其方向与所在半径垂直，与扭矩的转向一致。在圆轴上取长dx一微段，视左截面为相对静止的面，右截面相对左截面转过dφ角。横截面上b点位移为：改写为θ=dφ/dx称为单位扭转角

物理关系距轴线为处的切应力为扭转切应力沿截面径向线性变化

静力学关系

整个横截面上各微剪力对圆心O点的力矩之和应等于该截面上的扭矩因为所以记横截面对圆心的极惯性矩

当横截面一定时，中心点处应力等于零，而最外边缘处有该横截面上的最大切应力

当时，切应力最大

令圆轴扭转时横截面上最大剪应力的计算公式

抗扭截面模量

圆轴极惯性矩和抗扭截面模量的计算（1）实心圆截面

若取微面积为一圆环，，则由积分得

（2）空心圆截面

例

如图所示，给出了实心轴上沿任意二个径向线的切应力分布，试计算截面上的扭矩。解：截面极贯性矩应用截面上最大扭转应力公式得§4－5圆轴扭转时的强度计算对于塑性材料，＝(0.5～0.6)对于脆性材料，＝(0.8～1.0)

理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力与许用正应力之间存在下述关系：

强度条件例解放牌汽车主传动轴AB，传递的最大扭矩T＝1930N·m，传动轴用外径Ｄ=89mm，壁厚δ=2.5mm的钢管制成，材料为20号钢，其许用切应力[t]=70MN/m2

。试校核此轴的强度。

解：（1）计算扭矩截面系数（2）强度校核

AB轴满足强度条件

（3）讨论：此例中，如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，使其与钢管有同样的强度（即两者的最大应力相同）。试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。

实心轴横截面面积空心轴截面面积

在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于截面面积之比，得

圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布。当截面边缘处的最大剪应力达到许用剪应力值时，圆心附近各点处的剪应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用。

如果将轴心附近的材料移向边缘处，即制成空心轴提高了轴的承载能力，充分利用材料工程中应尽量采用空心圆轴。切应力分布§4－6扭转变形和刚度条件

圆轴扭转时的变形计算

相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱。单位长度的扭转角：等直圆轴扭转变形计算公式

正负号随扭矩正负号而定

例一等直钢制传动轴,材料的切变模量G=80GPa

试计算扭转角φ

AB、φBC、φAC

。解：(1)计算扭矩用截面法并按扭矩正、负号的规定，得AB,BC段任一横截面上的扭矩为由此作出扭矩图(2)A轮对B轮的扭转角(3)B轮对C轮的扭转角(4)A轮对C轮的扭转角

圆轴扭转时的刚度条件

[q]的取值可根据有关设计标淮或规范确定。为了保证轴的刚度，通常规定轴的最大单位长度扭转角不得超过规定的允许值

等截面轴扭转时刚度条件精密机械的轴[q]=0.25～0.5（°/m）一般传动轴[q]

＝0.5～1.0（°/m）精密较低传动轴[q]

＝2～4（°/m）例传动轴受到扭矩2300N·m的作用，若[t]=40MN/m2，[q]=0.8°/m，G=80GPa，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径。解根据强度条件式

应在两个直径中选择较大者，即取轴的直径d=68mm。

根据刚度条件式

及§4－7圆柱形密圈螺旋弹簧

弹簧丝横截面上的应力密圈螺旋弹簧：当螺旋角很小，认为簧丝横截面与弹簧轴线(亦即与F力)在同一平面内的弹簧。最大切应力的修正公式弹簧的强度条件最大切应力的近似公式弹簧指数

曲度因数

弹簧变形计算弹簧变形公式令可简化为弹簧刚度

希望弹簧有较好的减振与缓冲作用，应使簧丝直径尽可能小一些，增加圈数，加大平均直径。例某柴油机气门弹簧的簧圈平均半径R=18mm,簧丝横截面直径d=4mm，有效圈数n=5。弹簧工作时总压缩变形(包括顶压变形)为18.5mm。材料的[τ]=350MPa,G=80GPa。试校核弹簧的强度。解弹簧所受压力为弹簧满足强度要求求各参数§4－8矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆自由扭转时，横截面上的切应力分布如图，它具有以下特点:(1)截面周边的切应力力向与周边平行;(2)角点的切应力为零;(3)最大的切应力发生在长边的中点处，其计算式单位长度扭转角的计算公式为式中，T为杆横截面上的扭矩;

t为矩形截面短边长度;

h为矩形截面长边长度;