重难点培优：整式的加减的应用大题专练（解析版）-提能力

2/2重难点培优：整式的加减的应用大题专练一、解答题1．（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：用户月用水量单价不超过的部分a元/超过但不超过的部分元/超过的部分2a元/(1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费．(2)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．【答案】(1)该用户这个月应缴纳80元水费；(2)甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费（）；当时，缴水费（）元；当时，缴水费（）元．【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意列出正确的代数式是解本题的关键；（1）把分成三部分，再分别计算费用，再求和即可；（2）设甲户这个月用水，再分情况讨论：①；②；③；再计算总费用即可．【详解】（1）解：答：该用户这个月应缴纳80元水费．（2）∵甲户缴纳的水费超过了24元∴①当时，甲：乙：共计：②当时，甲：乙：共计：③当时甲：乙：共计：答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费；当时，缴水费元；当时，缴水费元．2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元．(1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？(2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值．【答案】(1)甲商场付款元；乙商场付款元(2)【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用、代数式和整式的加减，理解题意是解决问题的关键．（1）根据题目要求即可写出算式，根据整式的加减运算法则化简即可；（2）可得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案．【详解】（1）甲商场付款：元．乙商场付款：元．（2）由题意，得解得．3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）观察以下等式：①；②；③；……．按照以上规律，解决下列问题：(1)请再写出一个等式______；(2)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．①王老师猜的结果是______；②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理．【答案】(1)(2)①9；②见解析【分析】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理．（1）模仿示例写出结果即可；（2）①试值进行计算，可求得此题结果；②由题意用a、b列式进行计算推理，【详解】（1）解：；故答案为：（2）解：①取数字92，由题意得：，∴王老师猜的结果是9；故答案为：9②由（1）得：，∵原两位数的十位数字是a，个位数字是b，∴原两位数可表示为，减去十位数字和个位数字后得．∵，∴可以表示为，∴其十位数字为，个位数字为，∴，∴不论开始的两位数是多少，最后结果均为9．4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）某年的“十一”黄金周期间，崂山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化（单位：万人）1.40.60.200.1(1)七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)若9月30日的游客人数为2万，求7天的游客总人数．【答案】(1)七天内游客人数最多的是3日，最少的是1日，5日和6日，它们相差的人数为0.8万人；(2)7天的游客总人数为25.9万．【分析】本题主要考查了正负数，整式加减的应用，解题关键是明确正负数在实际问题中的意义．（1）设9月30日的游客为万人，根据表格数据，求出1到7日的游客人数，进行判断即可；（2）由（1）求出这7日的游客总数，然后把代入化简后的式子进行计算即可．【详解】（1）解：设9月30日的游客为万，则1日的游客为万，2日的游客为万，3日的游客为万，4日的游客为万，5日的游客为万，6日的游客为万，7日的游客为万，，（万人），七天内游客人数最多的是3日，最少的是1日，5日和6日，它们相差的人数为0.8万人，答：七天内游客人数最多的是3日，最少的是1日，5日和6日，它们相差的人数为0.8万人；（2）解：由（1）得：当时，（万人），答：若9月30日的游客人数为2万，7天的游客总人数为25.9万．5．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，在长方形中，，在它内部有三个小正方形，正方形的边长为，正方形的边长为．

(1)求图中阴影部分的周长（用含的式子表示）；(2)当时，求图中阴影部分的周长．【答案】(1)(2)36【分析】本题考查代数式求值，列代数式，正确列出代数式是解题的关键：（1）根据观察可知：图中阴影部分的周长与长为、宽为的矩形周长相同，在场方程中，，，得出，，再得出，进而可求出周长；（2）直接代入求解即可．【详解】（1）解：根据观察可知：图中阴影部分的周长与长为、宽为的矩形周长相同，在场方程中，，，∵正方形的边长为，正方形的边长为，∴，，∵，∴，∴阴影部分的周长；（2）当时，阴影部分的周长．6．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，用三种大小不同的正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形．其中有4个相同小正方形的边长为a，长方形的长为b．

(1)看图填空：，；（用含a，b的代数式表示）(2)当，时，求长方形的周长．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键．（1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答；（2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将，代入计算即可．【详解】（1）解：如图，

，，∴；∴；（2）∵，，∴长方形的周长为，当，时，；7．（23-24七年级上·广东东莞·期中）如图，小明在手工课上做了如图所示的长方体纸盒（尺寸见图，单位：），(1)做一个大纸盒比做一个小纸盒多用料多少平方厘米？(2)当，，时，两个纸盒共用料多少平方厘米？【答案】(1)(2)344平方厘米【分析】本题考查列代数式及整式的加减的应用，理解题意，根据长方体的表面积公式列代数式是解题的关键．（1）根据长方体的表面积公式计算出小纸盒和大纸盒各需的用料，然后作差即可得出答案；（2）由（1）计算出两个纸盒共需用料，再将a，b，c代入即可．【详解】（1）小纸盒的表面积为大纸盒的表面积为∴；（2）∵小纸盒的表面积为（平方厘米），大纸盒的表面积为（平方厘米），∴∴当，，时，原式（平方厘米）．8．（23-24七年级上·福建莆田·期末）近年来，电商多选择在11月11日促销．今年的促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）．回答下列问题：(1)用含a，b，c的式子表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要_____厘米，乙需要____厘米；(2)当时，两种打包方式中，哪种方式节省打包带？并用作差法证明你的结论．【答案】(1)，(2)乙种节省，证明见解析【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键．（1）根据长方形周长公式进行求解即可；（2）利用作差法求解即可．【详解】（1）解：甲：厘米，乙：厘米，∴甲需要厘米，乙需要厘米，故答案为：，；（2），即，故乙种节省．9．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除．举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．【推理验证】已知三位数．（1）请用含，，的代数式表示和“割尾法”后所得的差．（2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数．已知①．因为是7的倍数，可设（1）中的代数式（为整数）②．只需把②式变形代入①式即可．请根据上述分析写出推理过程．【答案】类比解决：能，见解析；（1）；（2）见解析【分析】本题考查了用列代数式，整式的加减，准确理解题意是解题的关键．类比解决：根据题干举例进行解答即可；（1）根据题意表示出，，求解即可；（2）先设，将表示成即可证明．【详解】类比解决：能，理由如下：对于三位数455，割掉末位数字5得45，，因为35是7的倍数，所以455能被7整除．（1）∵，，∴；（2）设，∴，∴，∴能被7整除．10．（23-24七年级上·四川德阳·期末）某商店钢笔每支25元，笔记本每本5元．该商店为促销制定了两种优惠方法：甲：买钢笔一支送笔记本一本；乙：按购买总额的90%付款．我校七年级某班需购买这种钢笔若干支，这种笔记本60本．（钢笔数少于笔记本数）(1)若需要钢笔10支，则甲，乙两种优惠方法谁更省钱？请计算说明．(2)若购钢笔a支，则甲，乙两种优惠方法各需付款多少元？（用含a的代数式表示）(3)有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法更省钱？若有，请直接举例一个a的值．【答案】(1)甲方法需要付500元，乙方法需要付495元，乙方法省钱．(2)甲方法需付款元，乙方法需付款元．(3)有，(答案不唯一，只要是大于12且小于60的任一正整数均可)．【分析】本题考查了列代数式，读懂题目信息，理解两种优惠方法的付款方法是解题的关键．（1）分别根据两种促销优惠方法求出购物付款，比较即可；（2）根据两种优惠方法列式整理即可；（3）的任意整数均可以．【详解】（1）解：甲方法需付款：（元），乙方法需付款：（元），乙方法省钱；（2）甲方法需付款：（元），乙方法需付款：（元）．（3）当，即，且甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱是有可能的，如(答案不唯一，只要是大于12且小于60的任一正整数均可)．11．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为．(1)从图可知，这5块完全相同的小长方形较长边的长是(用含的代数式表示)(2)分别计算阴影A，B的周长（用含，的代数式表示）(3)当，时，分别计算阴影A，B的面积．【答案】(1)(2)阴影A的周长为；阴影B的周长为(3)阴影A的面积为：；阴影B的面积为：【分析】本题主要考查了列代数式，以及代数式求值，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形的面积公式和周长公式．（1）根据图形用已知数据和y表示出小长方形较长边的长即可；（2）根据长方形的周长公式计算阴影A，B的周长即可；（3）根据，，结合长方形面积公式分别求出阴影A，B的面积即可．【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是；故答案为：；（2）解：阴影A的周长为：，阴影B的周长为，（3）解：当时，阴影A的面积为：，阴影B的面积为：答：阴影A的面积为：；阴影B的面积为：12．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是2024年2月份的月历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为．(1)分别用的代数式表示和；(2)结合月历，若，则的最大值为多少？【答案】(1)；(2)219【分析】本题考查了代数式的知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据日历中的规律可表示出“型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，从而表示出即可；（2）由，整理可得，结合的取值范围即可获得答案．【详解】（1）解：，．（2）解：由（1）知，当最大时也取得最大值，由月历图知，的最大值为20，所以的最大值为219．13．（23-24七年级上·浙江台州·期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．证明：显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除．【答案】（1），，（2）见解析【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键．（1）根据整式加减法则，进行填空即可；（2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可．【详解】解：（1）证明：；显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除．故答案为：，，；（2）证明：，∵能被整除，∴若可以被9整除，则能被9整除．14．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为，(1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长(2)若，求m，n满足的关系？【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式加减的应用：（1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可；（2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式．【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，故；（2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则，∴，所以两个阴影部分图形的周长的和为：，即为∵，∴整理得：．15．（23-24七年级上·福建三明·期中）【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形．【探索】（1）如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形．（2）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值．【拓展】（3）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，请画出长方形及剪裁线的示意图，并写这个长方形是几阶方形．【答案】（1）2；（2）见详解；（3）作图见详解，是5阶方形【分析】本题考查了四边形的阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力；给出一个新的定义，按此定义理解并解决问题，这类题的关键是找重点语句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有个正方形，就是阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．（1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形；（2）有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；（3）先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以矩形是5阶方形．【详解】解：（1）由图3可知，邻边为1和的长方形经过两次操作剩下边长为的正方形，故为2阶方形，故答案为：2；（2）根据3阶方形的定义做出如下4种情况：（3），，，作图如下：由图可知，这个长方形为5阶方形．16．（23-24七年级上·全国·单元测试）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为，时，点P与点Q之间的距离为．根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，4（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上的动点，表示数m．(1)_______个单位长度；若点M在A、B之间，则_______；(2)若，则m的值为_______．(3)若点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，运动时间记为t秒．请问几秒钟之后的值等于1？(4)在（3）的条件下，若在点M运动的同时点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)6，6(2)或6(3)或(4)的值不会随着t的变化而变化，其值为定值2【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案；（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步建立方程求解即可；（3）由对应的数为，结合，可得，再解方程即可；（4）由对应的数为，对应的数为，结合对应的数为，再列式计算即可．【详解】（1）解：∵点A、B表示的数分别是，4，∴，∵点M在A、B之间，即，∴；（2）解：当时，而，∴，解得：，当时，∴，不符合题意，舍去，当时，而，∴，解得：，综上：当时，或；（3）解：∵点M从点O出发在数轴上以每秒3个单位的速度向右运动，∴对应的数为，∵，∴，∴或，解得：或；（4）解：∵点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒7个单位的速度向右运动，∴对应的数为，对应的数为，∵对应的数为，∴；∴不会变化，为定值2．【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，理解题意熟练的列式或方程是解本题的关键．17．（2023·湖南怀化·模拟预测）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定(1)计算的值．(2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简．(3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．【答案】(1)20(2)(3)不一定，理由见解析【分析】本题考查新定义运算及数轴，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算．（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；（3）当时，不一定有或者，举例即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，，则；（2）解：根据题意可得，，∴∴；（3）解：由得，不一定有或者，例如：取，则，此时等式成立，但且；18．（23-24七年级上·广东梅州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且．(1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？(2)点A、B以（1）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)经过秒或后A，B相距2个单位长度(2)当时，为定值，定值为44【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．（1）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况；（2）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值．【详解】（1）解：∵，且，∴，，∴A点表示，B点表示4．设经过x秒后A，B相距2个单位长度，∵，∴或．当经过秒或后A，B相距2个单位长度；（2）解：∵A、B对应的数分别为、4．设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示，∴，，，∴．当时，，∴当时，为定值，定值为44．19．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）：用户月用水量单价不超过的部分a元超过但不超过的部分元超过的部分2a元(1)当a=2时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）；(2)当a=2时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费；(3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示）【答案】(1)；(2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元(3)该用户这个月应缴纳水费元【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算公式是解题的关键．（1）根据题干所给计算公式即可求得芳芳家月份需交水费，设芳芳家月份用水量为，列一元一次方程求解即可得月份用水量；（2）根据题干所给计算公式即可求解；（3）根据所给计算公式列式计算即可．【详解】（1）解：当a=2，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为元)；设芳芳家月份用水量为，∵，，∴，则由题意，得，解得，∴芳芳家月份用水量为．故答案为：；；（2）解：元)，答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元．（3）解：户月用水量为（），∴该用户应缴纳的水费为元)，答：该用户这