教案：5.1.2 等式的性质

2/25.1.2等式的性质一、教学目标（一）学习目标1.探究等式的两条性质，能够用文字、式子准确的表述等式的两条性质.2.能运用等式的性质进行恒等变形.3.能运用等式的性质把简单的一元一次方程化成的形式.体验化归的数学思想.（二）学习重点理解等式的性质，能运用这两条性质解一元一次方程．（三）学习难点由具体实例抽象出等式的性质．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务等式的性质：（1）等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，用式子表示为如果，那么．（2）等式的性质2：等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子表示为如果，那么或．预习自测（1）下列等式变形错误的是（）A.由得 B.由得C.由得 D.由得【知识点】等式的性质.【解题过程】解：A.根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.可知A选项正确；B.根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.可知B选项正确.C.根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.可知C选项正确.D.根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.可知D选项不正确.故选择D.【思路点拨】等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.【答案】D.（2）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式.①如果，那么_______；②如果，那么________；③如果，那么________；④如果，那么________.【知识点】等式的性质．【解题过程】解：①根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式左边减去了7，所以等式右边也要减去7.②根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.等式左边除以了-3，所以等式右边除以-3.③根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式左边加了，所以等式右边加上.④根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.等式左边乘以了4，等式右边乘以4.故结果为：7、、y、8.【思路点拨】等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【答案】7、、y、8.（3）利用等式性质解方程：.【知识点】利用等式的性质解方程．【解题过程】解：两边除以—5,得，于是.【思路点拨】根据等式的性质将一元一次方程逐步转化为的形式.【答案】.（4）利用等式性质解方程：【知识点】利用等式的性质解方程．【解题过程】解：两边加5，得，化简，得：两边乘—3得：.【思路点拨】根据等式的性质将一元一次方程逐步转化为的形式.【答案】.(二)课堂设计1.知识回顾（1）用等号来表示相等关系的式子叫等式．我们可以用表示一般的等式．2.问题探究探究一●活动①回顾旧知，师问：什么是等式？学生举手抢答.师问：填空：①，②,③,④,⑤⑥⑦,⑧,⑨,⑩上述这组式子中，是等式，不是等式.学生举手抢答.师问：你能说出方程、的解吗？总结：对通过观察可以直接看出简单一元一次方程的解，但是复杂如仅仅靠观察求解是困难的，因此，我们要讨论怎么解方程.【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②探究等式的基本性质.▲师问1：观察课本图3.1-1，由它你能发现什么规律？能用你的语言叙述这个规律吗？生答：如果平衡的天平两边同时都加（或减）同样的量，天平还保持平衡.师问2：等式就像平衡的天平，你能用式子表示这个规律吗？生答：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等.师问3：你能用一些具体的数字等式来验证这条性质吗？生答：学生举手抢答.师问4：你能用式子表达这个规律吗？生答：如果，那么问题5：观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？能用你的语言叙述这个规律吗？生答：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.问题6：你能用式子表示这个规律吗？生答：如果，那么；如果（），那么.师追问：性质2中为什么相乘时没有限制，而在相除时.生答：学生讨论交流并举手回答.总结：等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果相等．如果，那么．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．如果，那么；如果（），那么．【设计意图】利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质，鼓励学生独立自主解决问题，引导学生由观察得到的感性认识，到归纳分析，能够用文字、式子准确的叙述等式的两条性质.探究二理解性质、应用性质.★▲●活动①理解新知等式的性质1：如果，那么．等式的性质2：如果，那么；如果（），那么．师问：等式的性质1与等式的性质2的区别与联系是什么？生答：性质2中仅仅乘以（或除以）同一个数，而不包括整式（含字母的），要注意与性质1的区别．运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．【设计意图】对比等式的两条性质，进一步加深对等式性质的理解.●活动②灵活应用，解决问题师问：判断下列各式的变形过程是否正确，为什么？（1）从，能得到.（2）从，能得到.（3）从=，能得到.（4）从，能得到.（5）从，能得到.生答：（1）等式两边同时减，结果仍是等式，故正确；（2）等式两边同时除以，但不确定等于0，故错；（3）等式两边同时乘以，故正确；（4）等式两边同时加，结果仍是等式，故正确；（5）等式本身隐含了，两边同时除以，故正确.总结：1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．【设计意图】会用等式的性质解决等式变形的问题，深入理解等式的基本性质.探究三利用等式的性质解简单的一元一次方程★▲●活动①例1.判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质，错的说出为什么.（1）如果,那么

（

）（2）如果,那么

（

）（3）如果,那么

（

）（4）如果,那么

（

）（5）如果,那么

（

）【知识点】等式的性质.【解题过程】解：（1）如果,那么

，根据等式的性质1，等式两边应该同时加上或减去同一个数或式子.所以，这个变形是错误的.（2）如果,那么，根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数或式子，所以，这个变形是正确的.（3）如果,那么，根据等式的性质2，利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．所以这个变形是错误的.（4）如果,那么,根据等式的性质2，等式两边同时乘以同一个不为0的数，所以，这个变形是错误的.（5）如果,那么,根据等式的性质2，等式两边同时乘以2，等式仍成立即，再根据等式的性质1，等式两边同时减去，所以，这个变形是正确的.【思路点拨】等式的性质1：如果，那么．等式的性质2：如果，那么．如果（），那么．【答案】（1）错、（2）对、（3）错、（4）错、（5）对.练习：用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质进行变形的：(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)如果，那么；(4)如果，那么.【知识点】等式的性质.【解题过程】(1)根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式左边减去了8，所以等式右边也要减去8，即是加上-8.(2)根据等式的性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式右边减去了3，所以等式左边也要减去.(3)根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.等式左边除以了-3，所以等式右边除以-3，即.(4)根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.等式左边乘以了3，等式右边乘以3.【思路点拨】根据等式的性质1：如果，那么．等式的性质2：如果，那么．如果（），那么．逐一变形判断即可.【答案】(1)-8；(2)；(3)；(4).【设计意图】让学生较为熟练地运用等式的性质进行恒等变形.●活动2例2.下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？（1）解方程：解：（2）解方程解：于是所以（3）解方程解：两边同乘以3，得两边都加上1，得化简，得两边同除以2，得【知识点】利用等式的性质解简单的一元一次方程.【解题过程】（1）错，解方程是根据等式的两个性质，将方程变形，所以不能用连等号；（2）错，最后一步是根据等式的性质2，两边同除以-9，即，于是；（3）错，两边同乘以3，应得；两边都加3，得；两边同除以2，得.本题还可以这样解答：两边都加上1，得；化简，得；两边都除以（或乘以），得.【思路点拨】使用等式的基本性质注意：（1）等式两边都要参加运算，且是同一种运算．（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母．【答案】（1）错；（2）错；（3）错.练习：如果，则．【知识点】等式的性质.【解题过程】因为，所以，所以，即.【思路点拨】根据题目的条件与结论，可以看出，结论要求的和，因此需要利用等式的性质1，在等式两边同时加上，可得：.再继续利用等式的性质1，等式两边同时加上2可得：.所以结论为5.【答案】5.【设计意图】利用等式的性质对式子进行恒等变形，培养学生观察条件、结论，分析问题解决问题的能力.●活动3例3.利用等式的性质解下列方程：（1）；（2）；（3）．【知识点】利用等式的性质解简单的一元一次方程.【解题过程】解：（1）根据等式性质1，两边同减7，得：，于是.（2）根据等式性质2，两边都除以-4，得：，于是.（3）根据等式性质1，两边都加上1，得：化简，得；再根据等式性质2，两边同除以-（即乘以-3），得，于是．【思路点拨】解方程，就是把方程变形，变为x=a（a是常数）的形式．比如：在方程x+7=26中，要去掉方程左边的7，因此两边都减去7．【答案】（1）；（2）；（3）.练习：利用等式的性质解下列方程并检验：（1）；（2）；（3）.【知识点】利用等式的性质解简单的一元一次方程.【解题过程】解：（1）两边同加上5，得，把代入方程左边=11-5=6=右边，所以是方程的解；（2）两边同除以0.3，即乘以，得，检验略；（3）解法1：两边都减去2，得；化简，得；两边同乘以-4，得；解法2：两边都乘以-4，得；两边都加上8，得；检验：将代入方程，的左边，得：，方程的左右两边相等，所以是方程的解．一般采用方法1．【思路点拨】解方程，就是把方程变形，变为（是常数）的形式．【答案】（1）；（2）；（3）.【设计意图】利用等式的性质对简单的一元一次方程进行恒等变形，让学生感知解方程，就是把方程变形，变为（是常数）的形式．体会数学化归的思想.3.课堂总结知识梳理（1）等式的性质：性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.注意：①等式两边都要参加运算，且是同一种运算.②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母．重难点归纳（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边．（2）等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．（3）利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0．（三）课后作业基础型自主突破1.下列说法不正确的是（）A.等式两边都减去同一个数或式子，结果仍相等；B.等式两边都乘以同一个数，结果仍是等式；C.等式两边都除以同一个数，结果仍是等式；D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，结果仍相等.【知识点】等式的性质.【解题过程】解：A.等式两边都减去同一个数或式子，结果仍相等，所以A选项的说法正确；B.等式两边都乘以同一个数，结果仍是等式，所以B选项的说法正确；C.等式两边乘或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以C选项的说法不正确；D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，结果仍相等，所以D选项的说法正确．由于该题选择不正确的，故选C．【思路点拨】根据等式的性质可对A、B、C进行判断；根据等量加等量和相等可对D进行判断．【答案】C．2.把方程变形为，其依据是（）A.等式的性质1 B.等式的性质2C.分式的基本性质 D.不等式的性质1【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：把方程变形为，其依据是等式的性质2，故选：B．【思路点拨】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．【答案】B．3.在下列方程的变形中，错误的是（）A.由得 B.由得C.由得D.由得【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：A.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；B.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；C.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断错误；D.根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断正确；故选：C．【思路点拨】根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断.【答案】C．4.下列判断错误的是（）A.若，则 ；B.若，则；C.若，则； D.若，则.【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：A.利用等式的基本性质2，两边都乘以c；利用等式性质1，两边都减去3，所以A成立；B.由于>0，利用等式性质2，两边都除以，所以B成立；C.利用等式的基本性质2，两边都乘以x，所以C成立；D.当=0时，等式不成立，所以不成立，故选D．【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案【答案】D．利用等式的性质解方程：（1）；（2）.【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：（1）两边同加上6，得.（2）两边同除以0.5，得．【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案【答案】(1)；(2).6.利用等式的基本性质解方程：【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：方程两边都减去2，得；整理，得.方程两边都减去x，得：；整理，得：.方程两边同时乘以，得：，即.【思路点拨】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案【答案】．能力型师生共研1.若等式可以变形为，则有（）A. B.C. D.为任意有理数【知识点】等式的性质.【解题过程】解：根据等式的两边都乘或都除以同一个不为0的整式，结果不变，可知.故选C.【思路点拨】根据等式的两边都乘或都除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案【答案】C.2.如图和图分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对，，三种物体的质量判断正确的是（）A. B. C.D.b.【知识点】等式的性质.【解题过程】解：由图可知，，即，可知，由图可知，，即，可知，∴．故选B．【思路点拨】根据等式的基本性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．分别列出等式，再进行变形，即可解决．【答案】B.探究型多维突破1.在公式，已知，，，那么=（）A.﹣1 B.11 C.5 D.25【知识点】等式的基本性质．【解题过程】解：根据题意，得：，∴，∴，∴故选C．【思路点拨】把，，，代入公式可得，利用等式的基本性质即可解得的值．【答案】C．2.下列结论中正确的是（）A.在等式的两边都除以3，可得等式；B.如果，那么；C.在等式的两边都除以0.1，可得等式；D.在等式的两边都减去，可得等式.【知识点】等式的基本性质.【解题过程】解：A.根据等式性质2，在等式的两边都除以3，可得等式；B.根据等式的对称性可得；C.根据等式的性质2，在等式的两边都除以0.1，可得等式；D.根据等式性质1，在等式的两边都减去，可得等式；综上所述，故选B．【思路点拨】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【答案】B．自助餐1.下面的说法中，正确的是（）A.若，则； B.若，则；C.若，则； D.若，则.【知识点】等式的性质.【解题过程】解：A.根据等式性质2，需条件时，该式不成立；B.隐含条件是，根据等式性质2可知该式子成立；