2025年秋季高一开学摸底考数学试题（北师大版）及答案

试题试题2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：初中全部内容+北师大版2019必修第一册第一章一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．的相反数是（）A． B．−2025 C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（

）成绩24252627282930人数▄▄33679A．平均数，众数 B．中位数，众数 C．平均数，方差 D．中位数，方差5．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（

）A．个小正方形 B．个小正方形C．个小正方形 D．个小正方形6．如图，在△ABC中，，，根据尺规作图痕迹，可知（

）A． B． C． D．7．若，，则代数式的值为（

）A．15 B．16 C．17 D．188．如图，一次函数与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（

）A．如果，，则有B．如果x可取任意有理数，那么有最小值C．若，，则的值为D．A，B，C三点在数轴上对应的数分别是，6，x，若相邻的两点之间的距离均相等，则．10．已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，点D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论正确的有（

）A．可以由绕点A逆时针旋转得到 B．C．点D到的距离为4 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是．13．若关于的一元二次不等式的解集是，那么若的解集为，则实数的取值范围是.14．如图，在△ABC中，已知点，点A在第一象限内，，将△ABC沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15．（13分）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．16．（15分）设集合，．(1)若，求A∩∁R(2)若，求实数的取值范围．17．（15分）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2026年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2026年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)当2026年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?18．（17分）如图，是的直径，点在上，为弧的中点，于．与交于点，与交于点．(1)求证：；(2)若，，求半径及的长．19．（17分）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交点为，过作直线与x轴交于点，以线段为边作正方形，抛物线经过、、三点；直线交x轴于点，再以为边在同侧作正方形，抛物线经过、、三点；依次规律，抛物线经过、、三点．由此得到一组“相似”抛物线，抛物线与的相似比为．【规律探究】(1)根据题意请直接写出以下三点坐标：________，________，________；(2)请用适当方法求出抛物线的表达式；(3)请探究抛物线表达式及抛物线与的相似比.2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷数学·答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．题号12345678答案DCDBCBAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCADAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．13．−614．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15．（13分）（1）解：把点代入，得，解得，反比例函数的解析式为， 3分把点代入，得，解得，，把，代入得，解得一次函数的解析式为； 8分（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，∴关于x的不等式的解集为xx<−8或0<x<2．16．（15分）（1）当a=2时，A={x∣1<x<6}， 1分由x2−2x−3>0得x>3或x<−1，所以B={x∣x>3或x<−1}，则∁RB=x∣−1≤x≤3所以A∩∁RB（2）由A∪B=B得A⊆B， 8分①若A=∅，则2a−3≥a+4，解得a≥7； 10分②若A≠∅，则2a−3<a+42a−3≥3或2a−3<a+4a+4≤−1，解得a≤−5或3≤a<7，综上，实数a的取值范围是−∞,−5∪17．（15分）（1）当时，；当时，，所以 5分（2）当时，，当时，万元； 9分当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 14分因为，故最大利润是8250万元.所以当2026年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 15分18．（17分）（1）证明：是的直径，，，为弧的中点，，，，，，，又，，． 5分（2）解：如图，过点作于点，由（1）得，，在中，，设，则，，解得：，，，半径， 11分在中，，，，，，，在和中，，，，，，设，则，在中，，，解得：，，综上所述，，． 17分19．（17分）（1）直线与轴的交点，进而可得，进而可求得，，，，，，； 4分（2）抛物线经过点、和，设其表达式为：，所以，即，解得，因此抛物线的表达式为：； 10分（3）由（1）易得，，，抛物线，代入的坐标，可求得，所以抛物线，易得抛物线，代入，可得，所以抛物线，所以抛物线与的相似比. 17分2025年秋季高一开学摸底考试模拟卷数学•全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．的相反数是（）A． B．−2025 C． D．1．D【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．【详解】，则的相反数是，故选：D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．C【分析】根据交集的概念可求出结果.【详解】因为，，所以.故选：C.3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．D【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件；若，显然，所以“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.4．某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（

）成绩24252627282930人数▄▄33679A．平均数，众数 B．中位数，众数 C．平均数，方差 D．中位数，方差4．B【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得．【详解】∵，∴被遮盖的两个数据之和为，∴这组数据中，30出现的次数最多，∴这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响，∵将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，，∴这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响，故选：B．5．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（

）A．个小正方形 B．个小正方形C．个小正方形 D．个小正方形5．C【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可．【详解】由题意知，拼第1个正方形需个小正方形，拼第2个正方形需个小正方形，拼第3个正方形需个小正方形，……∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，∴第个正方形需个小正方形，∴，即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形．故选：C．6．如图，在△ABC中，，，根据尺规作图痕迹，可知（

）A． B． C． D．6．B【分析】由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．先由线段垂直平分线知，再用三角形外角性质求出，再用三角形内角和求出，然后用角平分线求出，最后根据三角形的内角和求出．本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．，，，∵△ABC中，，，，，．故选：B7．若，，则代数式的值为（

）A．15 B．16 C．17 D．187．A【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据，，得，结合，代入计算即可．【详解】∵，，∴，∵，∴．故选：A．8．如图，一次函数与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（

）A． B． C． D．8．A【分析】根据一次函数的解析式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标．【详解】如图，过点C作轴，垂足为N．∵一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，，即，，∵四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（

）A．如果，，则有B．如果x可取任意有理数，那么x−2025C．若，，则的值为D．A，B，C三点在数轴上对应的数分别是，6，x，若相邻的两点之间的距离均相等，则．9．BC【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值的性质，绝对值的化简，数轴上两点间距离的表示方法．任举一反例即可判断A选项；根据，则x−2025≥−2025，即可判断B选项；当，时，则x，y，z中必有一负两正，，化简绝对值即可判断C选项；假设当时，根据题意有：，则，即可判断D选项．【详解】A.，，不能确定一定大于，故A选项不符合题意；∵，则x−2025≥−2025，故有最小值当，时，则x，y，z中必有一负两正，又，，，所以；故C选项符合题意；当，根据题意有：，则，故D选项不符合题意．故选：BC．10．已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10.AD【分析】由不等式的性质可判断ABD，作差可判断C.【详解】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：，因为，所以，不确定，所以符号不确定，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以，故D正确.故选：AD.11．如图，点D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论正确的有（

）A．可以由绕点A逆时针旋转得到 B．C．点D到的距离为4 D．11．AD【分析】根据旋转的性质得，，由△ABC为等边三角形得到，，则把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对②④进行判断；由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．【详解】线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，∴，，∵△ABC为等边三角形，，，把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合，可以由绕点逆时针旋转得到，所以A正确；，，在中，，，为直角三角形，，为等边三角形，，，所以B错误；，，点到的距离为3，所以C错误；，所以D正确．故选AD【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是．12．【答案】【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果，所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：，故答案为：．13．若关于的一元二次不等式的解集是，那么若的解集为，则实数的取值范围是.13．【答案】−6【分析】由给定的解集求出，再利用已知条件列式求出的范围.【详解】由一元二次不等式的解集是，得，且是方程的二根，即，因此，不等式，即的解集为，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：−6，14．如图，在△ABC中，已知点，点A在第一象限内，，将△ABC沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为．14．【答案】【分析】过点作轴于点，连接交于点，首先根据勾股定理解得的长度，结合折叠的性质可得，，，，易得，在和中，由勾股定理解得，的长度；再证明，为等腰三角形，结合相似三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质解得，的值，即可获得答案．【详解】如下图，过点作轴于点，连接交于点，∵，∴，∴，由折叠的性质可得，，，，∴，∴在中，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∵，，轴，∴AC'=AB，∵，∴，解得，又∵，∴点的坐标为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15．（13分）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．15．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：把点代入，得，解得，反比例函数的解析式为，把点代入，得，解得，，把，代入得，解得一次函数的解析式为；（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，∴关于x的不等式的解集为xx<−8或16．（15分）设集合，．(1)若，求A∩∁R(2)若，求实数的取值范围．16．(1){x∣1<x≤3}(2)−【分析】（1）将a=2代入，求出集合A，解不等式化简集合B，再根据补集和交集的定义即可求出；（2）根据A∪B=B，可得A⊆B，对集合A是否为空集分类讨论，得到关于a的不等式组，解出即可.【详解】（1）当a=2时，A={x∣1<x<6}，由x2−2x−3>0得x>3或x<−1，所以B={x∣x>3或则∁R所以A∩∁（2）由A∪B=B得A⊆B,①若A=∅，则2a−3≥a+4，解得a≥7;②若A≠∅，则2a−3<a+42a−3≥3或2a−3<a+4a+4≤−1，解得a≤−5或综上，实数a的取值范围是−∞17．（15分）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2026年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2026年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)当2026年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?17．(1)(2)当2026年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.【详解】（1）当时，；当时，，所以（2）当时，，当时，万元；当时，，当且仅当，即时等号成立，万元.因为，故最大利润是8250万元.所以当2026年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.18．（17分）如图，是的直径，点在上，为弧的中点，于．与交于点，与交于点