2025-2026学年数学九年级下册湘教版期末测试卷（含答案）

期末测试卷数学九年级下册XJ版时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.下列事件是随机事件的是()A．任意画一个三角形，其内角和为360°B．菱形的对角线互相垂直C．互为相反数的两个数之和为0D．一个不透明口袋里有除颜色外其余均相同的10个红球和1个白球，从中摸出1个白球2．如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是()(第2题)3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则抛物线y＝x2－2x＋c的顶点所在象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．一个不透明盒子里装有仅颜色不同的10张红色和若干张蓝色卡片，随机从盒子里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.8附近，则估计盒子中蓝色卡片有()A．50张 B．40张 C．36张 D．30张5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为()A．13 B．14 C．15 D．166．如图，⊙O的半径为5，AB和BC为弦，若∠ABC＝30°，则eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为()A．5 B.eq\f(5,6)π C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,3)π(第6题)(第7题)(第9题)7．如图是一次函数y＝abx＋c的图象，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是()8．已知关于x的二次函数y＝ax2－4ax＋3a2－6，当x<0时，y随x的增大而减小，且当－1≤x≤4时，y有最大值2，则a的值为()A.eq\f(8,3) B．1 C．－1 D．－eq\f(8,3)9.如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，点M是第三象限内圆上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为()A．4 B．5 C．6eq\r(,3) D．2(第10题)(第11题)10．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后建立平面直角坐标系(如图)，并标出相关数据(单位：m)．某学习小组探究之后得出如下结论：①水面宽度为30m；②抛物线的表达式为y＝eq\f(1,25)x2－5；③最大水深为3.2m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的eq\f(1,3).其中正确结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于________投影.12．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，且该图象经过点A(－1，0)，对称轴是直线x＝1，则当y>0时，x的取值范围是________.(第12题)13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，－3)，半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为__________.14．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1，2，3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐一辆车的概率为________.15．已知圆锥底面圆的直径为18cm，母线长为15cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为________°.16．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，eq\o(AB,\s\up8(︵))上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________.(第16题)(第17题)(第18题)17．根据如图所示的三视图，计算出该几何体的表面积是________.18．如图，已知AD为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且∠CED＝30°，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B，连接AC，若BC＝eq\r(,3)，则弦AC的长为________.三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)石拱桥(如图①)是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，如图②是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为eq\o(AB,\s\up8(︵))，桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝20m，设eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D，拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝4m．求这座石拱桥主桥拱的半径.20．(6分)已知把抛物线y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋3先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.21．(8分)秦腔，别称“梆子腔”，是中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是华夏民族文化的瑰宝，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷，刘爷爷两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，有4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别是这四部曲目的剧照，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)李爷爷从中随机抽取1张，卡片正面是“D.龙凤呈祥”的概率是__________；(2)若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取1张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两人中有一人抽中“A.周仁回府”这个曲目的概率.22．(8分)如图①是瓦片做成的窗花，可以从中分离出一朵“花”的图案，如图②，它是由八片相同的瓦片组成的，其中间四片“对扣”，外围截面恰好抽象成一个圆，如图③，点A，B，C，D表示瓦片的交接点，连接AB，BC，CD，DA.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)若AB＝20cm，求图③中阴影部分的面积．(结果保留π)23.(9分)某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元(不含进货支出)，经过若干年销售得知，年销售量y(万件)是销售单价x(元)的一次函数，并得到如下部分数据：销售单价x/元12141618年销售量y/万件7654(1)求出y关于x的函数表达式．(2)写出该公司销售这种产品的年利润w(万元)关于销售单价x(元)的函数表达式．当销售单价x为何值时，年利润最大？并求出最大年利润.24．(9分)光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全、可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图①，她据此作出如图②所示的示意图，其中MN为地面，AB，CD为相邻的太阳能光伏板横截面，测得AB＝CD＝1m，B到地面的距离BE＝0.3m，A到地面的距离AF＝0.8m，BD＝1.2m，此时垂直立于地面的1m的杆PQ的影长RQ为0.65m．(参考数据：tan33°≈0.65，eq\r(,3)≈1.732)(1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高；(2)通过计算确定此时太阳能光伏板AB是否遮挡了CD.25．(10分)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.(1)求证：PO∥BC；(2)求证：PB是⊙O的切线；(3)若cos∠PAB＝eq\f(eq\r(10),10)，BC＝1，求PO的长.26．(10分)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－5)，对称轴为直线l.(1)求抛物线的函数表达式．(2)在直线l上是否存在一点N，使得△ACN的周长最短．若存在，求出点N的坐标及△ACN的周长；若不存在，请说明理由．(3)如图②，若点P在以点B为圆心，2为半径的⊙B上，⊙B与x轴交于D，E两点(点D在点E的左侧)，连接AP，以AP为边在AP的下方作等腰直角三角形APQ，且∠PAQ＝90°，连接QE，求QE长度的取值范围.

答案一、1.D2.C3.A4.B5.B6.D7.A8.B9．A10.A二、11.平行12.－1<x<313.2或414.eq\f(1,3)15.21616.eq\r(2)－117.36π18.eq\r(3)三、19.解：连接OA.∵OC⊥AB，AB＝20m，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝10m.设OA＝OC＝xm，则OD＝OC－CD＝(x－4)m.在Rt△ADO中，由勾股定理，得x2＝102＋(x－4)2，解得x＝14.5，∴这座石拱桥主桥拱的半径为14.5m.20．解：(1)∵把抛物线y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋3先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1－2)2＋3－4的图象，即y＝－eq\f(1,2)(x－1)2－1的图象，∴a＝－eq\f(1,2)，h＝1，k＝－1.(2)∵二次函数为y＝－eq\f(1,2)(x－1)2－1，∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．21．解：(1)eq\f(1,4)(2)列表如下：李爷爷刘爷爷ABCDA(B，A)(C，A)(D，A)B(A，B)(C，B)(D，B)C(A，C)(B，C)(D，C)D(A，D)(B，D)(C，D)由表可得，共有12种等可能的结果，其中两人中有一人抽中“A.周仁回府”这个曲目的结果有6种，所以两人中有一人抽中“A.周仁回府”这个曲目的概率为eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).22．解：(1)四边形ABCD是正方形．理由如下：如图，连接OA，OB，OC，OD，则OA＝OB＝OC＝OD.由题意可知，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝eq\f(360°,4)＝90°，∴四边形ABCD是菱形，∠OAB＝∠OAD＝45°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形．(2)在Rt△AOB中，OA＝OB，AB＝20cm，∴OA＝OB＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×20＝10eq\r(2)(cm)，∴易得S阴影部分＝(S圆－S正方形ABCD)×2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π×（10\r(2)）2－20×20))×2＝(400π－800)cm2.∴阴影部分的面积为(400π－800)cm2.23．解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16k＋b＝5，,18k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝13，))∴y关于x的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋13.(2)w＝(－eq\f(1,2)x＋13)(x－10)－10＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋22.∵－eq\f(1,2)<0，∴当x＝18时，年利润最大，最大年利润为22万元．24．解：(1)∵tan∠RPQ＝eq\f(RQ,PQ)＝eq\f(0.65,1)＝0.65，tan33°≈0.65，∴∠RPQ≈33°，易得sin∠ABG＝eq\f(AG,AB)＝eq\f(0.8－0.3,1)＝0.5，∵sin30°＝0.5，∴∠ABG＝30°，∴∠RPQ≠∠ABG，易得若AB垂直于太阳光线，则∠RPQ＝∠ABG，∴此时AB与太阳光线不垂直，∴此时太阳能利用率不是最高．(2)过点A作AH∥PR交BD所在直线于点H，易得eq\f(HG,AG)＝eq\f(RQ,PQ)，即eq\f(HG,0.8－0.3)＝eq\f(0.65,1)，解得HG＝0.325m，∵∠ABG＝30°，AG＝0.8－0.3＝0.5(m)，tan∠ABG＝eq\f(AG,BG)，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(0.5,BG)，解得BG＝eq\f(\r(3),2)≈0.866m，∴BH＝HG＋BG≈0.325＋0.866＝1.191(m)．∵BD＝1.2m，1.2>1.191，∴此时太阳能光伏板AB没有遮挡CD.25．(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.又∵AB⊥PO，∴PO∥BC.(2)证明：连接OB.∵PO∥BC，∴∠POB＝∠OBC，∠POA＝∠C，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠BOP，在△AOP与△BOP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠AOP＝∠BOP，,PO＝PO，))∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴OB⊥PB，∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(3)解：∵∠OAP＝90°，∠ABC＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cosC＝cos∠PAB＝eq\f(\r(10),10)，在Rt△ABC中，∵cosC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,AC)＝eq\f(\r(10),10)，∴AC＝eq\r(10)，∴OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(10),2).∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠POA＝∠C，∴△PAO∽△ABC，∴eq\f(PO,AC)＝eq\f(AO,BC)，∴eq\f(PO,\r(10))＝eq\f(eq\f(\r(10),2),1)，∴PO＝5.26．解：(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－5，,－1＋b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝－5，))∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋6x－5.