初中数学解题困难分析及教学策略研究

中文题目初中数学解题困难分析及教学策略研究初中数学解题困难分析及教学策略研究【摘要】随着社会的发展，数学重要性体现了出来，初中也是学生主要的学习阶段，为以后打基础。本文将研究初中学生在数学解题困难的分析，产生困难的原因及教学策略的研究。让今后的教师更加有针对性的教学，希望本研究能够对学生发展及教学有帮助。本文通过问卷调查，进行分析得出初中生的解题困难的原因，再根据原因研究教学策略分析如何有效提高学生的解题能力？本文研究该问题，分为三个问题：①初中学生解题能力如何？②初中学生解题困难的具体原因是什么？③解决初中生解数学题困难的有效教学策略是什么？【关键词】初中数学解题困难教学策略DifficultyAnalysisandTeachingStrategiesofMathematicsProblemSolvinginJuniorMiddleSchool【Abstract】Withthedevelopmentofsociety,theimportanceofmathematicsisreflected.Juniorhighschoolisalsothemainlearningstageforstudents,layingthefoundationforthefuture.Thispaperwillstudythejuniorhighschoolstudentsinmathematicsproblem-solvingdifficultiesanalysis,thecausesofdifficultiesandteachingstrategies.Letfutureteachersmoretargetedteaching,Ihopethisstudycanhelpstudents'developmentandteaching.Throughthequestionnairesurvey,thispaperanalysesthereasonswhyjuniorhighschoolstudentsaredifficulttosolveproblems,andthenstudiestheteachingstrategiesaccordingtothereasonstoanalyzehowtoeffectivelyimprovethestudents'abilitytosolveproblems.Thispaperstudiesthisproblemanddividesitintothreequestions:(1)Whataretheabilitiesofjuniorhighschoolstudents?(2)Whatarethespecificreasonsforthedifficultyofsolvingproblemsforjuniorhighschoolstudents?(3)Whataretheeffectiveteachingstrategiestoimprovejuniorhighschoolstudents'abilitytosolvemathematicalproblems?【KeyWords】JuniorhighschoolmathematicsDifficultyinsolvingproblemsTeachingstrategies目录TOC\h\z\t"论文小节标题,3,论文节标题,2,论文章标题,1"1研究的意义 12相关文献综述 12.1有关数学问题因素的研究 12.2关于解数学题的策略研究 23初中数学解题困难的调查分析 23.1问卷分析 23.1.1学生对数学课兴趣的分析 23.1.2学生学习习惯的分析 53.1.3学生对数学解题方式的分析 53.1.4学生对待数学困难分析 73.2错误原因 93.2.1概念表达不清 93.2.2审题错误 93.2.3运算错误 113.2.4逻辑错误 133.2.6思维定势 143.2.7方法策略错误 143.2.8习惯性错误 143.2.9心理性错误 164解题教学策略 164.1元认知能力训练策略 164.2阅读能力训练策略 174.2.1引导学生主动阅读 174.2.2指导学生阅读 174.2.3积累阅读经验 184.2.4学以致用 184.3运算能力训练策略 194.3.1培养良好的运算习惯 194.3.2注重基本训练 195解题教学设计案例 196参考文献 24附录1 25 江西师范大学2019届学士学位毕业论文 董少芬—page26—1研究的意义众所周知，数学在我们生活中的应用很大，数学也作为三大主科之一，对学生来说尤其重要。解题是学生学习的一部分通过学习可以加深对定理的记忆和理解，可以加强学生学以致用，用到实际生活中来。而对于数学错误不仅仅是有利于教师教学，对于学生，同样适用，因为学生是出错的主体，如果让学生知道自己错误在哪个领域，就更有利于去改正，这样对于因数学题的错误而丧失数学兴趣的学生也因此会减少，也对于因数学题的错误而产生的挫败感和畏惧感也会变成了成就感，因此可以增加学生的数学兴趣，树立正确的错误观，承认错误，勇于面对错误，加以反思改正错误，对学生数学的学习有积极的作用，教师要解决的问题之一。2相关文献综述2.1有关数学问题因素的研究司擎天在初中数学解题中常见错误案例分析中表明在数学解题中，学生表现出的错误是多种多样的，概括起来主要有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误和策略性错误等[1]。张舒(2016)对学生的数学错误的具体表现，对错误类型进行了细致的分类，根据错误成因归纳为六个大类：概念性错误、审题错误、运算错误、逻揖错误、方法策略错误、习惯性错误，然后对各类型错误进行了编码，并对344份测试卷中的错误进行分析编码，最后提取数据，统计分析数据。结果显示，民族地区九年级学生解题错误的主要表现为运算错误、审题错误、习惯性错误，次要表现为概念错误、逻辑错误、方法策略错误[2]。Anand（1987）等研究表明，学生解答应用题产生错误的原因主要来自对问题结构的错误表征，而非是计算方面的因素[3]。戴再平（1996）先生从解题结果的角度把解题错误分为：知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误[4]。Mayer（1987）的研究表明，在语句表征中，关系句的表征特别困难，他采用由解题者复述题目内容的方式，发现解题者在复述时，往往会遗漏关系句，或错误地表述关系特征，有时还会出现将关系句复述为赋值句[5]。何小亚在《数学应用题教学的实践与思考》一文中，表示影响成功解决数学应用题的主要因素有：情感因素.动机、兴趣、压力、争胜欲望这些情感因素影响着学生的成功.因为,如果学生没有兴趣或没有竞争的压力,没有对成功的渴望,学生的潜在能力就发挥不出来.此外,学生的自信心与不畏困难、克服困难的坚强毅力也影响着学生的成功[6]。2.2关于解数学题的策略研究孙艳君在浅谈初中数学的教学策略中，表示教学中，培养学生独立思考，主动实践、发现问题、解决问题的能力是教师教学追求的目标。所以在讲解习题之前，教师会给学生足够的思考时间，也会让他们分组讨论或者让学生来讲解，这样会慢慢培养他们的数学思维[7]。林燕群（2018）表示初中数学解题教学，重在教会学生解题方法，帮助学生养成良好的解题习惯。研究通过波利亚的“怎样解题表”的例题教学及案例分析，展示了解题的四个阶段:弄清问题、制定计划、实施计划、回顾。教师教数学，重在教方法;学生学数学，重在学方法[8]。Sweller（1989）主张样例教学，用解答好的例题来帮助学生形成图式，即让学生对照样例来解答与其相类似的问题，这样做可以提高学生的解题能力[9]。严梅福（1996）等通过题材个体化和问题重述两策略的效果研究，结果表明：水平高的学生，运用不同策略没有差异；中等水平学生运用双策略、水平低的学生运用双策略以及题材个体化策略均产生积极效果；题材个体化策略对于解决不熟悉题材的应用题将产生积极的效果，运用以上两策略解决问题情景与解题操作相矛盾的问题没有帮助[10]。张春华提出波利亚的“怎样解题”表的提出向我们展示了在数学解题过程中，思维训练的轨迹，它的实质是一张试图诱发灵感的智力活动表．将其应用于初中应用题解题教学当中，可以有效的提高学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力，有利于提高课堂效率[11]。3初中数学解题困难的调查分析3.1问卷分析3.1.1学生对数学课兴趣的分析图1根据问卷调查学生对数学的感觉有趣占29.17%，乏味占26.04%，一般为44.79%。图2数学成绩优秀为21.88%，中等偏上为21.88%，中等为29.17%，中等偏下为27.08%图3学生在数学时间上的分配为：几乎不看为13.54%，很少看为34.38%，时间适中38.54%，很多为13.54%图4学生上课的状态想睡觉的有10.42%，只听课为10.42%，偶尔做笔记为53.13%，认真完整的做笔记为26.04%。图5学生对难题的态度为：喜欢为32.29%，没感觉为34.38%，讨厌为33.33%。图6学生对做数学难题的态度为：兴奋为19.79%，不紧张为48.96%，紧张为31.25%。根据问卷调查了解到：数学成绩优秀占21.88%，成绩中等偏上占21.88%，成绩中等占29.17%，中等偏下成绩占27.08%，学生对数学的感觉有趣占29.17%，乏味占26.04%，一般占44.79%，学生在数学时间上的分配为：几乎不看占13.54%，很少看的学生占34.38%，时间适中38.54%，很多占13.54%。学生对难题的态度为：喜欢占32.29%，没感觉占34.38%，讨厌占33.33%，做题的心态为：兴奋占19.79%，不紧张占48.96%，紧张占31.25%。心态会影响做题情况可能会增加错误率。何小亚在《数学应用题教学的实践与思考》一文中，表明影响成功解决数学应用题的主要因素有：1.情感因素，动机，兴趣，压力，争强欲望这些情感因素会影响学生的成功解题［6］。学生在做数学难题方面还有一部分同学存在紧张，讨厌等情感。学生对数学感兴趣的比重为29.17%，觉得乏味占有26.04%，占的比重相当大，兴趣是最好的老师，使学生对一门课感兴趣是很重要的。学生上课的状态也特别重要，根据问卷分析学生上数学课想睡觉占有10.42%，只听课的学生占有10.42%，偶尔做笔记的学生占有53.13%，认真完整的做笔记的学生占有26.04%，发现想睡觉的学生占有10.42%，只听课不做笔记的同学占有10.42%，对于上课不认真听课对后期做题有很大影响，知识点了解的不够透彻，无法灵活运用，解题步骤不规范等问题。上课不做笔记容易忘记，好记性不如烂笔头。3.1.2学生学习习惯的分析图7学生对与教师布置的作业完成情况：都能按时完成占53.13%，做了部分的同学占有38.54%，少部分是不做的。根据问卷分析大半的同学都能按时完成，但也需要提高。一个好的学习习惯对学生的学习是很重要的。3.1.3学生对数学解题方式的分析图8你是否在解题时，会注意首先理解题意？：很注意占有33.33%，较注意占有44.79%,偶尔注意18.75%，从不注意3.13%。图9我不知道怎样去寻找题中的数量关系：完全符合占有17.71%，比较符合占有41.67%，比较不符合占有26.04%，完全不符合占有14.58%。图10我在解题时，会努力寻找题中的数量关系：完全符合占有33.33%，比较符合占有45.83%，比较不符合占有14.58%，完全不符合占有6.25%。图11我在解题时，会把复杂的题目分成几部分去解：完全符合占有25%，比较符合占有33.33%，比较不符合占有31.25%，完全不符合占有10.42%。图12在解题后，你是否会注意检查自己的答案是否正确：很注意占有32.29%，较注意占有23.96%，偶尔注意占有36.46%，从不注意占有7.29%。3.1.4学生对待数学困难分析图13对待不会做的题，你都是如何处理的？:尽力独自处理占有26.04%，与同学交流解决占有41.67%，等待老师讲解占有16.67%，放任不管占有15.63%图14对于数学错题你是如何处理的？：分析原因并且有专门的错题本占有25%，只抄错题有专门的错题本占有15.63%，直接在题目旁订正占有51.04%，不管占有8.33%。图15你做数学题出错的原因一般是什么呢？知识点没掌握占有42.71%，审题不清楚占有33.33%，计算错误占有15.63%，其他占有8.33%。图16你之前做错的题目再做能做对吗？:都能做对占6.25%，大部分都能做对了占56.25%，偶尔做对了占31.25%，都做错了占6.25%。图17最后一道布置了填空题，根据学生自己的情况填写认为阻碍自身数学提高的因素是什么？根据问卷分析，学生的积极性、主动性有待提高，其中遇到不会的题选择放任不管的占15.63%。数学错题的处理，分析原因并且有专门的错题本的同学占25%，有8.33%的同学放任不管，选择在题目旁边订正的同学占51.04%，这样容易导致丢失，比如试卷。在问卷题做数学题出错的原因中，认为知识点没掌握占42.71%，审题不清楚占33.33%，计算错误占15.63%，说明大部分同学基础知识不牢固。通过查阅文献来理清思路，对于初中生解题困难进行设计问卷调查，主要分析学生对数学的态度，学生解题困难的原因分析，如何提高数学解题能力。通过查阅相关文献作为基础，再进行问卷分析，希望能解决学生解题困难问题。3.2错误原因3.2.1概念表达不清由于概念相似或者概念记忆不准确、遗忘，导致学生在解题不能使用数学语言正确、准确、简明的表达出概念，存在书写不正确，表达不清楚的情况。3.2.2审题错误审题错误中有忽视单位、忽视范围、忽视条件、不能分辨近似题题等等。以下我将对部分审题错误进行分析第一，梳理信息时出现错误在审题过程中，要能提取有效信息，和各条件之间的联系，理解已知条件和所求条件的关系。如若不能做到，学生很容易出现解题错误。示例１错误分析：此题目中，学生先求出ａ的值，再把ａ代入到中得到，但这是ｍ的平方根不是ｍ的值。第二，曲解题意学生对题目要求很多时候会混淆，无法从文字中理解数学含义。示例２错误分析：示例２中学生没有根据题目要去证明结论，只给出最后答案。应该是，理由如下：第三，答非所问示例３错误分析：示例３中要求的是m的值，学生在做题中求出了a的值，再把a代入求m的平方根，不是m的值，此题学生答非所问。示例４错误分析：示例４中（２）中，题目所求的是用表示盒子的容积，学生所求的是的值。3.2.3运算错误第一，常规计算错误常规计算错误，是指学生在进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算时出现的符号错误、计算错误及运算法则上的错误。示例5.1错误分析：示例５，第一个问学生在计算中出现了常规计算错误，把２×７的的数写成示例5.2错误分析：示例５中第二问的解答，在平方这一步骤出现错误，左边平方，右边不变使得这道题解题错误。第二，估算错误估算是重要的运算技能，也是运算能力的特征之一。学生在进行估算时需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，掌握一定的方法，积累一定的经验，避免出现过大的误差，从而出现错误。示例６第三，公式、法则、定理掌握不牢固初中阶段数学知识包含有公式及定理。公式定理记忆不清、运算法则掌握不牢固是导致初中生运算错误的很重要的原因。公式、定理记忆不清、提错公因式、整式运算出错、分式运算出错，学生在分式运算中，在分式通分、约分的过程中出现的错误。第四，过渡跳步引发的错误在做题中，有些学生为了解题速度会跳过运算步骤，殊不知这样会导致解题出错。示例7错误分析：示例7中的（２），学生跳过了开绝对值这一步，导致出现错误，在解题中不能盲目的去省略步骤，在必要的步骤和易错步骤中不应该去跳步，省略步骤不仅容易出错有时省略必要部分会被扣分。3.2.4逻辑错误第一，缺少分类讨论，逻辑不严密分类思想与现实的生产实践是密切相关的，是解决问题的一种逻辑方法。在解题的过程中，根据分类对象及性质对复杂问题进行正确、严谨的分类，往往可使复杂问题变得清晰、简单、明确。有关分类讨论的数学问题常具有明显的逻辑性、综合性、探索性，解决这样的问题能够培养学生的思维条理性、缜密性、概括性。示例8错误分析：示例8中，学生在理解问题时不严谨，题目中阴影部分面积有重复算的部分，因此要减掉重复部分，题目才是正确的。3.2.6思维定势思维定势是数学学习中处理问题的一种思维方式。也称为习惯性思维。在解决数学问题时它可使学生省去许多摸索、试探的步骤，缩短思考时间，提高解题效率。但也会使我们产生认知上的固定倾向，养成一种呆板、机械的解题习惯。3.2.7方法策略错误波利亚说；＂从理解题目到构思一个解决方案也许是漫长而曲折的过程。事实上，解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路＂。拟定解题方案需要学生在仔细审题理解题目的基础上，根据己知题目信息灵活选择合理的运算方法、解题策略。方法、策略选择的不适用、不合理，会使学生在解题时思路受阻，继而出现结论不合题意、运算错误的情况。方法策略错误主要表现有：第一，选用公式不合理，数学知识中，有些公式结构上存在一定的相似性，在单独或组合应用时容易出现混。第二，选择的方法太繁，解法不合理。中学数学题目中常有一题多解的情况，而解题的方法不同，那么解题的难易程度及花费的时间长度也不一样。3.2.8习惯性错误习惯性错误是指学生没有养成良好的解题习惯，导致在答题过程中出现不必要的错误。不良习惯是中学生解题过程中出现错误的原因之一，如答题不完整、书写不规范、步骤抄错、没有检验等。第一，答题不完整学生理解题目要求及条件，只将问题的主要部分正确解出，缺少部分解答，或者答对的部分存在小错误，出现＂会而不全＂的情况，结果不能获得全部分数。示例9解题不仔细学生在解题过程中运算不仔细、书写错误、缺少监控而导致的不必要的错误。示例10错误分析：在示例10中，学生在开立方后没有加负号，结果又是书写负号的结果。示例11错误分析：在示例11中，学生在开方这一步出现错误，开方后应该等于±6。这一步出错后面的结果也就都错了。学生缺少监控，解题后应当回顾验算减少错误3.2.9心理性错误心理性错误是心理原因而产生的错误．潜在假设，以及看错题、抄错题、丢三落四、慌乱急躁、紧张焦虑等．应当学生对数学感兴趣时，会使他们主动去学习，教学效果也会更好，同时会积极思考，教师可引导学生自主快乐的学习，从而达到事半功倍的效果。4解题教学策略解题策略就是解决数学问题的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针。它以其全局性的指导意义而区别于具体的解题技巧，它是解题思想转化为解题操作的桥梁，完全可以用来求解具体问题。良好的解题策略可以优化解题过程，缩短解题长度，节省搜索时间，减少失败次数［12］。4.1认知能力训练策略在解题过程中，应该如何入手，做出基本计划和安排，头脑中调动已有的知识对各种信息做出分类，组织信息，得出解题策略，明确的表达出自己的解题步骤和思路。波利亚在著作《如何解题》当中详细讲述了解题的路线，波利亚提出的数学解题思维过程的四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。又指出这四个阶段可用八个字记忆概括：理解、转换、实施、反思。弄清问题：未知数是什么？己知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？拟定计划：能联想起有关的定理或公式吗？可能用的上吗？再看看未知数，试想出一个具有相关未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关而且已经解决的问题吗？你能不能利用它？能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。先解决一个特例试试，这个问题的一般形式是什么？你能解决问题的一部分吗？如果你不能解决这个题，可先解一个有关的问题，你能否想出一个较容易下手的、较一般的、特殊的、类似问题吗？你用了全部条件吗？是否考虑了包含在问题内的所有必要的概念？实现计划：把你想好的解题过程具体的用术语、符号、图形、式子表述出来。修正解题方向及原来拟定的不恰当方案。解题要求是严密具有逻辑性。检验回顾：你能拟定其他解题方案吗？你能利用它吗？你能用它的结果吗？你能用它的方法吗[13]？其中就有弄清问题，拟定计划这两个阶段。示例12如图上，第一步，弄清问题：分清问题明确目标。求m的值，那m是什么？含a的式子与m有怎样的关系？首先，由题目可知含a的两个式子是m的平方根，由平方根的性质可知，两个数互为相反数。第二步，拟定计划：题目中含a的式子是m的平方根，求出式子在平方可得出m的值。由两个平方根互为相反数，可得(5a+1)+(a-19)=0,算出再把a代入到其中一个式子中，再平方得到m.4.2审题能力训练策略审题能力对数学解题来说很重要，通过问卷调查还是有部分同学对审题题目方面的能力有待提高，增强这部分的能力，让学生主动去学习如何获取有效信息，需要不断地训练学习。4.2.1引导学生审题引导学生主动审题，获取有效信息，让学生对此感兴趣，在学习感到乐趣。教师在上课前布置预习和课后温习任务，让学生养成审题习惯，上课时教师可以诱发学生的审题兴趣，比如，为学生导读，阅读前创设情境，采用分组抢答，分组竞赛等手段来提高学生的审题兴趣，教师应多加鼓励学生，及时表扬表现优秀的学生。4.2.2指导学生审题学生在数学审题时，要有自己的审题方式，把题目材料进行加工，进一步探索获取知识，把阅读直接得到的结论，变成根据材料的内容进行挖掘得到数学语言中隐含的重要信息，把吸收式阅读变成探究式阅读。在审题中要理解定理中的每个字，及他们之间的联系。如数学中有且只有这些文字的概念要让学生理解，数学中要不断的推敲得到阅读精确度。图13题目分析：根据上图，来提取有效信息，实数a在数轴上对应的位置如图所示，可以看出给出的a是2＜a＜3，求的是化简.该生在做题时，没有获取到重要信息，此题中的化简就是去绝对值，在进行简单的合并。去绝对值先判断绝对值里面的数是正数还是负数，绝对值里面的数是正数则是本身，绝对值里面的数是负数开出来时它的相反数。由2<a<3,则a-<0,-a<0.=-a+a-=4.2.3积累审题经验学习应是一种自觉的行为，让学生阅读教材后，也应延伸到课外阅读，并且根据因材施教原则，教师应考虑学生的水平来布置审题要求，引导学生审题和思考，培养学生的阅读习惯。做笔记是积累经验和提高的一个重要的途径，在审题中记录疑难点，发现自己的不足以便有针对性的突破。记笔记也是一个加深理解的过程，审题中出现的思想方法以及感触记录下来不断的积累，由“薄”变“厚”的一个过程。再不断的提炼整理，概括知识联系图，再由“厚”变“薄”。4.2.4学以致用审题不仅要求学生会读数学知识，还要会读数学思想及方法。把新学的知识运用到新的情境中去运用这才是我们最终的目的。在学完一个新的知识要及时运用，根据例题的讲解举一反三，再进一步探索，锤炼技能。4.3运算能力训练策略4.3.1培养良好的运算习惯学生在计算中常常会出错，甚至在计算第一步就错了，学生在计算中不细心，没有耐心，懒得动笔计算等方面的问题。因此要培养学生良好的运算习惯尤为重要。首先，让学生养成动笔计算的习惯，并且要求学生改掉潦草书写习惯，鼓励书写工整的学生。书写工整根据步骤一步一步书写减少错误，还有利于检查。其次，培养学生胆大心细的习惯，不用过于紧张每个步骤都重复检查几遍，反而浪费时间。计算中不仅要求学生有良好的数学素养，而且要求学生自信，耐心，磨炼坚韧的意志。保持信心，养成良好的书写习惯是提高运算能力的其中一步。4.3.2注重基本训练学生升学到了初中，学习任务加重运算能力训练的时间也减少了。因此训练时更加要求质量。教师在讲解运算题后应积极引导学生动手，动脑去验证运算法则。让学生养成以计算法则为理论依据不乱用，不随意改变运算顺序来计算。想让学生提高计算能力不仅要让学生会计算还要让学生明白为何如此计算的原因。人们常说兴趣是最好的老师，让学生对运算感兴趣，主动去训练会达到事半功倍的效果。教师可以利用课间等零散的时间让学生进行计算，或者多组织计算类的游戏让学生在娱乐中学习，爱上学习。5解题教学设计案例如图，梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°，且AB=AD.连接BD，过点A作BD的垂线，交BC于点E,垂足为H.如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积。图5.1（一）弄清问题问题1:题目要学生求解的是什么?要求解的是DE:AE的值。问题2:学生已经知道什么?首先，学生已经学过平行四边形，菱形的性质，知道AB=AD,AE⊥BD,AD∥BC,可证四边形ABED为菱形，因此做辅助线，连接DE,再由学过了勾股定理、相似等相关性质。（二）制定计划问题3:怎样求梯形ABCD的面积?思路:根据证明平行四边形，菱形，之后可得到边的关系，由勾股定理,可得出DE的值，再由菱形得到上底和下底的长，再由梯形面积公式算出面积。实施计划连接DE如图5.2所示，图5.2∠C=90,EC=3cm,CD=4cm,∴DE=5∵AD//BC,∴∠1=∠2,∵AB=AD,AH⊥BD,∴BH=DH,∠AHD=∠EHB=90°在△ADH和△EBH中∠AHD=∠EHBDH=BH∠1=∠2∴△ADH≌△ËBH(ASA),∴BE=AD,∴四边形ABED是平行四边形又∵AB=AD∴AD=BE=DE=5=(5+8)×4÷2=26()（四）回顾例2.如图1所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为点D，连接CE、CB。请问:线段AB、AD、DE之间有怎样的数量关系?并说明理由。图1(一)弄清问题问题1:题目要学生求解的是什么?要求解的是线段AB、AD、DE之间的数量关系。问题2:学生已经知道什么?首先，学生知道AB为直径，可推出∠ACB是直角，还知道AD⊥CD;点C为切点，在圆中，知道切点，必做辅助线———连半径(连接OC)，这样可得∠OCD是直角。其次，九年级学生对线段间求数量关系有一定的基础，他们学习过勾股定理、线段间的转化、相似、圆的相关知识。(二)制定计划问题3:怎样求线段AB、AD、DE之间的数量关系?思路:在初中数学学习中，三条线段间的数量关系一般有和、差、积三种。如何确定三条线段之间的数量关系是本节课的难点。教师可以从以下三个方面引导学生:(1)猜想“AB2=AD2+DE2”，让学生观察三条线段是否在同一直角三角形中，能否用“勾股定理”的模型解决问题。(2)猜想“AB=AD+DE”，引导学生用“截长补短法”将三条线段转化为和、差关系。(3)猜想“AB2=AD·DE”，将三条线段转化为等积式，寻找它们所在的三角形是否相似并将此作为解题的突破口。(三)实施计划方法一:解:(如图4)连接OC，过点C作CF⊥AB于点F。∴∠AFC=∠BFC=90°∵CD是⊙O的切线∴∠OCD=90°∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠ACD=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠ACD=∠B∵AD⊥CD∴∠ADC=90°∴∠ADC=∠ACB=∠AFC=∠BFC=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DAC=∠BAC∴CE=CB又∵四边形ABCE为⊙O的圆内接四边形∴∠DEC=∠B∴△CDE≌∠CFB(AAS)∴DE=BF，CD=CF又∵AC为公共边∴Ｒt△ADC≌∠Ｒt△AFC(HL)∴AD=AF∴AB=AD+DE(在学生展示的方法中，方法一复杂，其余方法略)(四)回顾学生在思维展示的过程中发现DE=BF，AD=AF，教师引导学生利用射影定理就能解决“AB2=AD·DE”不成立。射影定理是教师上课补充的知识，射影定理的推导利用了三角形的相似来证明。图5如图5:在Ｒt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。可得△ACD∽△CBD，推出CD2=AD·BD。例题教学中的AB不可能等于CF，由此可知“AB2=AD·DE”不成立。但却引发了一个新问题，CD与CF是相等的，所以“CD2=AD·DE”，也可在证△ADC∽△CDE时得出此结论。6参考文献[1]司擎天.初中数学解题中常见错误案例分析[J].马鞍山：安徽省马鞍山市外国语学校,2012.[2]张舒.民族地区初中生数学水平测试中解题错读分析及纠正策略[D].北京：中央民族大学.2016[3]AnandP.G.etal.Usingcomputer-assistedinstructiontoPersonalizearithmeticmaterialsforelementaryschoolchildren.JournalofEducationalPsychology.1987，Vol.79（2），72-78.[4]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社