人教七年级数学上册专题训练4.3.3余角和补角

专题4.3.3余角和补角（知识解读）【学习目标】1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．【知识点梳理】考点1余角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.考点2补角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.【典例分析】【考点1余角的性质】【典例1】（2024秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（）A．22°30' B．22°50' C．25° D．45°【变式1-1】（2024秋•滦州市期中）已知∠α＝60°36′，则∠α的余角是．（用度表示）【变式1-2】（2024秋•泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点2补角的性质】【典例2】（2024秋•思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【变式2-1】（2024春•天府新区月考）已知一个角的补角是115°，则这个角是度．【变式2-1】（2024春•潍坊期末）如图，可以用量角器量出∠AOB的度数，则∠AOB的补角是°．【考点2利用补角和余角计算求值】【典例3】（2024春•莘县校级月考）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？【变式3-1】（2024秋•梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【变式3-2】（2024秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【变式3-3】（2024秋•秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．【考点4补角、余角和角平分线综合运算】【典例4】（2024秋•瓦房店市期末）如图，∠AOC和∠AOB分别是∠AOD的余角和补角，且OD是∠BOC的平分线．求∠AOD的度数．【变式4-1】（2024秋•西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．【变式4-2】（2024秋•天津期末）如图，已知O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOC，∠DOE的度数；（2）写出∠BOE的余角．【变式4-3】（2024秋•禹州市期末）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．（1）求∠AOB的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．专题4.3.3余角和补角（知识解读）【学习目标】1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．【知识点梳理】考点1余角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.考点2补角（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.【典例分析】【考点1余角的性质】【典例1】（2024秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（）A．22°30' B．22°50' C．25° D．45°【答案】A【解答】解：由题意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β．解得：∠β＝22.5°＝22°30′．故选：A．【变式1-1】（2024秋•滦州市期中）已知∠α＝60°36′，则∠α的余角是．（用度表示）【答案】29.4°【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣60°36′＝29°24′＝29.4°，∴∠α的余角是29.4°，故答案为：29.4°．【变式1-2】（2024秋•泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠C＝90°；又∵AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，故图中与∠B互余的角有2个．故选：B．【考点2补角的性质】【典例2】（2024秋•思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【答案】D【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．故选：D．【变式2-1】（2024春•天府新区月考）已知一个角的补角是115°，则这个角是度．【答案】65【解答】解：∵一个角的补角是115°，∴这个角的度数是：180°﹣115°＝65°，故答案为：65．【变式2-1】（2024春•潍坊期末）如图，可以用量角器量出∠AOB的度数，则∠AOB的补角是°．【答案】60【解答】解：由量角器可知∠AOB＝120°，∴∠AOB的补角＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．【考点2利用补角和余角计算求值】【典例3】（2024春•莘县校级月考）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？【解答】解：设这个角的度数是x°，则它的补角为：180°﹣x°，余角为90°﹣x°，由题意，得：（180﹣x）﹣2（90﹣x）＝70．解得：x＝70．答：这个角的度数为70°．【变式3-1】（2024秋•梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角180°﹣x，根据题意得，180°﹣x+20°＝3（90°﹣x），解得x＝35°．故选：B．【变式3-2】（2024秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），解得：α＝30°．故这个角的度数为30°．故选：A．【变式3-3】（2024秋•秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．【解答】解：设这个角的度数是x°，则90﹣x＝（180﹣x）﹣5，解得：x＝27，即这个角的度数是27°，答：这个角的度数是27°．【考点4补角、余角和角平分线综合运算】【典例4】（2024秋•瓦房店市期末）如图，∠AOC和∠AOB分别是∠AOD的余角和补角，且OD是∠BOC的平分线．求∠AOD的度数．【解答】解：设∠AOD＝x，∵∠AOC与∠AOD互余，∴∠AOC＝90°﹣x，又∵∠AOB与∠AOD互补，∴∠AOB＝180°﹣x，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°，又∵OD是∠BOC平分线，∴∠BOD＝∠DOC＝45°，∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝90°﹣x+45°＝x，解得：x＝67.5°，∴∠AOD的度数是67.5°．【变式4-1】（2024秋•西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC＝3∠COD，∠COD＝10°，∴∠AOC＝30°，∴∠AOC的余角＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC的余角的度数是60°；（2）∵∠AOC＝3∠COD，∠AOC＝45°，∴，∵点A，O，B在一条直线上，∴∠AOB＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣45°﹣15°＝120°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝15°+60°＝75°，∴∠COE的度数为75°．【变式4-2】（2024秋•天津期末）如图，已知O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOC，∠DOE的度数；（2）写出∠BOE的余角．【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，又∵∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠DOC+∠COE＝90°，即∠DOE＝90°；（2）∵∠DOE＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠DOA＝∠DOC，∴∠BOE+∠COD＝90°，∴∠BOE的余角是∠DOC和∠DOA．【变式4-3】（2024秋•禹州市期末）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角