专题06数学广角找次品（教师版）

用天平找次品规律：1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。2、数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次►找次品从3瓶钙片中找出少了几片的那瓶钙片，至少称量1次。一．精挑细选（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022春•清苑区期末）80个零件中有一个是次品（次品略重），用天平秤，如果要保证找出次品，且称的次数最少，那么称第一次时应按下面第（）中分法来称。A．分2份（40，40） B．分3份（26，27，27） C．分3份（20，20，40） D．分3份（25，25，30）【思路引导】找次品的关键是尽可能的平均分成3份，对其中数量相同的两份进行称重，根据称重结果来估算第三份，80÷3＝26（个）......2（个），如果不能满足平均分，余下的2个往被称重的两份里面均分，所以应该分成3份（26，27，27），据此解答即可。【规范解答】解：80÷3＝26（个）......2（个）答：每份26个，剩余的两个往其中两份里面均分，即应该分成3份（26，27，27）。故选：B。【考点评析】解答本题的关键是把80个零件正确分类，根据天平平衡的条件解答即可。2．（2分）（2022春•五华区期末）24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成（）份，然后再称。A．2 B．3 C．4 D．6【思路引导】根据找次品的规律，第一次称，将24个分成三组（8，8，8）三组，天平两边各放8个，如果平衡，则次品在没称的8个当中，如果不平衡，则次品在较轻的8个当中。第二次称，将没称的8个或者较轻的8个分成（3、3、2）三组，天平两边各放3个，会出现两种情况：如果平衡，则次品在没称的2个当中，将没称的2个分成（1、1）两组，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那个是次品。如果不平衡，则次品在较轻的3个当中，将较轻的3个分成（1、1、1）三组，天平两边各放1个，如果平衡，则次品是没称的1个；如果不平衡，则较轻的那个是次品。【规范解答】解：由分析可知，24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成3份，然后再称。故选：B。【考点评析】解答本题的关键是把24个零件正确分类，根据天平平衡的条件解答即可。3．（2分）（2022•东莞市模拟）有23个零件，其中22个质量相等，有1个是次品，次品质量轻一些，用天平秤，至少称（）次就能找出这个次品。A．1 B．2 C．3 D．4【思路引导】根据找次品的规律，把23个零件分成（8、8、7）三组；第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。【规范解答】解：把23个零件分成（8、8、7）三组；第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。所以至少称3次就能找出这个次品。故选：C。【考点评析】此题考查了对找次品规律的灵活运用，关键是分成三组。4．（2分）（2021春•从化区期末）有8瓶钙片，其中一瓶是少了2片，用天平称，至少称（）次能保证找到这瓶少了2片的钙片。A．2 B．3 C．4 D．5【思路引导】将8瓶钙片分成（3，3，2）三组，第一次称：先称各3瓶的两组，若天平平衡，则少2片的那瓶在2瓶的那组里，若天平不平衡，则少2片的那瓶在天平上升端，第二次称：①若在2瓶那组，把2瓶分别放在天平两端，少2片的那瓶在天平上升端；②若在3瓶那组，把将3瓶钙片分成（1，1，1）三组，任取2瓶放在天平两端，若天平平衡，则少2片的那瓶是没取的那瓶，若天平不平衡，则少2片的那瓶在天平上升端；据此解答即可。【规范解答】解：将8瓶钙片分成（3，3，2）三组，第一次称：先称各3瓶的两组，若天平平衡，则少2片的那瓶在2瓶的那组里，若天平不平衡，则少2片的那瓶在天平上升端，第二次称：①若在2瓶那组，把2瓶分别放在天平两端，少2片的那瓶在天平上升端；②若在3瓶那组，把将3瓶钙片分成（1，1，1）三组，任取2瓶放在天平两端，若天平平衡，则少2片的那瓶是没取的那瓶，若天平不平衡，则少2片的那瓶在天平上升端；所以，用天平称至少称2次能把这瓶药找出来。答：至少称2次能保证找到这瓶少了2片的钙片。故选：A。【考点评析】本题主要利用杠杆的平衡原理解决问题，注意合理分组。5．（2分）（2021•井陉矿区）有25盒饼干，其中有1盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（）次能保证找到这盒饼干。A．5 B．4 C．3 D．2【思路引导】可以把25分成（9，9，7），天平每边放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把7分成（3，3，1），天平每边放3盒，若平衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把3分成（1，1，1）这样1次即可找出，一共需要称3次；若天平每边放9个，不平衡，把轻的一份9分成（3，3，3），再称1次即可确定在哪份，把3再分成（1，1，1）再称1次即可出结果，也是一共称3次；据此求解即可。【规范解答】解：把25分成（9，9，7），①天平每边放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把7分成（3，3，1），天平每边放3盒，若平衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把3分成（1，1，1）这样1次即可找出，一共3需要称3次；②若天平每边放9盒，不平衡，把轻的一份9分成（3，3，3），再称1次即可确定在哪份，把3再分成（1，1，1）再称1次即可出结果，也是一共称3次。答：至少要称3次能保证找到这盒饼干。故选：C。【考点评析】天平秤的平衡原理，是解答本题的依据，关键是明确每次取饼干的盒数。二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022春•管城区期末）童年之所以迷人，是因为它无忧无虑。一年一度的六一儿童节到了，小彤的妈妈给小彤准备了一些小面包，9个紫薯馅的，12个豆沙馅的。（1）妈妈把这些小面包分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放7个。（2）在这9个紫薯馅小面包中，有一个质量比较重，如果用天平称，怎样分才能用最少的次数保证找到这个较重的小面包？在中填一填，这样分最少要称2次。【思路引导】（1）一共（9+12）个，即21个小面包。21＝3×7，这21个面包可以放在3个盒子里，每个盒子里放7个，也可以放在7个盒子里，每个盒子里放3个。（2）9个面包分成（3，3，3）三组，天平每边放3个，出现两种情况：平衡，较重的在未称的3个；不平衡，较重的在重的一边。再把有较重的一个的一组3个分成（1，1，1），同样出现两种情况：平衡，较重的在未称的一个；不平衡，较重的在重的一边。【规范解答】解：（1）9+12＝21（个）21＝3×7这些小面包可以放在3个盒子里，每个盒子里放7个，也可以放在7个盒子里，每个盒子里放3个。因此，每盒最多放7个。（2）9个小面包分成（3，3，3）三组，称第一次：平衡，较重的在未称的3个；不平衡，较重的在重的一边。3个小面包分成（1，1，1）三组，称第二次：平衡，较重的在未称的一个；不平衡，较重的在重的一边。这样分最少要称2次。故答案为：7；2。【考点评析】用天平找次品，关键是把被检测的物品合理分组，分组的方法不同，称的次数也可能不相同。7．（2分）（2022春•清苑区期末）有27个乒乓球，其中一个是次品（略轻此）。用天平秤，至少称3次定能找到次品。【思路引导】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。【规范解答】解：把27个乒乓球分为（9，9，9），把两个9个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组里，再把9个分为（3，3，3），可找出有次品的一组，再把3个分成（1，1，1），可找出次品，需3次。如次品在剩余的9个一组里，则把9分成（3，3，3），把两个3个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把3成（1，1，1），可找出次品，需3次。所以用天平称，至少称3次就一定能找出次品来。故答案为：3。【考点评析】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。8．（2分）（2022春•红安县期末）商店有17块肥皂，其中有1块不符合售卖要求（次品），它与其它肥皂一模一样，只是质量轻一些，如果用天平称，最少称3次才能保证找到这个次品。【思路引导】（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。【规范解答】解：将17块肥皂分成（6、6、5），只考虑最不利的情况，先称（6、6），不平衡，次品在6块中；再将6块分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡都可确定在其中2块中；再称1次即可。所以最少称3次才能保证找到这个次品。故答案为：3。【考点评析】本题主要考查学生依据天平平衡原理解决问题的能力。9．（2分）（2022春•德江县期末）一次偶然的机会，阿凡提从他的朋友那里得到了8枚一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻，于是阿凡提找来一架天平，想用它找出那枚假的金币。他至少需要用天平称2次，才能保证找出那枚假的金币。【思路引导】根据题意，把8枚金币分成3份：3枚、3枚、2枚，第一次取3枚的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次，取含有较轻的一份（3枚或2枚）中的2枚分别放在天平两侧，即可找到较轻的一个。【规范解答】解：把8枚金币分成3份：3枚、3枚、2枚，第一次取3枚的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次，取含有较轻的一份（3枚或2枚）中的2枚分别放在天平两侧，即可找到较轻的一个。答：至少需要用天平称2次才能保证找出假的硬币。故答案为：2。【考点评析】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取金币的个数。10．（2分）（2022•南通）乐乐在水果市场买了6千克桔子，用“公平秤”称了一下，发现只有5千克。乐乐去找卖水果的老板，老板发现是自己的秤出了问题，他按照乐乐的要求，用自己的秤又称了1千克桔子进行补偿，请您从数学的角度谈谈对这件事情的看法。因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。.【思路引导】根据题意可知：乐乐买6千克桔子，结果用“公平秤”称了一下，发现只有5千克，说明了老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克，据此解答。【规范解答】解：因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。【考点评析】解答本题的关键是根据给出的故事判断出卖水果的老板的秤所称的水果的重量要比水果的实际重量轻。11．（2分）（2021秋•涿州市期末）在一批外表相同的零件里混入了一个次品（次品轻一些），如果要用天平保证以最少的称量次数找出这个次品，最好的方法是尽量先把这批零件平均分成3份？【思路引导】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。【规范解答】解：根据以上分析可知：最好的方法是尽量先把这批零件平均分成3份。故答案为：3。【考点评析】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。12．（2分）（2022春•方城县期末）王阿姨家有1盒（12瓶装）增强免疫力的维生素，其中一瓶已经吃了两天。如果要用天平称，她至少称3次就一定能保证把这瓶吃了两天的维生素找出来。【思路引导】第一次称：把12瓶维生素分成（6，6）两份，把两份分别放在天平上称，轻的一瓶在天平上升端；第二称：把6瓶维生素分成（2，2，2）三份，把任意两份分别放在天平上称，若天平平衡，则轻的一瓶在没称的那份中，若天平不平衡，则轻的一组在天平上升端；第三次称：把2瓶维生素分别放在天平上称，轻的一瓶在天平上升端；据此求解即可。【规范解答】解：第一次称：把12瓶维生素分成（6，6）两份，把两份分别放在天平上称，轻的一瓶在天平上升端；第二称：把6瓶维生素分成（2，2，2）三份，把任意两份分别放在天平上称，若天平平衡，则轻的一瓶在没称的那份中，若天平不平衡，则轻的一组在天平上升端；第三次称：把2瓶维生素分别放在天平上称，轻的一瓶在天平上升端；所以她至少称3次就一定能保证把这瓶吃了两天的维生素找出来。故答案为：3。【考点评析】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取的瓶数。13．（2分）（2022春•西安期末）有7袋无碘盐，其中有一袋是次品，质量稍轻一些，其余的6袋质量相同，至少称2次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐。【思路引导】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。据此解答。【规范解答】解：第一步：把7袋无碘盐中分成3袋、3袋和1袋，先称量3袋和3袋，若天平平衡，则剩下的那1袋是次品，如果不平衡，则天平较高的那端一定有稍轻的那袋子；第二步：再把天平较高的那端的3袋分成1袋，1袋和1袋，称量1袋和1袋，如果天平平衡，剩下的那袋是次品，如果天平不平衡，则天平较高的那端一定是稍轻的那袋子，故此至少称量2次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐。答：至少称2次能保证找出质量稍轻的那一袋无碘盐。故答案为：2。【考点评析】解答本题的依据是：天平秤的平衡原理，解答时注意从中取3袋时要任意取。三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2022春•双峰县期末）从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。√（判断对错）【思路引导】尽可能平均分成三份，不能平均就相差一个，比如10个就分成3，3，4；11个就分成4，4，3；12个就分成4，4，4。这样就把范围缩小到三分之一或三分之一多一个。【规范解答】解：第一步：把查找范围缩小到4瓶。把10瓶分成三份：3，3，4。比较两个3瓶，如果平衡，次品就在4瓶里。不平衡，次品就在质量轻的3瓶里。为了能够保证找到，假定次品在4瓶里；第二步，把查找范围缩小到2瓶。把4瓶分成三份：1，1，2。方法与第一步类似；第三步：比较两瓶，找出轻的那瓶。故答案为：√。【考点评析】尽可能平均分成三份，查找范围就会缩小到三分之一左右。因为要做到保证找出来，所以必须去掉运气的成分，比如上面第二步，比较两个1瓶，如果不平衡，次品就是轻的那瓶。这样就不需要第三步了。15．（2分）（2022春•习水县月考）在23枚硬币中，有一枚假硬币，假硬币除了质量轻一些外，其它无任何差别，如果用天平称，至少称4次就能保证找出这枚假硬币。×（判断对错）【思路引导】第一次把23每硬币分成8、8、7，先把8、8放在天平两端去称，如果天平平衡，就把7分成2、2、3，把2、2放在天平两端去称，如果平衡，就把3分成1、1、1，把1、1放在天平两端就找到了次品。如果8、8不平衡，就把较轻的8分成3、3、2，把3、3放在天平两端，如果不平衡，就把较轻的3分成1、1、1，把1、1放在天平两端可找到次品。至少用的次数即可求。【规范解答】解：第一次把23每硬币分成8、8、7，先把8、8放在天平两端去称，如果天平平衡，就把7分成2、2、3，把2、2放在天平两端去称，如果平衡，就把3分成1、1、1，把1、1放在天平两端就找到了次品。如果8、8不平衡，就把较轻的8分成3、3、2，把3、3放在天平两端，如果不平衡，就把较轻的3分成1、1、1，把1、1放在天平两端可找到次品。每种情况至少用3次能保证找出这枚假硬币。故答案为：×。【考点评析】掌握找次品的方法是解决本题的关键。16．（2分）（2022•西平县）30个乒乓球中有一个质量稍重，用天平称3次就能找到这个次品。×（判断对错）【思路引导】根据找次品的次数的规律，当次品个数小于或等于3n时，最多n次可以即可保证找到次品，据此判断。【规范解答】解：33＝27＜30所以30个乒乓球中有一个质量稍轻，用天平秤4次就能找到这个次品，原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】本题主要考查找次品问题，关键利用公式完成判断。17．（2分）（2022春•应城市期末）有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。√（判断对错）【思路引导】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。【规范解答】解：把20颗螺丝分成（7，7，6）三份。第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；②如果次品在6颗一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；第三次：①把3颗分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的那颗在天平上升一端；②如果次品在2颗一组里，则把2分成（1，1），把2颗螺丝放在天平上称，次品的那颗在天平上升一端。所以有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。表述正确。故答案为：√。【考点评析】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。18．（2分）（2022春•富平县期末）有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据如图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。×（判断对错）【思路引导】由于只有一个是次品，重量稍轻，可以肯定这个次品在天平的左边，其他都是正品，据此即可解答。【规范解答】解：因为①+②＜③+④所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。因此根据如图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。表述错误。故答案为：×。【考点评析】本题考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。四．解决问题（共12小题，满分66分）19．（5分）一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？【思路引导】把50盒分成（24，24，2）三组，天平两边各放24盒，会出现两种情况：平衡，轻盒在未称的2盒；不平衡，轻盒在轻的一边（称第一次）。当轻盒在2盒组时，把2盒分成（1，1）二组，用天平再称一次即可找出轻盒；当轻盒在24盒组时，把24盒分成（8，8，8）三组，天平每边各放8盒，无论是否平衡，都能找到轻盒所在的组（称第二次）。把有轻盒的8盒分成（3，3，2）三组，天平两边各放3盒，会出现两种情况：平衡，轻盒在未称的2盒；不平衡，轻盒在轻的一边（称第三次）。当轻盒在2盒组时，把2盒分成（1，1），用天平再称一次即可找出轻盒；当轻盒在3盒组时，把3盒分成（1，1，1）三组，天平每边各放一盒，无论是否平衡，都能找到轻盒（称第四次）。【规范解答】解：称第一次：把50盒分成（24，24，2）三组，天平两边各放24盒，会出现两种情况：平衡，轻盒在未称的2盒；不平衡，轻盒在轻的一边。称第二次：当轻盒在2盒组时，把2盒分成（1，1）二组，天平每边各放1盒，轻盒在轻的一边；当轻盒在24盒组时，把24盒分成（8，8，8）三组，天平两边各放8盒，又出现两种情况：平衡，轻盒在未称的8盒；不平衡，轻盒在轻的一边。称第三次：当轻盒在8盒组时，把8盒分成（3，3，2）三组，会出现两种情况：平衡，轻盒在未称的2盒；不平衡，轻盒在轻的一边。称第四次：当轻盒在2盒组时，把2盒分成（1，1）二组，天平每边各放1盒，轻盒在轻的一边；当轻盒在3盒组时，把有轻盒的3盒分成（1，1，1）三组，天平每边各放1盒，会出现两种情况，平衡，轻盒是未称的一盒；不平衡，轻盒在轻的一边。因此，至少称四次才能保证找出这盒巧克力。【考点评析】用天平找次品，关键是把被检测的物品合理分组，分组的方法不同，称的次数也会不同。20．（5分）（2021秋•迁安市期末）一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案）【思路引导】先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，据此解答。【规范解答】解：先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。答：至少3次就一定能找到这个次品弹力球。【考点评析】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取球的个数。21．（5分）有20颗外形完全相同的珠子，其中有一颗是假的，且比真珠子轻一些。用天平至少称几次能保证把假珠子找出来？（写出简单的过程）【思路引导】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。【规范解答】解：把20颗外形完全相同的珠子分成（7，7，6）三份，第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；②如果假珠子在6个一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；第三次：①把3分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的那颗在天平上升一端；②如果假珠子在2个一组里，则把2分成（1，1），把两颗珠子放在天平上称，假的那颗在天平上升一端；所以用天平至少称3次能保证把假珠子找出来。答：用天平至少称3次能保证把假珠子找出来。【考点评析】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次称量时取的袋数。22．（5分）（2021春•历下区期末）思考题：有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到？【思路引导】第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡；每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些；第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端；第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端；第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端；据此即可找到次品。【规范解答】解：第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡；每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些；第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端；第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端；第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端；所以至少称5次，就保证把次品找到。答：至少称5次，就保证把次品找到。故答案为：5。【考点评析】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意次品没说明轻或重。23．（5分）（2022春•南海区期末）有5瓶形状、外观相同的钙片，其中1瓶少了3片。如图是同学们用天平来称的实验情况，哪几幅图的实验表示称一次恰好找到少3片的那瓶钙片，请填上合适的序号②③。【思路引导】根据天平是否平衡确定次品所在的位置。【规范解答】解：①天平不平衡，次品在较轻的2个中；②天平平衡，剩下的一个是次品；③天平不平衡，较轻的一个是轻品；④天平平衡，次品在剩下的三个中；②③表示称一次找到少一片的那瓶钙片。故答案为：②③。【考点评析】根据天平的状态判断次品的位置是解答本题的关键。24．（5分）（2022春•历城区期末）有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程）【思路引导】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。【规范解答】解：1、把61盒维生素C先分3份：20、20、21，比较两份20的重量，如果两边相等，则次品在21里；否则在20的较轻的那份里，2、如果在20里，将20分成7、7、6三份，比较两份7的重量，如果两边相等，则次品在6里；否则在7的较轻的那份里，如果在21里，将21分成三份7，比较两份7的重量，如果两边相等，则次品在未称量7里；否则在7的较轻的那份里，3、将确定出的较轻的那份如果是7，同样分3份，2，2，3，取两个2的先称，如果两边相等，剩下的3个就是次品，如果不相等，次品在较轻的那边；如果是6，分成2、2、2，取两份进行称量，如果相等，次品在未称量的2里，如果不相等，次品在较轻的那边；4、如果在3里，要将3分成1、1、1，取个数相等的两份进行称重，如果两边相等，剩下的1盒就是次品，如果不相等，次品在较轻的那边；如果在2里，将2分成1、1，次品在较轻的那边；所以至少称4次。故答案为：4。【考点评析】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。25．（5分）（2021春•白水县期末）27瓶墨水中有一瓶是次品（次品较轻一些），如果用天平秤，至少称几次能保证找出次品？【思路引导】将个数分成三份，先把相同的两份零件放在天平的两边，天平平衡，次品在第三份；天平不平衡，次品在轻的那份中；以此类推直到找出次品，据此解答。【规范解答】解：把27瓶墨水平均分成3份，每份9瓶。第一次：任取两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的那9瓶墨水中，若不平衡，则次品在较轻的那一边；第二次：把天平秤较轻（或未取）的9瓶墨水平均分成3份，每份3瓶，任取2份，分别放在天平秤两端，若平衡，则次品在未取的那3瓶墨水中，若不平衡，则次品在较轻的那一边；第三次：把天平秤较轻（或未取）的3瓶墨水平均分成3份，每份1瓶，任取2份，分别放在天平秤两端，若平衡，则次品是未取的那瓶墨水；若不平衡，则次品是较轻的那瓶墨水。至少称3次能保证找出次品。答：至少称3次能保证找出次品。【考点评析】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。26．（5分）（2021春•凤凰县期末）现有10个零件，其中有一个是次品（次品重一些），用天平称，最少称几次就一定能找出次品来？（要求运用图示法表示出思维过程）【思路引导】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小．【规范解答】解：第一次：把10个零件平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端；第二次：从天平秤较低端的5个零件中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个零件即为次品，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较低端的2个零件，分别放在天平秤两端，较低端的即为次品．如图所示：答：用天平称，最少称3次就一定能找出次品来．【考点评析】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答．27．（6分）（2020春•永昌县期末）有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些．至少称几次能保证找出这瓶盐水？【思路引导】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小．【规范解答】解：15（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次．如不