人教版八年级数学下册期末试卷中考真题汇编解析版

人教版八年级数学下册期末试卷中考真题汇编[解析版]一、选择题1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣12．下列四组线段，能构成直角三角形的是（）A．1，1，2 B．，2， C．5，6，7 D．6，8，103．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝DCC．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB D．AO＝CO，BO＝DO4．小雨同学参加了学校举办的“抗击，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容语言表达和形象风度三项得分分别为80分，90分，85分，若这三项依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则她的成绩是（）A．82分 B．83分 C．84分 D．85分5．下列三角形中，是直角三角形的是().A．三角形的三边满足关系a＋b＝c B．三角形的三边为9，40，41C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边比为1∶2∶36．如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，则的度数是（）A．60° B．75 C．80° D．110°7．如图，在中，，，是斜边上的高，，则的长度是（）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，，分别在直线和轴上，，，，是以，，，为顶点的等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（）A． B． C． D．二、填空题9．若式子成立，则a的取值范围是________________10．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___．11．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m．12．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点．若，，则的长为______．13．已知A（﹣2，2），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为_____14．在矩形ABCD中，由9个边长均为1的正方形组成的“L型”模板如图放置，此时量得CF=3，则BC边的长度为_____________．15．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，点P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_________．16．如图，在矩形中，点是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点到的距离为______．三、解答题17．计算：（1）；（2）；（3）解方程组；（4）解方程组．18．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）[补充：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半]19．图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写画法．（1）在图①中以线段为边画一个正方形．（2）在图②中以线段为边画一个菱形．20．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．21．阅读下面的材料，解答后面提出的问题：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(2＋)(2－)＝1，(＋)(－)＝3,它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：＝＝，＝＝7＋4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：(1)4＋的有理化因式是，将分母有理化得；(2)已知x＝，y＝,则＝；(3)已知实数x，y满足(x＋)(y＋)－2017＝0，则x＝，y＝．22．工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍两组各自加工零件的数量x（件）与时间y（时）之间的函数图象如图所示．（1）甲组的工作效率是件/时；（2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．（3）当x为何值时，两组一共生产570件．23．（探究发现）（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．（类比应用）（2）如图2，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．（拓展延伸）（3）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．24．【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求，两点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，它交轴于点，交轴于点，在轴上是否存在点，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【模型拓展】（3）如图4，在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，请直接写出的长．25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接，且①求证：与互相平分；②求证：；（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当，，时，求之长.26．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知．将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为．数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论；操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由；②若，请直接写出时，，两点间的距离；B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由；②若，请直接写出点落在延长线时，，两点间的距离．【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，故选B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.2．D解析：D【分析】勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据定理逐一判断即可.【详解】解：故不符合题意；故不符合题意；故不符合题意；故符合题意；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键.3．B解析：B【解析】【分析】依据平行四边形的定义和判定方法逐一判断即可得解；【详解】A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AD∥BC，AB＝DC，即一组对边平行，一组对边相等，无法判断四边形ABCD是平行四边形，举反例如等腰梯形，故选项B符合题意；C、∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，同时注意一组对边平行，一组对边相等得四边形不一定是平行四边形．4．C解析：C【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可，加权平均数计算公式为：，其中代表各数据的权.【详解】依题意，．故选C．【点睛】本题考查了加权平均数，掌握是加权平均数的计算公式解题的关键．5．B解析：B【详解】A.不能构成三角形，此选项错误；B.由于9²+40²=41²，是直角三角形，此选项正确;C.不能判定是直角三角形，此选项错误；D.不能构成三角形，此选项错误.故选B.6．B解析：B【解析】【分析】连接BF，由菱形的性质得∠DCF=∠BCF=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，再由线段垂直平分线的性质得BF=DF，BF=CF，则DF=CF，得∠CDF=∠DCF=35°，然后求出∠ADC=110°，求解即可．【详解】解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，∴BF=DF，∵EF是BC的垂直平分线，∴BF=CF，∴DF=CF，∴∠CDF=∠DCF=35°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=180°-70°=110°，∴∠ADF=110°-35°=75°，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证出DF=CF是解题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，进而利用勾股定理求出BC即可．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°−∠B＝60°，∴∠ACD＝90°−∠A＝30°，∵AD＝1cm，∴AC＝2AD＝2（cm），∴AB＝2AC＝4（cm），∴BC＝＝（cm），故选：C．【点睛】本题主要考查的是勾股定理、含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．8．A解析：A【分析】设点A2，A3，A4…，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【详解】解：在直线，，，设，，，，，，，，，则有，，，，又△，△，△，，都是等腰直角三角形，，，，．将点坐标依次代入直线解析式得到：，，，，，又，，，，，，故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．二、填空题9．【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求得．【详解】或者解得：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的性质，理解被开方数为非负数是解题的关键．10．A解析：96【解析】【分析】连接，，交点为，与交于点，与交于点，由三角形中位线定理得出，，，，得出，由勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．【详解】解：如图，连接，，交点为，与交于点，与交于点，四边形是菱形，，，，分别是，，的中点，，，，，四边形是矩形，，，，，，，菱形的面积是．故答案为96．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．11．A解析：4【解析】【详解】解：解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52，解得x=4故答案为：4．【点睛】本题考查勾股定理．12．B解析：【分析】首先根据矩形的性质得出，，，然后根据平行线的性质及等量代换得出，则，然后根据折叠的性质得出，，进而求出BC，然后利用勾股定理求出AB，AC，从而答案可求．【详解】∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠得，，∴，∴，由折叠得，，，∴，在中，，在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握折叠和矩形的性质及勾股定理是关键．13．A解析：（-0.4，0）【分析】点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），求得直线A'B的解析式，令y=0可求点P的横坐标．【详解】解：点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），设直线A'B的解析式为y=kx+b，把A'（-2，-2），B（2，3）代入，可得，解得，∴直线A'B的解析式为y=x+，令y=0，则0=x+，解得x=-0.4，∴点P的坐标为（-0.4，0），故答案为（-0.4，0）．【点睛】本题综合考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短等知识点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．A解析：7【分析】连接AF，作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4，FG=2，AH=2，根据矩形的性质及勾股定理即可求得【详解】解：由图可知，AE=EF=5，根据勾股定理，易得CE=4，由题可知AE⊥EF，易得△ABE≌△ECF，即BE=CF=3，即BC=3+4=7，故答案为：7【点睛】本题考查了利用矩形的性质和勾股定理及全等三角形的性质求解．15．【分析】如图，连接，依题意，四边形是矩形，则，当时，最小，底面积法求得即可．【详解】如图，连接，PM⊥x轴，PN⊥y轴，四边形是矩形，，当时，最小，直线与坐标轴分别交于点A，B，解析：【分析】如图，连接，依题意，四边形是矩形，则，当时，最小，底面积法求得即可．【详解】如图，连接，PM⊥x轴，PN⊥y轴，四边形是矩形，，当时，最小，直线与坐标轴分别交于点A，B，令，令，，，当时，，．．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到是解题的关键．16．．【分析】过F作FG⊥EC与于G，根据，可得∠AED+∠BEC=90°，由四边形ABCD为矩形，可得∠CEB+∠ECB=90°，可证△AED∽△BCE，设AE=x，则BE=10-x，可得，解得，解析：．【分析】过F作FG⊥EC与于G，根据，可得∠AED+∠BEC=90°，由四边形ABCD为矩形，可得∠CEB+∠ECB=90°，可证△AED∽△BCE，设AE=x，则BE=10-x，可得，解得，当AE=1时，BE=9，根据折叠与四边形ABCD为矩形可得EH=HC，设EH=HC=m，则HF=9-m，在Rt△FHC中由勾股定理得，即，当AE=9时，BE=1，可得DH=HE，设DH=HE=n，则HF=HE-EF=n-1，HC=DC-DH=10-n，在Rt△HFC中，由勾股定理即，根据三角形面积即可．【详解】解：过F作FG⊥DC于G，EF（EF延长线）交CD于H，∵∴∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3，∴∠CEB+∠ECB=90°∴∠AED=∠BCE，∴△AED∽△BCE，∴，设AE=x，则BE=10-x，∴，整理得，解得，经检验都符合题意是原方程的解，当AE=1时，BE=9，根据折叠，EF=EB=9，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠BEC=∠FEC，∵四边形ABCD为矩形∴DC//AB，∴∠HCE=∠BEC=∠HEC，∴EH=HC，设EH=HC=m，则HF=9-m，在Rt△FHC中由勾股定理得，即解得∴S△FHC=，∴，当AE=9时，BE=1，根据折叠，EF=EB=1，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠CEB=∠CEF，∵四边形ABCD为矩形，∴DC//AB，∴∠HDE=∠AED，∵∠DEH+∠FEC=∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEH=∠AED=∠HDE，∴DH=HE，设DH=HE=n，则HF=HE-EF=n-1，HC=DC-DH=10-n，在Rt△HFC中，由勾股定理，即解得∴HC=10-5=5，HF=5-1=4∴S△CHF=，∴，∴点到的距离为．故答案为．【点睛】本题考查矩形性质，三角形相似判定与性质，折叠性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形性质，三角形相似判定与性质，折叠性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．三、解答题17．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利解析：（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）由②可得：，将代入①得：，解得：，∴，∴原方程组解为：；（4）由①×4-②×3可得：，解得：，将代入①可得：，解得：，∴原方程组解为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组等，掌握基本解法，并熟练运用乘法公式是解题关键．18．3﹣（m）【分析】先在Rt△OAB中，OA＝3m，∠OAB＝30°，求出梯子AB的长，在滑动过程中梯子的长是不变的，再根据已知条件证明出△AOB≌△DOC，即可求出BD长．【详解】解：在Rt解析：3﹣（m）【分析】先在Rt△OAB中，OA＝3m，∠OAB＝30°，求出梯子AB的长，在滑动过程中梯子的长是不变的，再根据已知条件证明出△AOB≌△DOC，即可求出BD长．【详解】解：在Rt△ABO中，∵AO＝3m，∠OAB＝30°，∴AB，∵∠OCD＝60°，∴∠ODC＝30°，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OA＝OD，OC＝OB，∴BD＝OD﹣OB＝3﹣（m）．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，三角形全等的性质与判定，求出的长是解题的关键．19．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的判定进行画图即可；（2）根据菱形的判定进行画图即可．【详解】解：（1）如图所示：，，∴，∴∠ABC=90°，∴四边形AB解析：（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的判定进行画图即可；（2）根据菱形的判定进行画图即可．【详解】解：（1）如图所示：，，∴，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）如图所示，∴四边形ABEF是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．（1）见解析；（2）【分析】（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相解析：（1）见解析；（2）【分析】（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据已知条件可得是等边三角形，进而求得，根据，进而根据菱形的性质求得面积．【详解】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥AB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是菱形．（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，是等边三角形∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴菱形．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．21．（1）,;（2）10;（3），.【解析】【详解】(1)∵,∴的有理化因式为;∵,∴分母有理化得:.(2).∵,∴(3)∵(x＋)(y＋)－2017＝0∴,∴解析：（1）,;（2）10;（3），.【解析】【详解】(1)∵,∴的有理化因式为;∵,∴分母有理化得:.(2).∵,∴(3)∵(x＋)(y＋)－2017＝0∴,∴∴∴,整理得：∴,x=y将x=y代入可得：，.故答案为，.点睛：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解本题的关键.22．（1）70；（2）320，y＝100x－280；（3）5【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到甲的工作效率；（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度，然后求出更换解析：（1）70；（2）320，y＝100x－280；（3）5【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得到甲的工作效率；（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度，然后求出更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式即可．（3）根据（1）（2）求出的函数关系式，令两者的和为570，求出x的值即可.【详解】解：（1）∵图象经过原点及(6，420)，∴设解析式为：y＝kx，∴6k＝420，解得：k＝70，∴y＝70x；∴甲的工作效率为70件/时；（2）乙3小时加工120件，∴乙的加工速度是：每小时40件，∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工40×2.5＝100(件)，a＝120+100×(6﹣4)＝320；乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝120+100(x﹣4)＝100x﹣280．（3）由题意可得：70x+100x-280=570，解得x=5，∴当x为5时，两组一共生产570件.【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式以及数形结合．23．[探究发现]AE+AF=AB；[类比应用]AE+AF=AB；[拓展延伸]或【分析】[探究发现]证明△BDF≌△ADE，可得BF=AE，从而证明AB=AF+AE；[类比应用]取AB中点G，连接解析：[探究发现]AE+AF=AB；[类比应用]AE+AF=AB；[拓展延伸]或【分析】[探究发现]证明△BDF≌△ADE，可得BF=AE，从而证明AB=AF+AE；[类比应用]取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF=AE，可得AG=AB=AF+FG=AE+AF；[拓展延伸]分当点E在线段AC上时，当点E在AC延长线上时，两种情况，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF=HE，从而求解．【详解】解：[探究发现]∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=90°，∵∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°，∴∠BDF=∠ADE，又∵BD=AD，∠B=∠CAD=45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF=AE，∴AB=AF+BF=AF+AE；[类比应用]AE+AF=AB，理由是：取AB中点G，连接DG，∵点G是△ADB斜边中点，∴DG=AG=BG=AB，∵AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，∴∠GDF=∠ADE，∵DG=AG，∠BAD=60°，∴△ADG为等边三角形，∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF=AE，∴AG=AB=AF+FG=AE+AF；[拓展延伸]当点E在线段AC上时，如图，取AC的中点H，连接DH，当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，AE=4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得：△ADF≌△HDE，∴AF=HE，∵AH=CH=AC=，CE=1，∴AF=HE=CH-CE=-1=；当点E在AC延长线上时，同理可得：AF=HE=CH+CE=+1=．综上：AF的长为或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．24．（1），；（2），或，；（3）【解析】【分析】（1）如图1，过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题；（2）分两种情况：①点在负半轴上，如图2，过点作，交于点，过点作轴于解析：（1），；（2），或，；（3）【解析】【分析】（1）如图1，过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题；（2）分两种情况：①点在负半轴上，如图2，过点作，交于点，过点作轴于点，先证明，得出，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而得出答案；②点在正半轴上，如图3，过点作交于点，过点作轴于点，方法同①即可得出答案；（3）如图4，过点作，过点作于交轴于，在轴负半轴上截取，过点作轴交的延长线于，先证明，再求出，再利用待定系数法得出直线解析式，得出点坐标，运用勾股定理求出，再由求出，最后再应用等腰直角三角形性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：（1）如图1，过点作轴于，点的坐标为，点的坐标为，，，等腰，，，又轴，轴轴，，，，，在和中，，，，，，，设直线的解析式为，，，，，直线的解析式为，与轴交点，；（2）存在符合条件的点．理由如下：①点在负半轴上，如图2，过点作，交于点，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为，，；②点在正半轴上，如图3，过点作交于点，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为，，；综上所述，，或，；（3）如图4，过点作，过点作于交轴于，在轴负半轴上截取，过点作轴交的延长线于，则，，，，，，，，，，在和中，，，，，设直线解析式为，，，，解得：，直线解析式为，令，得，解得：，，，，在中，，设，则，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，解得：（舍去），，，，．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，平行线的性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形解析：（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.【详解】（1）证明：①连接ED、BF，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°．在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2