解析卷-贵州省福泉市中考数学真题分类（勾股定理）汇编定向训练试卷（含答案解析）

贵州省福泉市中考数学真题分类（勾股定理）汇编定向训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=02、已知点是平分线上的一点，且，作于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53、如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（

）A．0 B．2 C．4 D．64、已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（

）A．5 B．25 C． D．5或5、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）A． B． C． D．6、如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A．2 B．3 C．4 D．57、《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．2、如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．3、图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，若，则的值为______．4、我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．5、如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．6、如图，Rt△ABC的两条直角边，．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，，则的值为______，的值为______．7、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则BC的长为_____．8、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；（2）此三角形的面积是．2、（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．3、如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求的度数．4、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．5、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．6、如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．7、如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【详解】m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故选C.2、B【解析】【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值为3．故选B．【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故选：C．【考点】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4、D【解析】【分析】分情况讨论：①当边长为4的边作斜边时；②当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．故选：D．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．5、C【解析】【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE代入数据求得AE=5根据三角形的面积公式得BH=即可得BF=由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF=故答案为：【考点】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．6、C【解析】【分析】连接AG，证明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE对折至△AEF，则EF＝DE，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt△EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．【详解】如图，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE对折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共边，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G刚好是BC边的中点，∴BG＝FG＝，设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根据勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的长是4，答案选C．【考点】本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．7、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x−1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故选：C．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．二、填空题1、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．2、##【解析】【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．【详解】解：折叠，，，，∵四边形是正方形∴中．．故答案为：【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．3、【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【详解】延长DM交CB的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，，或舍弃，，故答案为．【考点】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键．4、13【解析】【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案为：13．【考点】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．5、【解析】【分析】少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【详解】解：如图，∵在中，，∴米，则少走的距离为：米，∵步为米，∴少走了步．故答案为：．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．6、

24

0【解析】【分析】先证明从而可得再利用图形的面积关系可得：两式相减可得：而证明从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt△ABC的三边为边作三个正方形，两式相减可得：而故答案为：24，0【考点】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明是解本题的关键.7、6【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC===6故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8、【解析】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵是的中点，，，∴，由折叠的性质知：，设，则，在中，根据勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案为：【考点】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．三、解答题1、（1）画图见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定再顺次连接即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可.【详解】解：（1）如图，即为所求作的三角形，其中：（2）故答案为：【考点】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.2、（1）见解析；（2）见解析；（3）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米【解析】【分析】(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可．(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理求出斜边的长即可．【详解】解：（1）如图（2）==∴(3)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E∵AB⊥BC，DC⊥BC∴∠B=∠C=∠DEB=90º∴四边形BCDE是矩形∴ED=BC=4，BE=DC=0.5设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5

在RtΔAED中AD2=AE2+ED2(+0.5)2=(-0.5)2+42解得：=8答：旗杆的高为8米．【考点】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3、【解析】【分析】连接EE`,如图,根据旋转的性质得BE=BE'=2,AE=CE'=1,∠EBE`=90°,则可判断△BEE`为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得EE`=BE=2,∠BE`E=45°,在△CEE'中,由于CE`+EE'=CE,根据勾股定理的逆定理得到△CEE`为直角三角形,即∠EE`C=90°,然后利用∠BE'C=∠BE'E+∠CE'E求解【详解】连接EE`,如图,∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE`∴BE=BE'=2,AE=CE'=1,∠EBE'=90°∴△BEE'为等腰直角三角形∴EE'=BE=2,∠BE'E=45°在△CEE`中,CE=3,CE'=1,EE'=2,∵1+(2)=3∴CE+EE'=CE∴△CEE'为直角三角形∴∠EE'C=90°∴∠BE'C=∠BE'E+∠CE'E=135°【考点】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键4、（