2024-2025学年贵州省高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】由直线l经过点，，得直线l的斜率.故选：C2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先看充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18【答案】D【解析】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：；新数据的方程是原数据方差的倍，所以新数据的方差为：.故选：D4.在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，连接交于点，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，则，则，在中，.故选：B.5.已知函数，，的零点分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】显然：函数，，在定义域内都是增函数，又，而中的，令，，，的大小顺序为：，故选：B．6.已知点，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以在上的投影向量为.故选：D7.若直线与圆有交点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的圆心为，半径r=1，圆心到直线的距离，依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，所以，即.故选：A8.已知实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】令，则，由，得，整理得，，因为存在实数满足等式，所以，解得，则的最大值为，此时，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中的真命题是（）A.若直线a不在平面内，则a∥B.若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥C.若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交【答案】CD【解析】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题；对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题；对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题.故选：CD10.甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则（）A.恰好有1人命中的概率为 B.恰好有1人命中的概率为C.至多有1人命中概率为 D.至少有1人命中的概率为【答案】BD【解析】对于AB，由题意，恰好有1人命中的概率为，故A错误，B正确；对于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，因此至多有1人命中的概率为，故C错误；对于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，因此至少有1人命中的概率为，故D正确.故选：BD.11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下以下结论正确的是（）A.已知点，，满足B.已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为2C.已知点，，不存在动点满足方程：D.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为【答案】ABD【解析】A选项：由题意得，故A正确；B选项：设，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；所以点的轨迹围成的图形是以为边长的正方形，所以面积为2，故B正确；C选项：，当时，所以存使，故C错；D选项；如图，过点作平行于x轴的直线交直线于点，过点作于点，表示的长度，因为直线的方程为，所以，，即，，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于x轴，所以当垂直直线时，最小，如下图所示，此时，，根据直线的斜率为-2，得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，则复数虚部是______．【答案】【解析】由，则复数的虚部是.故答案为：.13.若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______．【答案】【解析】由题意，，设，则，解得，则，所以在基底下的坐标为.故答案为：.14.已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________．【答案】【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图，上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为，于是，或，解得，所以球的表面积是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，，．（1）求函数的定义域A；（2）实数，且，求的值．解：（1）由题意，，由，解得，则函数的定义域为.（2）由（1）知，，又，则，则，所以16.记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，其中，．（1）求角；（2）若是锐角三角形，求的周长的取值范围．解：（1）因为，所以，所以,又为三角形内角，所以.（2）由正弦定理：，所以，.又是锐角三角形，且，所以，且.所以.因为，所以，所以，所以，所以的周长：.17.设圆C的半径为r，圆心C是直线与直线的交点.（1）若圆C过原点O，求圆C的方程；（2）已知点，若圆C上存在点M，使，求r的取值范围.解：（1）由得，所以圆心，又∵圆C过原点O，∴，∴圆C的方程为.（2）设，由，得，化简得，∴点M在以为圆心，半径为2的圆上.又∵点M在圆上，故圆与有交点，∴，即，即.18.如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．（1）设平面平面，若P为的中点，求证：；（2）设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：设的中点为，连接，因为P为的中点，Q为的中点，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）解：在直三棱柱中，平面，，故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，，又，则，所以，若平面，则，则，解得，所以线段上存在点P，使得平面，此时.19.材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）．问题：已知圆M：．求：（1）求共点直线系方程的“共点”的坐标；（2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围；（3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程．解：（1）由.所以“共点”的坐标为：（2）圆：，所以圆心，半径，由，所以点在圆外.所以.（3）由得：点和到直线的距离相等.所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线.所以.因为：，所以点在圆内.因为，所以当最小时，直线的方程为：.贵州省2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】由直线l经过点，，得直线l的斜率.故选：C2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先看充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知数据，，…，的极差为4，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18【答案】D【解析】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：；新数据的方程是原数据方差的倍，所以新数据的方差为：.故选：D4.在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，连接交于点，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，设正方体的棱长为，则，则，在中，.故选：B.5.已知函数，，的零点分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】显然：函数，，在定义域内都是增函数，又，而中的，令，，，的大小顺序为：，故选：B．6.已知点，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以在上的投影向量为.故选：D7.若直线与圆有交点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的圆心为，半径r=1，圆心到直线的距离，依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，所以，即.故选：A8.已知实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】令，则，由，得，整理得，，因为存在实数满足等式，所以，解得，则的最大值为，此时，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中的真命题是（）A.若直线a不在平面内，则a∥B.若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥C.若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交【答案】CD【解析】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题；对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题；对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题.故选：CD10.甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为，乙命中的概率为，且他们是否命中相互独立，则（）A.恰好有1人命中的概率为 B.恰好有1人命中的概率为C.至多有1人命中概率为 D.至少有1人命中的概率为【答案】BD【解析】对于AB，由题意，恰好有1人命中的概率为，故A错误，B正确；对于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，因此至多有1人命中的概率为，故C错误；对于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，因此至少有1人命中的概率为，故D正确.故选：BD.11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下以下结论正确的是（）A.已知点，，满足B.已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为2C.已知点，，不存在动点满足方程：D.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为【答案】ABD【解析】A选项：由题意得，故A正确；B选项：设，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；所以点的轨迹围成的图形是以为边长的正方形，所以面积为2，故B正确；C选项：，当时，所以存使，故C错；D选项；如图，过点作平行于x轴的直线交直线于点，过点作于点，表示的长度，因为直线的方程为，所以，，即，，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于x轴，所以当垂直直线时，最小，如下图所示，此时，，根据直线的斜率为-2，得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，则复数虚部是______．【答案】【解析】由，则复数的虚部是.故答案为：.13.若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______．【答案】【解析】由题意，，设，则，解得，则，所以在基底下的坐标为.故答案为：.14.已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________．【答案】【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图，上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为，于是，或，解得，所以球的表面积是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，，．（1）求函数的定义域A；（2）实数，且，求的值．解：（1）由题意，，由，解得，则函数的定义域为.（2）由（1）知，，又，则，则，所以16.记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，其中，．（1）求角；（2）若是锐角三角形，求的周长的取值范围．解：（1）因为，所以，所以,又为三角形内角，所以.（2）由正弦定理：，所以，.又是锐角三角形，且，所以，且.所以.因为，所以，所以，所以，所以的周长：.17.设圆C的半径为r，圆心C是直线与直线的交点.（1）若圆C过原点O，求圆C的方程；（2）已知点，若圆C上存在点M，使，求r的取值范围.解：（1）由得，所以圆心，又∵圆C过原点O，∴，∴圆C的方程为.（2