2024-2025学年河北省N20名校联合体高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省N20名校联合体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.且.即的取值范围为.故选：D.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故故选：A.3.若数列满足，则该数列前12项和（）A.22 B.32 C.42 D.53【答案】C【解析】因为，由等差中项的性质知数列为等差数列，∴，.故选：C.4.已知是两个单位向量，在上的投影向量为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因在上的投影向量为，则，依题意，所以，因向量在向量上的投影向量为，由，故向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.除以7的余数为（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】，前面10项都是7的倍数，最后一项不是7的倍数，除以7的余数为除以7的余数，又除以7的余数为2，故除以7的余数为2.故选：B.6.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因是定义在上的奇函数，则，由可得，即，则得，故4是函数的一个周期.因当时，，则，当时，，则，于是，.故选：B.7.已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆具有对称性，不妨讨论与相切在第一象限情况.设与相切于，切线方程：.，又，，，当，即，时取等号，菱形周长的取值范围是.故选：D.8.小朋友们在如图所示的正八边形的游乐场玩丢手绢.场地被等分成8段（标记为到），每个点有一个小朋友，小明从点处开始选择顺时针或逆时针方向在8个小朋友身后放手绢，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每个点都会随机选择顺时针或逆时针方向继续跑动.若小明一直不停下来，21秒恰好在点的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小明21秒后恰好停在，则小明不停状态下走了7段路恰好停在点，有以下情况:（1）从处顺时针走6步返回1步，即顺时针走6段小路，逆时针走1段小路，此情况有种可能；（2）从处逆时针走5步返回2步，即顺时针走2段小路，逆时针走5段小路，此情况有种可能；由（1）（2）可知所求概率为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A.B.C.随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“瘦高”D.【答案】AD【解析】选项A，根据正态分布曲线的对称性，可得，故A正确；选项B，因为，这里，那么，而不是2，故错误.选项C，由正态分布的概率性质可知，越大，则正态分布曲线越矮胖，故C错误；选项D，因为随机变量，所以，，因为，又，所以，故D正确.故选：AD.10.已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（）A.B.C.若在上有最大值，则的取值范围为D.【答案】ACD【解析】依题意可知，点为切点，代入可得，，又，即.又由，得.依题可得，代入上式，可得，即，由，解得，故A正确，B错误；对于C，由上分析可得，则由，可得或；由，可得，故在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，因，由题在区间上有最大值，故有，解得，故C正确；对于D，因，则，于是，故D正确.故选：ACD.11.正三棱台上下底面边长分别为2和6，侧棱长为分别为两个底面正三角形的中心.点在侧面内运动（包括边界），，点分别在线段上，且满足，则下列结论正确的是（）A.存在一个球和正三棱台的所有面都相切B.的最小值为C.若存在唯一的点使得，则D.平面把线段分割成的两段长度之比为【答案】BC【解析】将正三棱台补形成正三棱锥，根据已知数据得正三棱锥是棱长的正四面体，则正四面体的侧面高为，则该正四面体的高，设正四面体的内切球半径为r，则由；选项A.由上可知正三棱锥的最大内切球直径为，又台体高，所以该内切球为台体内能放入的最大的球，且不与台体上底面相切，所以不存在一个球和正三棱台的所有面都相切，故A错误；选项B，因为点到侧面的距离为正四面体的体高，则点在侧面的轨迹是圆，圆心是侧面对应的正三角形的中心，半径为，此时为正三角形外接圆的半径，所以的最小值为，故B正确；选项C，设为的中点，作的中垂截面三角形，考虑过点垂直于的截面分别交于，根据相似比例易得，此时的中垂面与侧面的交线为梯形的中位线，且刚好与点的轨迹圆相切.即存在唯一的点使得，意味着与重合.所以，故C正确；选项D，根据，易得为的中点，设的中点为.平面与的交点为，作出的中垂截面三角形，易得：，由勾股定理得：，三角形和三角形相似，根据相似比易得，，所以，故D错误.故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式常数项为______.【答案】60【解析】的常数项为,故答案为：13.记为数列的前项和，且，当取最大值时，__________.【答案】9【解析】方法一：（利用二次函数的最值）由，当时，；当时，，显然时满足上式，故，，可知数列为等差数列，其首项为17，公差为.又由可得，解得，故，即当时，取得最大值.方法二：（利用等差数列的性质）仿照方法一，由证明数列为等差数列，由首项为17和可得数列公差为负数，且，即，因，故数列的前9项和最大，即当时，取得最大值.故答案为：9.14.的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最大值为__________.【答案】8【解析】由余弦定理，可得，又，可得，即，因，则.由，即，解得当且仅当时，等号成立，此时，取得最大值8.故答案为：8.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线方程.（2）求函数的单调区间；解：（1）已知函数于是而所以得即.（2）令则.由得当时，单调递增；当时，单调递减.从而.即.所以函数的单调减区间为，无增区间16.某学校器乐大赛有7名选手进入最后决赛，6名评委给出评分如下表，按去掉2个最高分和2个最低分规则计算选手成绩：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委619.609.409.809.209.659.3029.109.359.158.959.379.3539.709.559.659.459.759.5048.908.859.058.608.958.7059.209.309.509.159.4091068.808.708.408.208.358.2578.008.158.358.808.258.05（1）试确定冠军、亚军、季军选手的序号；（2）若比赛结束后从7名选手中任选3名谈参赛体会，设谈体会的3人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差.解：（1）考察各选手得分发现，号选手得分较低，不可能进入前三名，按规则计算其余选手得分如下：1号选手平均得分，同理可得号选手平均得分，所以本次决赛的冠军，亚军，季军分别是3号，1号，2号选手.（2）由题意得的可能取值为，则故随机变量的分布列为012由期望公式得，故随机变量的数学期望为，则.17.已知椭圆，椭圆上一点到焦点的最短距离为，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆方程；（2）若点在椭圆外，过作直线交椭圆于两点,椭圆的上顶点为（A,P,B不重合）.求的值.解：（1）当时，由题得，解得，故椭圆方程为：.同理可得当时，椭圆方程为故椭圆方程为或.（2）因点在椭圆外，可得椭圆方程为因不重合，故可设直线方程为，令直线与椭圆联立消元得，由，解得.则，又，于是，将韦达定理代入得.18.数列满足.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，求数列的前项和.解：（1）方法一：因为，且，，所以故是首项为，公差为1的等差数列.方法二：由题意得（），同除以得，因为，，所以，且，故是首项为，公差为1的等差数列.（2）由题意得是从开始的等差数列，则，即，得到，则，而，.19.在平行六面体中，，.（1）以为空间的一个基底，求平面的一个法向量；（2）求点到平面的距离；（3）若动点满足,且，则的最小值为多少？解：（1）由题可知，，则，，，设为平面的一个法向量，由，得到，即，取，得到，所以，故平面的一个法向量为.（2）由（1）知平面的一个法向量，所以，又，所以点到平面的距离为.（3）由，可知点在平面内，易知四边形为正方形，又，所以点在以点和点为焦点，焦距为的双曲线的一支上，以中点为原点，如图建立平面直角坐标系，则动点的轨迹为双曲线的右支.设点为，又，所以点的轨迹方程为，，又，所以当时，取得最小值，最小值为，的最小值为.河北省N20名校联合体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.且.即的取值范围为.故选：D.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故故选：A.3.若数列满足，则该数列前12项和（）A.22 B.32 C.42 D.53【答案】C【解析】因为，由等差中项的性质知数列为等差数列，∴，.故选：C.4.已知是两个单位向量，在上的投影向量为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因在上的投影向量为，则，依题意，所以，因向量在向量上的投影向量为，由，故向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.除以7的余数为（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】，前面10项都是7的倍数，最后一项不是7的倍数，除以7的余数为除以7的余数，又除以7的余数为2，故除以7的余数为2.故选：B.6.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因是定义在上的奇函数，则，由可得，即，则得，故4是函数的一个周期.因当时，，则，当时，，则，于是，.故选：B.7.已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆具有对称性，不妨讨论与相切在第一象限情况.设与相切于，切线方程：.，又，，，当，即，时取等号，菱形周长的取值范围是.故选：D.8.小朋友们在如图所示的正八边形的游乐场玩丢手绢.场地被等分成8段（标记为到），每个点有一个小朋友，小明从点处开始选择顺时针或逆时针方向在8个小朋友身后放手绢，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每个点都会随机选择顺时针或逆时针方向继续跑动.若小明一直不停下来，21秒恰好在点的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小明21秒后恰好停在，则小明不停状态下走了7段路恰好停在点，有以下情况:（1）从处顺时针走6步返回1步，即顺时针走6段小路，逆时针走1段小路，此情况有种可能；（2）从处逆时针走5步返回2步，即顺时针走2段小路，逆时针走5段小路，此情况有种可能；由（1）（2）可知所求概率为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A.B.C.随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“瘦高”D.【答案】AD【解析】选项A，根据正态分布曲线的对称性，可得，故A正确；选项B，因为，这里，那么，而不是2，故错误.选项C，由正态分布的概率性质可知，越大，则正态分布曲线越矮胖，故C错误；选项D，因为随机变量，所以，，因为，又，所以，故D正确.故选：AD.10.已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（）A.B.C.若在上有最大值，则的取值范围为D.【答案】ACD【解析】依题意可知，点为切点，代入可得，，又，即.又由，得.依题可得，代入上式，可得，即，由，解得，故A正确，B错误；对于C，由上分析可得，则由，可得或；由，可得，故在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，因，由题在区间上有最大值，故有，解得，故C正确；对于D，因，则，于是，故D正确.故选：ACD.11.正三棱台上下底面边长分别为2和6，侧棱长为分别为两个底面正三角形的中心.点在侧面内运动（包括边界），，点分别在线段上，且满足，则下列结论正确的是（）A.存在一个球和正三棱台的所有面都相切B.的最小值为C.若存在唯一的点使得，则D.平面把线段分割成的两段长度之比为【答案】BC【解析】将正三棱台补形成正三棱锥，根据已知数据得正三棱锥是棱长的正四面体，则正四面体的侧面高为，则该正四面体的高，设正四面体的内切球半径为r，则由；选项A.由上可知正三棱锥的最大内切球直径为，又台体高，所以该内切球为台体内能放入的最大的球，且不与台体上底面相切，所以不存在一个球和正三棱台的所有面都相切，故A错误；选项B，因为点到侧面的距离为正四面体的体高，则点在侧面的轨迹是圆，圆心是侧面对应的正三角形的中心，半径为，此时为正三角形外接圆的半径，所以的最小值为，故B正确；选项C，设为的中点，作的中垂截面三角形，考虑过点垂直于的截面分别交于，根据相似比例易得，此时的中垂面与侧面的交线为梯形的中位线，且刚好与点的轨迹圆相切.即存在唯一的点使得，意味着与重合.所以，故C正确；选项D，根据，易得为的中点，设的中点为.平面与的交点为，作出的中垂截面三角形，易得：，由勾股定理得：，三角形和三角形相似，根据相似比易得，，所以，故D错误.故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式常数项为______.【答案】60【解析】的常数项为,故答案为：13.记为数列的前项和，且，当取最大值时，__________.【答案】9【解析】方法一：（利用二次函数的最值）由，当时，；当时，，显然时满足上式，故，，可知数列为等差数列，其首项为17，公差为.又由可得，解得，故，即当时，取得最大值.方法二：（利用等差数列的性质）仿照方法一，由证明数列为等差数列，由首项为17和可得数列公差为负数，且，即，因，故数列的前9项和最大，即当时，取得最大值.故答案为：9.14.的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最大值为__________.【答案】8【解析】由余弦定理，可得，又，可得，即，因，则.由，即，解得当且仅当时，等号成立，此时，取得最大值8.故答案为：8.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线方程.（2）求函数的单调区间；解：（1）已知函数于是而所以得即.（2）令则.由得当时，单调递增；当时，单调递减.从而.即.所以函数的单调减区间为，无增区间16.某学校器乐大赛有7名选手进入最后决赛，6名评委给出评分如下表，按去掉2个最高分和2个最低分规则计算选手成绩：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委619.609.409.809.209.659.3029.109.359.158.959.379.3539.709.559.659.459.759.5048.908.859.058.608.958.7059.209.309.509.159.4091068.808.708.408.208.358.2578.008.158.358.808.258.05（1）试确定冠军、亚军、季军选手的序号；（2）若比赛结束后从7名选手中任选3名谈参赛体会，设谈体会的3人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差.解：（1）考察