2024-2025学年河北省秦皇岛市青龙满族自治县高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省秦皇岛市青龙满族自治县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线与曲线只有一个公共点，则实数范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题知，直线恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，由图知，当或，与曲线有1个交点，故选：C2.已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（）．A.7 B. C.28 D.11【答案】C【解析】向量，，是一组单位向量，且两两垂直，所以且．因为，，所以．故选：C．3.已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，又因为该椭圆的离心率为，所以有，所以，因此椭圆的方程为：，故选：D4.已知，，，若共面，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为共面，所以存在实数，使得，所以所以，解得：故选：D5.设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】由题意知，，设点，线段的中点为，则，由抛物线的定义知，①，，因为以线段为直径的圆与轴相切于点，，解得，而，②，由①②解得，或，所以，抛物线的方程为或．故选：D．6.将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则设曲线上的点坐标为，故在上，故，即曲线方程为.设，则，，利用点差法有，，又中点坐标为，故，即，直线的斜率为.故直线的方程为，化简可得.故选：B7.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的体积为，又球的体积为所以球的体积与圆柱的体积的比故选D8.已知为直角三角形，，点为所在平面内一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图建系，,设，，，则.故选:A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在，轴截距相等的直线方程为B.直线的纵截距是-2．C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为90°的直线方程为【答案】BD【解析】A：因为直线y=2x也过点且在，轴截距相等，故错误；：对直线方程，令x=0，可得，则其纵截距为-2，故B正确；C：直线的斜率，设其倾斜角为，则，又，故该直线倾斜角为30°，故C错误；D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.故选：.10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.由，得，则，所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.故选：CD.11.在四棱锥中，已知底面为正方形，平面、平面都与平面垂直，，点分别为的中点，点在棱上，则（）A.四边形BCTS为等腰梯形B.不存在点，使得∥平面C.存在点，使得D.点到两点距离和的最小值为【答案】BC【解析】因为平面、平面都与底面垂直，平面平面，所以平面．选项A：如下图所示：因为分别为的中点，故，又，所以，故四边形为梯形，但，，故四边形BCTS不是等腰梯形，故A错误．选项B：连接，如下图：因为平面与平面相交，而平面，且不会与平面和平面的交线平行，所以不存在点，使得平面，故B正确．选项C：连接，设，易知为的中点，如下图所示，当为的中点时，则，因为平面，所以平面．又平面，所以．因为四边形为正方形，所以．因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，故C正确．选项D：易知，将沿着展开，使与在同一个平面上，连接交于点，如图所示，则由对称性可得，点到两点距离和的最小值为．在中，其斜边上的高，所以，所以D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知直线和，若，则实数________．【答案】1或【解析】因为，所以，即，解得或．故答案为：1或.13.如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于____.【答案】【解析】平面，则，向量在上的投影向量为故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________.【答案】【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.二次函数与坐标轴交于三点，圆为的外接圆，斜率为1的直线与圆相交于不同两点，的中点为，为坐标原点，且.（1）求圆的方程；（2）求直线的方程.解：（1）令，得，令得，由题设知：，设圆心为，则，∵，弦的中点为，∴弦BC的垂直平分线的方程为：，由得圆心为，，圆的方程为：；（2）设，直线，∵，即，则，即，得，，∴，代入中得：，∴，直线方程为：16.在正四棱柱中，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则有，，，，，所以，，，；，，，又，平面解：（2）由（1）知，平面的法向量为，易知，设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知椭圆过点，离心率为.直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的斜率.解：（1）依题意，解得，故椭圆的方程为.（2）依题意，联立方程组:，消去整理得，，故，因为，所以，所以，，即；所以，即，得.18.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底面相切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，.（1）线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出的长；若不存在请说明理由.（2）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.解：（1）依题意，由对称性知，平面，由线段为圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，则平面，平面，则，要使平面，只需，则，在直角梯形中，，点在线段上，且，则点到直线距离，点到直线的距离，则，，因此，而，所以存在符合条件的点，.（2）以平面为参照面，令平面与圆交于，点在圆上，在圆上运动，到达点，设，在圆所在平面内过作于，由平面垂直于圆所在平面，则平面，连，则为直线与平面所成角，由图知，的正弦值最大时，，，在直角梯形中，，，，设，，当且仅当，即时取等号，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.19.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，所以，于.设椭圆上任一点，椭圆方程为，，=①当，即时，（此时舍去；②当即时，综上椭圆C方程为．（2）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.河北省秦皇岛市青龙满族自治县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线与曲线只有一个公共点，则实数范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题知，直线恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，由图知，当或，与曲线有1个交点，故选：C2.已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（）．A.7 B. C.28 D.11【答案】C【解析】向量，，是一组单位向量，且两两垂直，所以且．因为，，所以．故选：C．3.已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，又因为该椭圆的离心率为，所以有，所以，因此椭圆的方程为：，故选：D4.已知，，，若共面，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为共面，所以存在实数，使得，所以所以，解得：故选：D5.设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】由题意知，，设点，线段的中点为，则，由抛物线的定义知，①，，因为以线段为直径的圆与轴相切于点，，解得，而，②，由①②解得，或，所以，抛物线的方程为或．故选：D．6.将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则设曲线上的点坐标为，故在上，故，即曲线方程为.设，则，，利用点差法有，，又中点坐标为，故，即，直线的斜率为.故直线的方程为，化简可得.故选：B7.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的体积为，又球的体积为所以球的体积与圆柱的体积的比故选D8.已知为直角三角形，，点为所在平面内一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图建系，,设，，，则.故选:A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在，轴截距相等的直线方程为B.直线的纵截距是-2．C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为90°的直线方程为【答案】BD【解析】A：因为直线y=2x也过点且在，轴截距相等，故错误；：对直线方程，令x=0，可得，则其纵截距为-2，故B正确；C：直线的斜率，设其倾斜角为，则，又，故该直线倾斜角为30°，故C错误；D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.故选：.10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.由，得，则，所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.故选：CD.11.在四棱锥中，已知底面为正方形，平面、平面都与平面垂直，，点分别为的中点，点在棱上，则（）A.四边形BCTS为等腰梯形B.不存在点，使得∥平面C.存在点，使得D.点到两点距离和的最小值为【答案】BC【解析】因为平面、平面都与底面垂直，平面平面，所以平面．选项A：如下图所示：因为分别为的中点，故，又，所以，故四边形为梯形，但，，故四边形BCTS不是等腰梯形，故A错误．选项B：连接，如下图：因为平面与平面相交，而平面，且不会与平面和平面的交线平行，所以不存在点，使得平面，故B正确．选项C：连接，设，易知为的中点，如下图所示，当为的中点时，则，因为平面，所以平面．又平面，所以．因为四边形为正方形，所以．因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，故C正确．选项D：易知，将沿着展开，使与在同一个平面上，连接交于点，如图所示，则由对称性可得，点到两点距离和的最小值为．在中，其斜边上的高，所以，所以D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知直线和，若，则实数________．【答案】1或【解析】因为，所以，即，解得或．故答案为：1或.13.如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于____.【答案】【解析】平面，则，向量在上的投影向量为故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________.【答案】【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.二次函数与坐标轴交于三点，圆为的外接圆，斜率为1的直线与圆相交于不同两点，的中点为，为坐标原点，且.（1）求圆的方程；（2）求直线的方程.解：（1）令，得，令得，由题设知：，设圆心为，则，∵，弦的中点为，∴弦BC的垂直平分线的方程为：，由得圆心为，，圆的方程为：；（2）设，直线，∵，即，则，即，得，，∴，代入中得：，∴，直线方程为：16.在正四棱柱中，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则有，，，，，所以，，，；，，，又，平面解：（2）由（1）知，平面的法向量为，易知，设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知椭圆过点，离心率为.直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的斜率.解：（1）依题意，解得，故椭圆的方程为.（2）依题意，联立方程组:，消去整理得，，故，因为，所以，所以，，即；所以，即，得.18.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底面相切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，.（1）线段上是否存在一点使得平面，若