2024-2025学年湖北省部分省级示范高中高一下学期期中测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，且，解得，所以.故选：D2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C．3.在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】在△ABC中，，，，由正弦定理得，且，则，可得，所以．故选：B．4.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则，，所以.故选：A．5.年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C．6.在下列函数中，周期为的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，周期为，A不是；对于B，，周期为，B不是；对于C，，周期为，C是；对于D，，周期为,D不是.故选：C7.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的最小正周期为C.在区间上单调递减D.在区间上共有8100个零点【答案】D【解析】由图可知，，且，可得，又，∴，故A错误；由五点作图法可知，，解得，则的最小正周期为，故B错误；函数解析式为，当时，，，在区间上不是单调减的，故C错误；由，可得，即，再由，解得，由，解得，∴，则在区间上共有8100个零点，故D正确．故选：D．8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得，综上可知．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量是【答案】ABD【解析】对于A，由题意可得，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，在方向上的投影向量是，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一条对称轴B.的对称中心是C.在区间上的值域是D.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则【答案】AD【解析】由，解得，所以的对称轴方程为，当时，，所以是的一条对称轴，故A正确；由，可得，所以的对称中心是，故B错误；当时，，此时的最小值为，故C错误；将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，所以，所以是奇函数，所以，故D正确.故选：AD.11.在锐角中，设分别表示角对边，，，则下列选项正确的有（）A.B.的取值范围是C.当时的外接圆半径为D.若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正确；对于B：由正弦定理，则，为锐角三角形，则，即，，所以，故B不正确；对于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；对于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此时，当有最大值时，即时，有最大值为，此时，，又，，，∴的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数为纯虚数，则实数的值为_______．【答案】【解析】因为为纯虚数，则，解得.故答案为：.13.在中，角的对边分别为，则___________．【答案】【解析】由余弦定理可得：，∴，所以．故答案为：14.在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．【答案】．【解析】如图：记的外接圆半径为，，由图可知的最大值为时，取最大值0；因为中，所以当为中点时，最小，此时，所以取最小值，故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．（1）求实数；（2）定义复数的一种运算“”：，求．解：（1）由题得，，是“理想复数”，，；（2）由（1）知，所以，由，得，.16.已知.（1）求；（2）求.解：（1）因为，，则，所以.（2）因为，所以，又，所以，所以.17.已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.解：（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，∴，由，，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.18.已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.解：（1），，因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，所以，得，所以，令，则，所以的单调递减区间为（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象可得，或，所以的取值范围是19.如图，扇形的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．（1）设，将的面积表示成的函数并求其最大值；（2）从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．解：（1）由，则，在中，，，则，，所以，因为，则，当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为.（2）过点作，垂足为点，因为，，，则四边形为矩形，所以，，，因为，，则为等腰直角三角形，则，所以，，，，所以，，令，因为，则，则，所以，，，所以，，所以，，故当时，取最大值，因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为.湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，且，解得，所以.故选：D2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C．3.在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】在△ABC中，，，，由正弦定理得，且，则，可得，所以．故选：B．4.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则，，所以.故选：A．5.年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C．6.在下列函数中，周期为的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，周期为，A不是；对于B，，周期为，B不是；对于C，，周期为，C是；对于D，，周期为,D不是.故选：C7.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的最小正周期为C.在区间上单调递减D.在区间上共有8100个零点【答案】D【解析】由图可知，，且，可得，又，∴，故A错误；由五点作图法可知，，解得，则的最小正周期为，故B错误；函数解析式为，当时，，，在区间上不是单调减的，故C错误；由，可得，即，再由，解得，由，解得，∴，则在区间上共有8100个零点，故D正确．故选：D．8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得，综上可知．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量是【答案】ABD【解析】对于A，由题意可得，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，在方向上的投影向量是，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一条对称轴B.的对称中心是C.在区间上的值域是D.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则【答案】AD【解析】由，解得，所以的对称轴方程为，当时，，所以是的一条对称轴，故A正确；由，可得，所以的对称中心是，故B错误；当时，，此时的最小值为，故C错误；将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，所以，所以是奇函数，所以，故D正确.故选：AD.11.在锐角中，设分别表示角对边，，，则下列选项正确的有（）A.B.的取值范围是C.当时的外接圆半径为D.若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正确；对于B：由正弦定理，则，为锐角三角形，则，即，，所以，故B不正确；对于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；对于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此时，当有最大值时，即时，有最大值为，此时，，又，，，∴的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数为纯虚数，则实数的值为_______．【答案】【解析】因为为纯虚数，则，解得.故答案为：.13.在中，角的对边分别为，则___________．【答案】【解析】由余弦定理可得：，∴，所以．故答案为：14.在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．【答案】．【解析】如图：记的外接圆半径为，，由图可知的最大值为时，取最大值0；因为中，所以当为中点时，最小，此时，所以取最小值，故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．（1）求实数；（2）定义复数的一种运算“”：，求．解：（1）由题得，，是“理想复数”，，；（2）由（1）知，所以，由，得，.16.已知.（1）求；（2）求.解：（1）因为，，则，所以.（2）因为，所以，又，所以，所以.17.已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.解：（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，∴，由，，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.18.已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.解：（1），，因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，所以，得，所以，令，则，所以的单调递减区间为（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为