2024-2025学年湖北省云学名校联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，则，故选：C.2.若复数满足，其中为虚数单位.则（）A.10 B.5 C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，则.故选：C.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为向量，，所以，，则向量在向量上的投影向量为，故选：A.4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图①，过作于，由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形，又是等腰梯形，则，所以，还原平面图，如下图：为直角梯形，则，所以四边形ABCD的面积为．故选：D5.在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，又，所以，所以.故选：B6.设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，则，因为，所以，又，所以，由，所以，，所以为等腰直角三角形.故选：D.7.已知，都是锐角，，，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因为，是锐角，所以，所以，从而，所以.故选：A.8.法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】，由正弦定理得，，，则有，即，，，有，得，因为，所以，所以，所以.由三角形内角和性质知：内角均小于，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，再由余弦定理知，，又因为，所以，所以，所以.由，等号左右两边同时乘以可得：，.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若复数，则C.若复数，则实数或D.若复数满足，则【答案】AD【解析】对于A选项，，则，故A正确；对于B选项，不妨设，故，但，故B错误；对于C选项，复数，则，解得，故C错误；对于D选项，复数满足，即，即，化简得，故D正确.故选：AD.10.已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（）A.若，则边上高的最大值为B.若，则周长的最小值为C.若的角平分线长为，且，则D.若是锐角三角形，且，则的取值范围是【答案】ACD【解析】由，可得，又，得到,又，所以，即，又，所以；对于选项A，时，由余弦定理得，所以，所以边上的高，故选项A正确，对于选项B，因为，则，所以，得到，所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误；对于选项C，由，得，又，所以，又，得到，则，又，所以，所以选项C正确；对于选项D，由正弦定理知，，又是锐角三角形，所以，得到，所以，则，所以，故选项D正确，故选：ACD.11.已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（）A.B.C.D.方程有三个不相等的实数根【答案】BCD【解析】由函数，作出图象：若方程有三个不相等的实根，，，因为，所以，所以，所以，所以，所以当时方程有一个不相等的实根，则，又因为关于对称，所以，且，则，因为时，，因此可以取到1，所以A错误；则，所以B正确；又因为，所以，所以，，知，所以C正确，当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______；【答案】【解析】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：13.在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______；【答案】【解析】满足三角形有两个的条件为，又因为，，所以，所以.故答案为：.14.在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______.【答案】4【解析】因为为重心，则有，又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为,根据数量积的几何意义得故，又因为,两式平方相加得，故,所以.故答案为：四、本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步频.15.已知复数，.（其中为虚数单位，）（1）若为纯虚数，求的值：（2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值.解：（1）由为纯虚数，所以有，解得.（2）是关于的方程的一个根是的另一个根，，，.16.已知，，函数.（1）求函数的对称中心及单调减区间；（2）若，且，求的值.解：（1）.由，得对称中心为.由，解得，所以.函数的对称中心为，单调减区间为（2）由，得，又，所以，所以..17.在中，已知，，.，分别是，上的点，且，，与相交于点，.（1）求实数的值；（2）求的余弦值.解：（1）由，可得，所以，由得，所以，解得.（2）因为，，，所以，由，所以，由（1）可知，所以，.，所以.18.如图，四边形中，，，，，，且.（1）求；（2）求的取值范围；（3）求四边形周长的最小值.解：（1）由，得，知，又，所以.（2）设，因为，，则，.又，，则，，.所以.（3）在中，由正弦定理，得，同理.所以四边形周长为，由，，令，.则，由单调性性质可知在上单调递增，所以当，有最小值，即时取得等号.所以四边形周长的最小值为.19.已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求边长的最大值；（3）若的面积为，且，求面积的取值范围.解：（1）在中，由正弦定理，得，又是锐角三角形，所以.而分别是以为边的等边三角形的中心，所以，从而.（2）由（1）知，在中，设，，由余弦定理得，即，故，故，同理，所以.而在中由余弦定理有，.当且仅当时等号成立，从而，由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.（3）由的面积为知，在，中分别由余弦定理有①，②.联立①②，消去，可得.所以面积，又，所以.从而得面积的取值范围是.湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，则，故选：C.2.若复数满足，其中为虚数单位.则（）A.10 B.5 C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，则.故选：C.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为向量，，所以，，则向量在向量上的投影向量为，故选：A.4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图①，过作于，由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形，又是等腰梯形，则，所以，还原平面图，如下图：为直角梯形，则，所以四边形ABCD的面积为．故选：D5.在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，又，所以，所以.故选：B6.设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】因为，所以，则，因为，所以，又，所以，由，所以，，所以为等腰直角三角形.故选：D.7.已知，都是锐角，，，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因为，是锐角，所以，所以，从而，所以.故选：A.8.法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】，由正弦定理得，，，则有，即，，，有，得，因为，所以，所以，所以.由三角形内角和性质知：内角均小于，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，再由余弦定理知，，又因为，所以，所以，所以.由，等号左右两边同时乘以可得：，.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若复数，则C.若复数，则实数或D.若复数满足，则【答案】AD【解析】对于A选项，，则，故A正确；对于B选项，不妨设，故，但，故B错误；对于C选项，复数，则，解得，故C错误；对于D选项，复数满足，即，即，化简得，故D正确.故选：AD.10.已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（）A.若，则边上高的最大值为B.若，则周长的最小值为C.若的角平分线长为，且，则D.若是锐角三角形，且，则的取值范围是【答案】ACD【解析】由，可得，又，得到,又，所以，即，又，所以；对于选项A，时，由余弦定理得，所以，所以边上的高，故选项A正确，对于选项B，因为，则，所以，得到，所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误；对于选项C，由，得，又，所以，又，得到，则，又，所以，所以选项C正确；对于选项D，由正弦定理知，，又是锐角三角形，所以，得到，所以，则，所以，故选项D正确，故选：ACD.11.已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（）A.B.C.D.方程有三个不相等的实数根【答案】BCD【解析】由函数，作出图象：若方程有三个不相等的实根，，，因为，所以，所以，所以，所以，所以当时方程有一个不相等的实根，则，又因为关于对称，所以，且，则，因为时，，因此可以取到1，所以A错误；则，所以B正确；又因为，所以，所以，，知，所以C正确，当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______；【答案】【解析】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：13.在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______；【答案】【解析】满足三角形有两个的条件为，又因为，，所以，所以.故答案为：.14.在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______.【答案】4【解析】因为为重心，则有，又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为,根据数量积的几何意义得故，又因为,两式平方相加得，故,所以.故答案为：四、本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步频.15.已知复数，.（其中为虚数单位，）（1）若为纯虚数，求的值：（2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值.解：（1）由为纯虚数，所以有，解得.（2）是关于的方程的一个根是的另一个根，，，.16.已知，，函数.（1）求函数的对称中心及单调减区间；（2）若，且，求的值.解：（1）.由，得对称中心为.由，解得，所以.函数的对称中心为，单调减区间为（2）由，得，又，所以，所以..17.在中，已知，，.，分别是，