高三一轮复习练习试题（标准版）数学第二章2.4函数的周期性和对称性

§2.4函数的周期性和对称性分值：80分一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2026)等于()A.1 B.0 C.1 D.22.函数y=ex与y=ex的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称3.若函数y=f(x)与函数y=2x+11的图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为()A.1B.B.1 C.2 D.24.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x2)均为R上的奇函数，若f(1)=2，则f(2025)等于()A.2 B.1 C.0 D.2二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x)，且满足f(x)f(2x)=0，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称6.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，则()A.f(0)=1B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称D.2π是f(x)的一个周期三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2x)，且f(x)在(∞，2]上单调递减，则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为.

8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x32x，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积为四、解答题(共28分)9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)(2)若当x∈[2，2]时，f(x)=x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7分)10.(15分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)b为奇函数.(1)若f(x)=x33x2，求此函数图象的对称中心；(9分)(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(6分)每小题5分，共10分11.已知函数f(x)的定义域为R，fx+12为偶函数，f(2x)+f(x)=0，f13=12，则fA.12 B.13 C.012.已知函数f(x)的定义域为R，f(x2)为偶函数，f(x3)+f(x+1)=0，当x∈[1，0]时，f(x)=x+1，则19Σk=1f(k)等于(A.19 B.0 C.1 D.1答案精析1.B2.C3.A4.D[因为y=f(x2)为奇函数，f(x2)=f(x2)，所以y=f(x)的图象关于点(2，0)对称，即f(x)+f(x4)=0，又y=f(x)的图象关于原点对称，则f(x)=f(x)，有f(x)=f(x4)⇒f(x+4)=f(x)，所以y=f(x)的一个周期为4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=f(1)=2.]5.BD[由f(x)f(2x)=0，可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)f(2x)=0求导，得f'(x)+f'(2x)=0，则函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以A，C错误，B，D正确.]6.ABC[对于A，根据题意令x=y，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，则f(0)=1，即A正确；对于B，令y=x，可得f(2x)+f(2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(2x)，即对任意的x∈R满足f(x)=f(x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；对于C，令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(xy)，可得f(2π2y)+f(2y)=2f(π)f(π2y)=0，即f(x)满足f(2πx)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确；对于D，由于f(x)是偶函数，所以满足f(x2π)+f(x)=0，即f(x)+f(x+2π)=0，可得f(x2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一个周期，即D错误.]7.[1，0]解析因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为f(x)在(∞，2]上单调递减，则f(x)在[2，+∞)上单调递增，则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+32|≤|12|，即|2x+1|≤1，解得1≤x≤0，则不等式的解集为[1，0].8.22解析因为函数y=x32x为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形又S△OPM=2,则S△MNQ=22.9.(1)证明因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2x)，即有f(x)=f(x+4)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，有f(x)=f(x)，所以f(x+4)=f(x)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解当x∈[2，2]时，f(x)=x2+1，又f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[2，6]时，x4∈[2，2]，所以f(x)=f(x4)=(x4)2+1，所以f(x)=(x4)2+1=x2+8x15，x∈[2，6].10.解(1)设函数f(x)=x33x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)b，则g(x)为奇函数，故g(x)=g(x)，故f(x+a)b=f(x+a)+b，即f(x+a)+f(x+a)=2b，即[(x+a)33(x+a)2]+[(x+a)33(x+a)2]=2b.整理得(3a3)x2+a33a2b=0，故3a-3=0所以函数f(x)=x33x2的图象的对称中心为(1，2).(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.11.A[因为fx+所以f

-x+12所以f(x+2)=f(x1)，又因为f(2x)+f(x)=0，故f(x1)+f(x)=0，即f(x)=f(x1)，所以f(x1)=f(x2)，故f(x)=f(x2)，故函数f(x)的一个周期为2，故f

163=f

-23+6在f(x1)+f(x)=0中，令x=13f

-23+f

1因为f

13=1所以f

-23=故f

163=f

-23=12.D[因为f(x2)是偶函数，所以f(x2)=f(x2)，则f(x)=f(4x)，①即对称轴为直线x=2，又因为f(x3)+f(x+1)=0，所以f(x3)=f(x+1)，则f(x)=f(x2)，②即对称中心为点(1，0).由①②得f(4x)=f(x2)，令t=x2，则4x=t2，所以f(t2)=f(t)，即f(x2)=f(x)，③所以f(x4)=f(x2).④由③④得f(x4)=f(x)，所以f(x)=f(x+4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[1，0]时，f(x)=x+1，则f(0)=1，f(1)=0，f(2)=f(0)=1，f(3)