高三一轮复习讲义（基础版）数学第三章3.6函数中的构造问题

§3.6函数中的构造问题重点解读1.函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.2.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造函数例1(2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log319·f

log319，则a，b，A.a>b>cB.cB>b>aC.c>a>bD.aD>c>b思维升华(1)出现nf(x)＋xf'(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).(2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(跟踪训练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是()A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)C.(0，e2) D.(e2，＋∞)命题点2利用f(x)与ex构造函数例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为.

思维升华(1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).(2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(跟踪训练2已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)<f'(x)恒成立，则()A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)＝f(2026)D.ef(2025)>f(2026)命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造函数例3(2025·杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sinx＋f'(x)cosx>0，则()A.f

π3<3f

π6B.fB

π6<C.f

π3>3f

π6D.fD

π6>3思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F'(x)＝f'(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(F(x)＝f(x)cosx，F'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(跟踪训练3(2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx－f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)>2f

π6sinx的解集为(A.0，π3C.π3，π题型二同构法构造函数命题点1双变量同构例4已知α，β均为锐角，且α＋β－π2>sinβ－cosα，则(A.sinα>sinβB.cosBα>cosβC.cosα>sinβD.sinDα>cosβ命题点2指对同构例5(多选)若ea＋a>b＋lnb(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是()A.a>lnbB.aB<lnbC.ea>bD.eaD<b思维升华指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数f②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.跟踪训练4(1)若2x－2y<3－x－3－y，则()A.ln(y－x＋1)>0B.lnB(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0D.lnD|x－y|<0(2)(2024·盐城模拟)若不等式ax－exlna≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的最大值为.

答案精析例1A[令g(x)＝xf(x)，x∈R，因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，又因为当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf'(x)>0，所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，b＝ln2·f(ln2)＝g(ln2)，c＝log319·f

＝glog319＝g(又－2<0<ln2<lne＝1＝30<30.2，所以g(－2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.]跟踪训练1A[令g(x)＝f(x)x，x∈(0，则g'(x)＝xf'(故g(x)＝f(x)x在(0，结合f(2)＝2，得g(2)＝f(2)2＝由f(ex)－ex>0，得f(e即g(ex)>g(2)，∴ex<2，则x<ln2，即f(ex)－ex>0的解集是(－∞，ln2).]例2(3，＋∞)解析设F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，∴F(x)是增函数.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).跟踪训练2B[设g(x)＝f(x)ex，则g'(因为f(x)<f'(x)恒成立，即f'(x)－f(x)>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)为增函数，则g(2025)<g(2026)，则f(2025)e2025即ef(2025)<f(2026).]例3B[令F(x)＝f(x)cosx，x≠π2＋k故F'(x)＝f'(x)cosx＋f(x)sinxcos2x故Fπ6<Fπ3，即fπ6cosπ6fπ6<3fπ3跟踪训练3B[令函数g(x)＝f(x)sinx，x∈(则g'(x)＝f'(因此函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)>2fπ6sinx⇔f(x即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集为0，例4D[∵α＋β－π2>sinβ－cosα∴β－sinβ>π2－α－sinπ令f(x)＝x－sinx，x∈0，则f'(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在0，∵α，β均为锐角，则π2－α∈0，π2，∴β>π2－α∴cosβ<cosπ2sinβ>sinπ2∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.]例5AC[方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(lnb)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea>b，即a>lnb.]跟踪训练4(1)A[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为增函数，y＝3－t为减函数，∴f(t)为增函数，∴x<y，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，故A正确，B错误；∵|x－y|与