高一数学第一次月考卷（全解全析）（北师大版2019）

1/22025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章预备知识。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，∁UB=4，则（

）A． B． C． D．1.【答案】D【解析】已知全集，集合，∁UB=4，则.故选：D.2．如果，是实数，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.【答案】B【解析】当时，满足，而，则充分性不成立；当时，若，则，所以，而，则；若，则，所以，而，则，则必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B.3．已知且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．3.【答案】D【解析】A：当时，，故A错误；B：当时，满足，但不成立，故B错误；C：当时，，故C错误；D：由，得，故D正确.故选：D.4．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（

）A．12 B．15 C．31 D．324.【答案】B【解析】∵，∴满足“，则”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.故选：B.5．下列函数中，最小值为的是（

）A． B．C．， D．5.【答案】D【解析】对于A，，当时，，不符合要求，故A错误；对于B：，当且仅当时取等号，由得显然不成立，所以等号取不到，即的最小值不是，故B错误；对于C：因为，所以，，当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误；对于D：，易知，，则，当即或时，有最小值，即有最小值，故D对.故选：D.6．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2，则的最大值为（

）A．6 B．8 C．10 D．126.【答案】C【解析】由题设，可得，结合已知有，且，，，当时，取得最大值10.故选：C.7．已知，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7.【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，又，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，三个等号可同时成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故选：A.8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8.【答案】C【解析】关于的不等式，而，由原不等式的解集中的整数恰有3个，得，解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是，则，即，于是，又，因此，解得，实数的取值范围是，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．9.【答案】CD【解析】存在，使得为真时，当时，显然成立；当时，有，解得，当时，存在，使得；所以存在，使得为真时，，命题“存在，使得”为假命题时，时，不一定成立，不合题意；时，不一定成立，不合题意；时，必成立，反之时，推不出，符合题意；时，必成立，反之时，推不出，符合题意；命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是，；故选：CD.10．已知关于的不等式的解集为，则（

）A．有最大值 B．C． D．的解集为10.【答案】ABD【解析】对于A，因为不等式的解集为，所以，，二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确；对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根，则，所以，，则，故B正确，C错误；对于D，不等式即为，即，即，解得（舍去）或，所以，故D正确；故选：ABD.11．已知，为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为11.【答案】ABD【解析】对于选项A，由，且，为正实数，则，即，所以，即，当且仅当，即，时，不等式取得等号，即的最大值为．故选项A正确；对于选项B，由，且，为正实数，则，即，所以，当且仅当，即，时，不等式取得等号，即的最小值为．故选项B正确；对于选项C，由，且，为正实数，则，所以，当且仅当，即，时，不等式取等号，所以的最小值为．故选项C错误；对于选项D，结合选项C有，则，当且仅当，即，时，不等式取等号，所以的最大值为．故选项D正确．故选：ABD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设，，若，则实数a的值为.12.【答案】或或【解析】集合，由可得，若，，满足，若，，若，则或得或．综上，实数a的取值为或0或1．故答案为：或0或1．13．若正实数满足不等式组，则的大小关系为（按由小到大排列）13.【答案】【解析】由不等式组及均为正实数，得，则，即，所以.故答案为：.14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为时，总运费最低．14．【答案】【解析】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．由题意得，则总运费，要使总费用最低，只需最小即可．设，则，得，则，得．当时，总费用最低，则，得，所以当地到地的距离为时，总运费最低．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（1）已知集合，，若，求实数，的值.（2）已知集合或，，若，求实数的取值范围.15．（13分）【解析】（1）由已知，得或.当时，解得或；当时，解得或.又由集合中元素的互异性，得或.（2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示，或则或，解得或，所以的取值范围是或.16．（15分）已知集合，集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．（15分）【解析】（1）由题意可知，又，当时，，解得，当时，，可得，则有或，解得或，因为，则.综上所述，实数的取值范围为或.（2）因为命题是命题的必要不充分条件，则B⫋A，当时，，解得，当时，则，解得.检验：当时，⫋A，合乎题意；当时，⫋A，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.17．（15分）如图，设矩形的周长为，把△ABC沿向折叠，折过去后交于点，设，.（1）当时，求的值；（2）设△CPB'的面积为S，求17．（15分）【解析】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，.，，，∴Rt.在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，解得.（2）如图，由矩形的周长为，可知，，，，，∴Rt.在Rt△ADP中，由勾股定理得，即，解得，所以.所以△CPB'.由基本不等式与不等式的性质，得，当且仅当时，即当时，△CPB'的面积最大，面积的最大值为.18．（17分）设函数.（1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式：，；（3）若对任意的，不等式，(且)恒成立，求的最大值.18．（17分）【解析】（1）当时，由原不等式可得，显然有解，满足题意；当时，不等式无解，则，即，解得，故实数a的取值范围为且.综上，实数a的取值范围为−1，（2）由，可得，当时，解得，当时，原不等式可化为，由，解得当时，不等式可化为，①当时，即，解得；②当，即时，解得或；③当，即时，解得或.综上所述，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.（3）由可得，由不等式恒成立知，，所以，所以，令，因为，所以.所以当时，，当时，，当且仅当，即时，也即时等号成立.综上，的最大值为.19．（17分）设为实数，集合.（1）若，求；（2）若，求满足的条件；（3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对.19．（17分）【解析】（1）若，则方程为，即，解得或.；（2）由题意知，.，是方程的根，即，解得.由，集合有且仅有一个元素，即方程有且仅有一个根，①若是方程的根，则，且，解得；②若不是方程的根，则方程无实数根，则；综上所述，或.（3），，若，，，则，又，，所以有，解得.验证：当时，，不满足集合恰有两个元素，故；若，由，，则，，又，则，又，所以，即.由，则,即,解得.验证：当时，也不满足集合恰有两个元素，故；由上可知，且.则，且方程与有相同的判别式，即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则.，因为，则是方程或的根.由，且，则是方程或的根.①当时，是方程的根，，则，又，则，由，则是方程的根，则.（i）若，联立解得.验证：当，，时，，，满足题意；（ii）若，方程有两个不相等的实数根，又，则方程的两根必为和.故由韦达定理得，解得；验证：当时，，，