2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第四章4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；

(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；

(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；

(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；

(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；

(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.

2.辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝ba2＋b2，cos1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1-tanαtanβ对任意角(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关2.12sinπ12－32cosA.0 B.－22C.1 D.23.若2cosα－sinα＝0，则tanα-π4等于A.－13 B.1C.－3 D.34.若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝谨防两个易误点(1)运用公式时要注意公式成立的条件；(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)若cosπ4＋αcosπ4-αA.－3 B.－13C.13 D.(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)等于()A.－3m B.－m3C.m3 D.3思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.跟踪训练1(1)已知sinα＋π3＝sinα-π6，则A.3 B.2＋3 C.6 D.6(2)(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin(α＋β)＝.

题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C的值为(A.π6 B.πC.π3 D.(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sinx＋4cosx.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cosθ＋π4等于A.7210 B.－C.210 D.－思维升华(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.(3)对asinx＋bcosx化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.跟踪训练2(1)(2024·柳州模拟)已知α∈(0，π)，若3sinα＋cosα＝3sin2α－cos2α，则sinα-π12等于A.22 B.3C.6＋24 (2)已知函数f(x)＝sinx－3cosx，不等式f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.

题型三角的变换问题例3(1)(2024·南宁模拟)已知sinα＋π3＝35，α∈π4A.－210 B.－7C.210 D.(2)(2024·徐州模拟)已知角α，β满足cosβ＝13，cosαcos(α＋β)＝14，则cos(2α＋β)等于(A.13 B.1C.16 D.思维升华(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α-β2，π3＋α＝π2－π6-α，α＝(α＋β跟踪训练3(1)已知sinα＋π4＝45，α∈π4A.210 B.3C.22 D.(2)(2024·杭州模拟)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cosβ＝3A.63 B.3C.539 D

答案精析落实主干知识1.(1)cosαcosβ＋sinαsinβ(2)cosαcosβ－sinαsinβ(3)sinαcosβ－cosαsinβ(4)sinαcosβ＋cosαsinβ(5)tanα-tanβ2.a2＋b2sin(自主诊断1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.B[12sinπ12－＝cosπ3sinπ12－sinπ3＝sinπ12-π3＝sin-3.B[因为2cosα－sinα＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2，因此，tanα-π4.1解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan(＝17探究核心题型例1(1)C[由题意，得22(cosα所以tanα＝－12则tanα＝-1(2)A[由cos(α＋β)＝m得cosαcosβ－sinαsinβ＝m.①由tanαtanβ＝2得sinαsinβcosα由①②得cos所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.]跟踪训练1(1)B[因为sinα＋π3＝所以12sinα＋32cos＝32sinα－12cos所以(3＋1)cosα＝(3－1)sinα，所以tanα＝3＋13-1＝2(2)－2解析由题意得tan(α＋β)＝tan＝－22，因为α∈2kβ∈2mπ＋π，2m则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－22<0，则α＋β∈((2m＋2k)π＋3π2(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则sin(α＋β)联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－22例2(1)C[由已知可得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，∴tan(A＋B)＝tanA＋tan又0<A＋B<π，∴A＋B＝2π3∴C＝π3.(2)C[f(x)＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝43，sinφ＝45，cosφ＝∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z即θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z∴cosθ＝cosπ＝cos3π＝cos3π4cosφ＋sin3π4sin＝－22×35＋2跟踪训练2(1)A[因为3sinα＋cosα＝3sin2α－cos2α，所以32sinα＋12cos＝32sin2α－12cos2所以sinα＋π6＝所以α＋π6＝2α－π6＋2kπ，k∈Z或α＋π6＋2α－π6＝2kπ＋π，又α∈(0，π)，所以α＝π3所以sinα-π12＝sinπ4＝(2)[10，＋∞)解析f(x)＝sinx－3cosx＝10sin(x－φ)(其中tanφ＝3)，10sin(x－φ)∈[－10，10]，所以f(x)∈[－10，10]，故a≥10.例3(1)D[α∈π4故α＋π3∈7π所以cosα＋π又sinα＋故cosα＋π3sin＝sinα＋π3－cosα＋π3＝35×22－-(2)C[由cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝13结合cosαcos(α＋β)＝14可得sin(α＋β)sinα＝13所以cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)＝14－跟踪训练3(1)A[由α∈π4，π2，得α＋