2026高考数学一轮复习微专题106讲58.证明空间平行的常见解法含答案

PageSeq2026高考数学一轮复习微专题106讲58.证明空间平行的常见解法含答案58.证明空间平行的八种常见解法一．基本原理1．直线、平面平行的判定及其性质在空间平行的证明中，线面平行的证明是最常见的，而线面平行的证明主要是证明空间线线平行，其主要的手法有：（1）.构造中位线证明平行（2）.利用相似比证明平行（3）.构造平行四边形证平行（4）.利用线面平行性质证平行2．直线、平面垂直的判定及其性质二．典例分析题型1.构造中位线证明平行题型2.利用相似比证明平行题型3.构造平行四边形证平行题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）题型5.利用线面平行性质证（找）平行题型6.利用面面平行证线面平行题型7.面面平行的证明题型8.空间向量证明平行例1．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．证明：平面.解析:证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以,所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面题型2.利用相似比证明平行例2．如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.证明：平面.解析：取中点，连接，如图，由题意，，又.又，故，所以四边形为平行四边形，则，又面平面，故平面.题型3.构造平行四边形证平行例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．证明：BE平面PAD解析：（1）取中点，连接．，四边形为平行四边形，，又不在平面平面，平面．题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行）例4．如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．证明：平面.解析：如图，取的中点，连接，则，又因为平面平面，且平面平面，平面，则平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．题型5.利用线面平行性质证（找）平行线面平行的性质除了可以找到线线平行之外，还给出了一个找面与面交线的方法，这在很多面面相交，但交线未知的问题中会用到该结论.例5．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.设平面与平面的交线为，求证：.解析：取的中点，连接，因为，所以，又平面，所以平面，又因平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，平面，所以，因为，所以.例6．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.解析：因为分别为的中点，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面与底面的交线为，所以，.从而，.而平面，平面，所以，平面.题型6.利用面面平行证线面平行例7.如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，，劣弧上是否存在点D，使得平面？解析：如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，，因为∥，平面，平面，则∥平面，同理可证∥平面，，且平面，平面，所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面，故存在点满足题意.题型7.面面平行的证明例8．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.证明：平面平面.解析：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.题型8.空间向量证明平行例9.（2022乙卷）在正方体中，分别为的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面解析：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；接下来的选项通过向量法来分析.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.59.空间垂直证明中的一些重要构型一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂直得到，关于平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边形，后者的侧面为平行四边形，如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的.平面四边形中的一些重要垂直关系1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.图1图22.内角为的菱形，如图2，，为中点，则.3.内角为的平行四边形，如图3，，，则.图3图44.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则.5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有.图5例1.(2022年全国甲卷)·第18题)在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．解析：考察图1（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以.例2．(2021年高考浙江卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解析：考察图3解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．例3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?解析：考察图4.因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．例4．如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点.（1）证明：；（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.解析：考察图5解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为，所以，又因为，D为的中点，所以,又，所以平面，则，易知，则，因为，三条，则，即，又，所以平面，所以；二．一些常见的空间垂直模型模型1.“筝形翻折模型”结论：如图，，设为中点，则，故面，则.模型2.面面垂直找交线，找到交线引垂线.下面的例6-例8均考察上述模型1：“筝形翻折模型”例6.(2022年全国乙卷数学)如图，四面体中，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．解析：（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面．例7．(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．解析：（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD（2）作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则为二面角E-BC-D的平面角,，因为,为正三角形,所以为直角三角形，因为,，从而EF=FM=，平面BCD,所以例8．（2017新课标3卷）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）证明：平面⊥平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，