2025年对数的公式题目及答案

2025年对数的公式题目及答案

一、单项选择题1.若\(\log_{a}3=m\)，\(\log_{a}2=n\)，则\(a^{2m+n}\)的值为（）A.18B.8C.7D.6答案：A2.已知\(\log_{5}3=a\)，\(\log_{5}4=b\)，则\(\log_{25}12\)的值为（）A.\(\frac{a+b}{2}\)B.\(\frac{a+b}{4}\)C.\(\frac{ab}{2}\)D.\(\frac{ab}{4}\)答案：A3.若\(\log_{x}8=3\)，则\(x\)的值为（）A.2B.4C.6D.8答案：A4.化简\(\log_{3}\frac{1}{27}\)的结果为（）A.3B.-3C.9D.-9答案：B5.已知\(\log_{2}m=2.5\)，\(\log_{2}n=0.5\)，则\(\frac{m}{n}\)的值为（）A.8B.4C.2D.1答案：A6.若\(\log_{a}x=2\)，\(\log_{a}y=3\)，则\(\log_{a}\frac{x^{2}}{y}\)的值为（）A.1B.-1C.2D.-2答案：A7.\(\log_{5}125-\log_{5}5\)的值为（）A.1B.2C.3D.4答案：B8.若\(\log_{3}x=\log_{9}2y\)，则（）A.\(x^{2}=2y\)B.\(x=2y\)C.\(x^{2}=y\)D.\(x=y\)答案：A9.已知\(\log_{7}2=a\)，则\(\log_{7}32\)用\(a\)表示为（）A.\(5a\)B.\(2a\)C.\(3a\)D.\(4a\)答案：A10.若\(\log_{a}b=\log_{b}a\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(b\gt0\)且\(b\neq1\)），则（）A.\(a=b\)B.\(a=\frac{1}{b}\)C.\(a=b\)或\(a=\frac{1}{b}\)D.\(a,b\)无关系答案：C二、多项选择题1.以下对数运算正确的是（）A.\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）B.\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）C.\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(n\inR\)）D.\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(b\gt0\)，\(c\gt0\)且\(c\neq1\)）答案：ABCD2.若\(\log_{2}x=a\)，\(\log_{2}y=b\)，则（）A.\(\log_{2}(xy)=a+b\)B.\(\log_{2}\frac{x}{y}=a-b\)C.\(\log_{2}(x^{2}y)=2a+b\)D.\(\log_{2}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{1}{2}(a-b)\)答案：ABCD3.下列等式成立的是（）A.\(\log_{3}1=0\)B.\(\log_{10}10=1\)C.\(\log_{a}a=1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）D.\(\log_{a}1=0\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）答案：ABCD4.已知\(\log_{m}n=p\)，则（）A.\(n=m^{p}\)B.\(m^{p}=n\)C.\(p=\frac{\lnn}{\lnm}\)（\(m\gt0\)且\(m\neq1\)，\(n\gt0\)）D.\(p=\frac{\log_{a}n}{\log_{a}m}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(m\gt0\)且\(m\neq1\)，\(n\gt0\)）答案：ABCD5.若\(\log_{a}2\lt\log_{a}3\)，则\(a\)的取值范围可以是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,2)\)答案：BD6.下列对数式与指数式的互化正确的是（）A.\(\log_{2}8=3\)化为\(2^{3}=8\)B.\(\log_{9}3=\frac{1}{2}\)化为\(9^{\frac{1}{2}}=3\)C.\(5^{2}=25\)化为\(\log_{5}25=2\)D.\(3^{-2}=\frac{1}{9}\)化为\(\log_{3}\frac{1}{9}=-2\)答案：ABCD7.设\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，则（）A.若\(M=N\)，则\(\log_{a}M=\log_{a}N\)B.若\(\log_{a}M=\log_{a}N\)，则\(M=N\)C.若\(\log_{a}M^{2}=\log_{a}N^{2}\)，则\(M=N\)D.若\(M=N\)，则\(\log_{a}M^{2}=\log_{a}N^{2}\)（\(M\neq0\)，\(N\neq0\)）答案：BD8.已知\(\log_{10}x=m\)，\(\log_{10}y=n\)，则\(\log_{10}\frac{x^{3}}{\sqrt{y}}\)可表示为（）A.\(3m-\frac{1}{2}n\)B.\(3\log_{10}x-\frac{1}{2}\log_{10}y\)C.\(\frac{6m-n}{2}\)D.\(3m-\frac{n}{2}\)答案：ABCD9.若\(\log_{a}b\)有意义，且\(\log_{a}b\gt0\)，则（）A.当\(a\gt1\)时，\(b\gt1\)B.当\(0\lta\lt1\)时，\(0\ltb\lt1\)C.当\(a\gt1\)时，\(0\ltb\lt1\)D.当\(0\lta\lt1\)时，\(b\gt1\)答案：AB10.关于对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），下列说法正确的是（）A.当\(a\gt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增B.当\(0\lta\lt1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减C.函数图象恒过点\((1,0)\)D.函数的值域为\(R\)答案：ABCD三、判断题1.\(\log_{a}(M+N)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）（×）2.\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(n\inR\)）（√）3.若\(\log_{a}b=c\)，则\(b=a^{c}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）（√）4.\(\log_{2}(-3)\)有意义（×）5.\(\log_{a}a=1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）（√）6.\(\log_{3}6-\log_{3}2=\log_{3}4\)（×）7.对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定义域为\((0,+\infty)\)（√）8.若\(\log_{a}x\gt\log_{a}y\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），则\(x\gty\)（×）9.\(\log_{10}100=2\)（√）10.\(\log_{a}1=0\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）（√）四、简答题1.化简\(\log_{2}32-\log_{2}4\)根据对数运算法则\(\log_{a}M-\log_{a}N=\log_{a}\frac{M}{N}\)，则\(\log_{2}32-\log_{2}4=\log_{2}\frac{32}{4}=\log_{2}8\)。又因为\(2^{3}=8\)，所以\(\log_{2}8=3\)。2.已知\(\log_{3}x=2\)，求\(x\)的值根据对数与指数的关系，若\(\log_{a}b=c\)，则\(b=a^{c}\)。已知\(\log_{3}x=2\)，那么\(x=3^{2}=9\)。3.用\(\log_{a}x\)，\(\log_{a}y\)，\(\log_{a}z\)表示\(\log_{a}\frac{x^{2}\sqrt{y}}{z^{3}}\)根据对数运算法则：\(\log_{a}\frac{x^{2}\sqrt{y}}{z^{3}}=\log_{a}(x^{2}\sqrt{y})-\log_{a}z^{3}\)。\(\log_{a}(x^{2}\sqrt{y})=\log_{a}x^{2}+\log_{a}\sqrt{y}=2\log_{a}x+\frac{1}{2}\log_{a}y\)，\(\log_{a}z^{3}=3\log_{a}z\)，所以\(\log_{a}\frac{x^{2}\sqrt{y}}{z^{3}}=2\log_{a}x+\frac{1}{2}\log_{a}y-3\log_{a}z\)。4.已知\(\log_{a}2=m\)，\(\log_{a}3=n\)，求\(\log_{a}12\)的值因为\(12=2^{2}\times3\)，根据对数运算法则\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)以及\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)，则\(\log_{a}12=\log_{a}(2^{2}\times3)=\log_{a}2^{2}+\log_{a}3=2\log_{a}2+\log_{a}3\)。把\(\log_{a}2=m\)，\(\log_{a}3=n\)代入，得\(\log_{a}12=2m+n\)。五、讨论题1.讨论对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的单调性与\(a\)的取值关系当\(a\gt1\)时，对数函数\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。即对于任意的\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，若\(x_{1}\ltx_{2}\)，则\(\log_{a}x_{1}\lt\log_{a}x_{2}\)。当\(0\lta\lt1\)时，对数函数\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。即对于任意的\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，若\(x_{1}\ltx_{2}\)，则\(\log_{a}x_{1}\gt\log_{a}x_{2}\)。这是由对数函数的性质决定的，其单调性在比较对数大小等方面有重要应用。2.举例说明对数运算法则在实际计算中的应用比如计算\(\log_{2}(8\times16)\)，根据对数运算法则\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)，可将其转化为\(\log_{2}8+\log_{2}16\)。因为\(2^{3}=8\)，\(2^{4}=16\)，所以\(\log_{2}8=3\)，\(\log_{2}16=4\)，那么\(\log_{2}(8\times16)=3+4=7\)。再如计算\(\log_{3}\frac{27}{9}\)，根据\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)，可化为\(\log_{3}27-\log_{3}9\)，\(3^{3}=27\)，\(3^{2}=9\)，即\(\log_{3}27=3\)，\(\log_{3}9=2\)，结果为\(3-2=1\)。3