考研数二历年真题及答案

考研数二历年真题及答案

一、单项选择题1.当\(x\to0\)时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.\(x^2\)B.\(1-\cosx\)C.\(\sqrt{1+x^2}-1\)D.\(x-\sinx\)2.函数\(f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\)在\((-\infty,+\infty)\)上连续，则\(a,b\)的值为（）A.\(a=0,b=0\)B.\(a=1,b=1\)C.\(a=1,b=0\)D.\(a=0,b=1\)3.设函数\(y=f(x)\)由方程\(\cos(xy)+\lny-x=1\)确定，则\(\lim\limits_{n\to\infty}n[f(\frac{2}{n})-1]\)等于（）A.\(2\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(-2\)4.设函数\(f(x)\)具有二阶导数，\(g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x\)，则在区间\([0,1]\)上（）A.当\(f^\prime(x)\geq0\)时，\(f(x)\geqg(x)\)B.当\(f^\prime(x)\geq0\)时，\(f(x)\leqg(x)\)C.当\(f^{\prime\prime}(x)\geq0\)时，\(f(x)\geqg(x)\)D.当\(f^{\prime\prime}(x)\geq0\)时，\(f(x)\leqg(x)\)5.设函数\(y=y(x)\)是微分方程\(y^{\prime\prime}+y^\prime-2y=0\)的解，且在\(x=0\)处\(y(x)\)取得极值\(3\)，则\(y(x)\)等于（）A.\(e^{-2x}+2e^x\)B.\(2e^{-2x}+e^x\)C.\(e^{-2x}+e^x\)D.\(2e^{-2x}+2e^x\)6.已知函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)f(b)\lt0\)，则方程\(f(x)=0\)在\((a,b)\)内（）A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.必有唯一实根7.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组线性相关的是（）A.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)C.\(\alpha_1-2\alpha_2,\alpha_2-2\alpha_3,\alpha_3-2\alpha_1\)D.\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3,\alpha_3+2\alpha_1\)8.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(\alpha\)为\(n\)维列向量，若\(r\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix}=r(A)\)，则线性方程组（）A.\(Ax=\alpha\)必有无穷多解B.\(Ax=\alpha\)必有唯一解C.\(\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0\)仅有零解D.\(\begin{pmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0\)必有非零解9.设\(A\)为\(3\)阶矩阵，将\(A\)的第\(2\)列加到第\(1\)列得矩阵\(B\)，再交换\(B\)的第\(2\)行与第\(3\)行得单位矩阵\(E\)，记\(P_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(P_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)，则\(A\)等于（）A.\(P_1P_2\)B.\(P_1^{-1}P_2\)C.\(P_2P_1\)D.\(P_2P_1^{-1}\)10.设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)为\(n\)阶可逆矩阵，已知向量\(\alpha\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量，则矩阵\((P^{-1}AP)^T\)属于特征值\(\lambda\)的特征向量是（）A.\(P^{-1}\alpha\)B.\(P^T\alpha\)C.\(P\alpha\)D.\((P^{-1})^T\alpha\)答案：1.D2.B3.A4.D5.A6.A7.A8.D9.D10.B二、多项选择题1.下列函数中，在\(x=0\)处可导的有（）A.\(f(x)=|x|^{\frac{1}{3}}\)B.\(f(x)=x|x|\)C.\(f(x)=\ln(1+|x|)\)D.\(f(x)=e^{-|x|}\)2.设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，则（）A.至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)B.至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)C.若\(f(a)=f(b)\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)D.至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b+a)\)3.下列广义积分中收敛的有（）A.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx\)B.\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\lnx}dx\)C.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)D.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)4.设函数\(z=f(x,y)\)具有二阶连续偏导数，且\(\frac{\partialz}{\partialx}\gt0\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\lt0\)，则（）A.\(z\)是\(x\)的增函数B.\(z\)是\(y\)的增函数C.\(z\)是\(x\)的减函数D.\(z\)是\(y\)的减函数5.已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,1,0,1)^T\)，\(\alpha_3=(1,0,1,1)^T\)，\(\alpha_4=(0,1,1,1)^T\)，则（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性无关B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关6.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，下列命题中正确的有（）A.若\(A\)可逆，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆B.若\(A\)不可逆，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的秩小于等于\(1\)C.若\(r(A)=n-1\)，则\(r(A^)=1\)D.若\(r(A)\ltn-1\)，则\(r(A^)=0\)7.设\(A\)为\(3\)阶矩阵，\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)是\(A\)的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，令\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，则（）A.\(A\beta=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\lambda_3\alpha_3\)B.\(A\beta=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\beta\)C.\(\beta\)不是\(A\)的特征向量D.\(\beta\)是\(A\)的特征向量8.设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，下列结论正确的有（）A.\(A\)必可相似对角化B.\(A\)的特征值都是实数C.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵D.\(A\)的不同特征值对应的特征向量相互正交9.设\(A\)和\(B\)为\(n\)阶矩阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值B.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量C.\(r(A)=r(B)\)D.\(|A|=|B|\)10.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(E\)为\(n\)阶单位矩阵，若\(A^2=A\)，则（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)必可相似对角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是可逆矩阵答案：1.B2.AC3.AC4.AD5.BC6.ACD7.AC8.ABCD9.ACD10.ABC三、判断题1.若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定连续。（）2.函数\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的。（）3.若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的定积分存在，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续。（）4.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的偏导数存在，则\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处一定可微。（）5.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。（）6.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，若\(|A|=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）7.若\(A\)和\(B\)为\(n\)阶矩阵，且\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)。（）8.实对称矩阵\(A\)的不同特征值对应的特征向量一定正交。（）9.若\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆，且\((A^)^{-1}=(A^{-1})^\)。（）10.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，若\(A\)与单位矩阵\(E\)相似，则\(A=E\)。（）答案：1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、简答题1.求函数\(y=\frac{x^2}{x-1}\)的单调区间与极值。对函数\(y=\frac{x^2}{x-1}\)求导，根据除法求导法则\(y^\prime=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\lt0\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增；当\(0\ltx\lt1\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减；当\(1\ltx\lt2\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减；当\(x\gt2\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增。所以极大值为\(y(0)=0\)，极小值为\(y(2)=4\)。2.计算定积