全国2卷数学真题及答案

全国2卷数学真题及答案

一、单项选择题1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x-4<0\}\)，\(B=\{-4,1,3,5\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{-4,1\}\)B.\(\{1,5\}\)C.\(\{3,5\}\)D.\(\{1,3\}\)答案：D2.设复数\(z\)满足\((1+i)z=2i\)，则\(\vertz\vert=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)答案：C3.函数\(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^2}\)在\([-\pi,\pi]\)的图象大致为（）答案：D4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.-8B.-6C.6D.8答案：D5.设\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}3x+2y-6\leq0\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)，则\(z=x-y\)的最大值为（）A.0B.1C.2D.3答案：D6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为\(2\)，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.16答案：B7.若\(x=-2\)是函数\(f(x)=(x^2+ax-1)e^{x-1}\)的极值点，则\(f(x)\)的极小值为（）A.-1B.-2e^{-3}C.5e^{-3}D.1答案：A8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座\(7\)层塔共挂了\(381\)盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的\(2\)倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案：B9.已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点，\(A\)是\(C\)的左顶点，点\(P\)在过\(A\)且斜率为\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)的直线上，\(\trianglePF_1F_2\)为等腰三角形，\(\angleF_1F_2P=120^{\circ}\)，则\(C\)的离心率为（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：D10.若函数\(f(x)=\cos2x+a\sinx\)在区间\((\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})\)是减函数，则\(a\)的取值范围是（）A.\((-\infty,2]\)B.\((-\infty,2)\)C.\((4,+\infty)\)D.\([4,+\infty)\)答案：A二、多项选择题1.下列函数中，值域是\((0,+\infty)\)的是（）A.\(y=\sqrt{x^2-2x+1}\)B.\(y=\frac{x+2}{x+1}(x\in(0,+\infty))\)C.\(y=\frac{1}{x^2+2x+1}\)D.\(y=2x+1(x>0)\)答案：BC2.已知\(a,b,c\)为实数，且\(a>b\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)C.\(ac^2\geqbc^2\)D.\(a+c>b+c\)答案：CD3.已知直线\(l\)过点\((1,0)\)且垂直于\(x\)轴，若\(l\)被抛物线\(y^2=4ax\)截得的线段长为\(4\)，则抛物线的焦点坐标为（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)答案：AB4.下列关于向量的运算，一定成立的是（）A.\(\overrightarrow{a}^2=\vert\overrightarrow{a}\vert^2\)B.\((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2\cdot\overrightarrow{b}^2\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2\)D.\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\vert\leq\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\)答案：AD5.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,\vert\varphi\vert<\frac{\pi}{2})\)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，且\(f(\frac{\pi}{12})=1\)，则（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)C.\(f(x)\)在\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上单调递增D.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称答案：ACD6.已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列，其前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3=6\)，\(S_3=12\)，则（）A.\(a_n=2n\)B.\(S_n=n^2+n\)C.\(a_4=8\)D.\(S_4=20\)答案：ABD7.已知圆\(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，直线\(l\)过点\((0,3)\)，且与圆\(C\)交于\(A,B\)两点，若\(\vertAB\vert=2\sqrt{3}\)，则直线\(l\)的方程为（）A.\(y=3\)B.\(4x-3y+9=0\)C.\(3x-4y+12=0\)D.\(x=0\)答案：AB8.对于函数\(f(x)=\frac{1}{x}(x>0)\)，下列说法正确的是（）A.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减B.\(f(x)\)的值域是\((0,+\infty)\)C.\(f(x)\)的图象关于原点对称D.\(f(2)<f(3)\)答案：AB9.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的离心率为\(\sqrt{3}\)，则双曲线\(C\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\sqrt{2}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x\)C.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)D.\(y=\pm2x\)答案：AB10.已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x+2)\)是偶函数，\(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上单调递减，则（）A.\(f(0)<f(3)\)B.\(f(-2)>f(3)\)C.\(f(-1)=f(3)\)D.\(f(1)>f(3)\)答案：ABD三、判断题1.若\(a,b\)为实数，则\(a>b\)是\(a^2>b^2\)的充分不必要条件。（×）2.函数\(y=\sinx+\cosx\)的最大值为\(2\)。（×）3.直线\(x+2y-3=0\)与圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)相交。（√）4.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。（√）5.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=2a_n\)，则\(\{a_n\}\)是等比数列。（×）6.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率为\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)。（√）7.函数\(y=\log_2(x^2+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（√）8.若\(a,b\)是异面直线，\(b,c\)是异面直线，则\(a,c\)也是异面直线。（×）9.不等式\(x^2-5x+6<0\)的解集是\((2,3)\)。（√）10.函数\(y=2^x\)与\(y=\log_2x\)的图象关于直线\(y=x\)对称。（√）四、简答题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_5=25\)可得\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)，即\(a_1+2d=5\)。联立方程组\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+2d=5\end{cases}\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函数\(f(x)\)的单调区间。答案：对\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，即\(3x(x-2)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此时函数\(f(x)\)单调递增；令\(f^\prime(x)<0\)，即\(3x(x-2)<0\)，解得\(0<x<2\)，此时函数\(f(x)\)单调递减。所以\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。3.已知圆\(C\)的圆心在直线\(y=x+1\)上，且过点\(A(1,3)\)，\(B(2,2)\)，求圆\(C\)的方程。答案：设圆\(C\)的圆心坐标为\((a,b)\)，半径为\(r\)。因为圆心在直线\(y=x+1\)上，所以\(b=a+1\)。圆\(C\)过点\(A(1,3)\)，\(B(2,2)\)，则\((a-1)^2+(b-3)^2=r^2\)，\((a-2)^2+(b-2)^2=r^2\)。将\(b=a+1\)代入上述方程，解得\(a=0\)，\(b=1\)，\(r^2=5\)。所以圆\(C\)的方程为\(x^2+y^2-2y-4=0\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，求向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角的余弦值。答案：根据向量的夹角公式\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}\)。先求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-3)+2\times4=5\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert