（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测3.1.2 椭圆的简单几何性质（解析版）

第页3．1.2第1课时椭圆的简单几何性质知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)【题型目录】题型一、椭圆的简单几何性质命题点1椭圆的焦点、焦距、顶点、长短轴命题点2椭圆上点到焦点的距离及最值命题点3椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值命题点4椭圆中焦点三角形的周长问题命题点5椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值命题点6椭圆中焦点三角形的面积问题题型二、由椭圆的几何性质求标准方程命题点1根据方程表示椭圆求参数的范围命题点2根据椭圆方程求a、b、c命题点3椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征命题点4求椭圆上点的坐标命题点5根据a、b、c求椭圆的标准方程命题点6根据椭圆过的点求标准方程题型三、求椭圆的离心率命题点1椭圆的焦点、焦距、顶点、长短轴1．已知椭圆与，则两个椭圆（

）A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.【详解】将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，则，所以．将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，则，所以，故选:D．2．求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：(1)；(2)．【答案】(1)长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，(2)长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.【分析】把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.【详解】(1)整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，(2)，整理为：，焦点在y轴上，则，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为命题点2椭圆上点到焦点的距离及最值3．若椭圆C：，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）A．3B．2＋C．2D．＋1【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.【详解】由题意知，距离的最大值为；故选：A.4．焦点在x轴上的椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为__________．【答案】【分析】由题意列不等式求解【详解】由题意得，即，解得，故答案为：命题点3椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值5．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.【详解】设点的坐标为，其中，由，可得，又由，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.6．已知点F为椭圆C：的右焦点，点P为椭圆C与圆的一个交点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．【答案】A【解析】求出椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义进行转化，即可求解．【详解】由题意，点F为椭圆C：的右焦点，则，左焦点为，圆的圆心坐标为，半径为4，可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，又由P为椭圆C与圆的一个交点，根据椭圆的定义可得，所以．故选：A．7．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.【答案】或【解析】点，易得点P到轴的距离为，然后分或，，三种情况结合椭圆的定义求解.【详解】设点，则到轴的距离为，因为，，，当或时，则，得，，即到轴的距离为．当时，则，，，，由（1）（2）知：到轴的距离为或，故答案为：或．8．已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．【答案】最大值为，最小值为11【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解.【详解】因为P是椭圆上一点，所以，且椭圆焦点在y轴上，点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，则，所以，，，因为，当时，，所以当时，.命题点4椭圆中焦点三角形的周长问题9．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知∴故选：C10．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．【答案】【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点，再根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：椭圆，所以，即、，直线过左焦点，所以，，，所以；故答案为：11．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．【答案】10【分析】连接，，则由椭圆的中心对称性将的周长转化为，所以当取最小值时，周长最小【详解】解：椭圆的方程为，∴，，，连接，，则由椭圆的中心对称性可得的周长，当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，．故答案为：10命题点5椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值12．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.【详解】椭圆的，如图，设椭圆的右焦点为，则；；由图形知，当在直线上时，，当不在直线上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，，当在的延长线上时，取得最小值的最小值为．故选：C．13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（

）A． B．13 C．3 D．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B14．已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为__________，此时直线PQ的斜率为____________.【答案】

1【分析】利用椭圆定义将转化为，结合图形可解.【详解】如图，由题可知，圆C的圆心坐标为（，2），半径为1，设椭圆E的左焦点为.椭圆中，，，则，当F1、P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为.故答案为：，1命题点6椭圆中焦点三角形的面积问题15．已知点分别是椭圆的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题干中的几何条件求出与的值，然后根据余弦定理求出，最后利用面积公式进行求解即可.【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.所以，解得.则由余弦定理可知，代入化简可得，则.故选：B.16．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若的面积为9，求实数b的值．【答案】【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为，所以，所以为直角三角形，，，，即，，所以，所以．所以；综上，b=3.题型二、由椭圆的几何性质求标准方程命题点1根据方程表示椭圆求参数的范围17．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B18．（多选）在曲线中，（

）A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆B．当时，则曲线C为椭圆C．曲线C关于直线对称D．当时，则曲线C的焦距为【答案】ABD【分析】将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出的关系即可判断AB，求出椭圆的焦距即可判断D，根据椭圆的对称性即可判断C.【详解】解：将曲线化为，对于A，当时，则，所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；对于C，当时，曲线C为椭圆，椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；对于D，当时，则曲线C为椭圆，则曲线C的焦距为，故D正确.故选：ABD.19．方程表示椭圆的充要条件是__________．【答案】答案不唯一【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.【详解】方程表示椭圆,则必有解之得或故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）命题点2根据椭圆方程求a、b、c20．椭圆与椭圆的（

）A．长轴相等 B．焦距相等C．短轴相等 D．长轴、短轴、焦距均不等【答案】B【分析】根据题意求出相关椭圆的a，b，c即可.【详解】对于椭圆：，a=3，b=2，，对于椭圆：，，，，所以两椭圆焦距相等；故选：B.21．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解；【详解】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即，又，所以，由，所以；故选：A22．若椭圆的一个焦点是，则实数___________.【答案】1【分析】由题可得，求出即可.【详解】由题可得椭圆的焦点在轴上，，解得.故答案为：1.命题点3椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征23．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题知，再解不等式即可.【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得：．故选：D．24．曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．【答案】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.命题点4求椭圆上点的坐标25．已知，为椭圆的左､右焦点，P为椭圆上一点，若，则P点的横坐标为（

）A． B． C．4 D．9【答案】B【分析】设，，根据向量的数量积得到，与椭圆方程联立，即可得到答案；【详解】设，，，与椭圆联立，解得：，故选：B26．已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标．【答案】【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标．【详解】解：由已知，，，，，而，所以，，因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上，因此，解得，所以点P的坐标为．命题点5根据a、b、c求椭圆的标准方程27．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．【答案】(1)；(2)或；(3)；(4).【分析】（1）由、、和长轴在x轴上，可得答案；（2）若焦点在x轴上，则，由、得椭圆的标准方程；若焦点在y轴上，则，由，得椭圆的标准方程；（3）分析知结合可得椭圆的标准方程；（4）椭圆化为标准形式可得焦点在y轴上，可设所求椭圆的方程为，利用焦点坐标、可得求椭圆的标准方程．【详解】（1）由题意，可知，，得，，从而，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为．（2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以，此时椭圆的标准方程为，若焦点在y轴上，则，由，得，此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或．（3）分析知，，故椭圆的标准方程为．（4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的方程为，则，又，即，所以，则所求椭圆的标准方程为．命题点6根据椭圆过的点求标准方程28．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，焦距为，且经过点；(2)经过点，.【答案】(1)；(2)【分析】（1）设椭圆方程为，由焦距和椭圆关系可得，将代入椭圆方程即可求得，由此可得结果；（2）设椭圆方程为，将坐标代入椭圆方程即可求得，由此可得结果.【详解】（1）设椭圆方程为：，椭圆焦距为，，，又椭圆过点，，解得：，，椭圆方程为：.（2）设椭圆方程为，椭圆过点，，，解得：，椭圆方程为：.题型三、求椭圆的离心率29．若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，由此求得椭圆的离心率.【详解】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为.故选：C30．已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件可得，然后即可建立方程求解.【详解】由椭圆的方程可得当时，所以，因为，所以，所以，所以，解得或（舍）故选：B31．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用结论建立不等式即可求解.【详解】根据题意作图如下：由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆C上存在点（）使得，则，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴椭圆离心率的取值范围为，故选:B．32．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.【答案】【分析】由已知可得点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆.再结合点总在椭圆内部可列出关于的不等式进而求解.【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为∴点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆.又点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即，，即.故答案为：.

·33．已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______．【答案】【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点，连接，，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，则，，，而，所以，所以，在中，，整理，得，即，由解得.故答案为：.1．椭圆的长轴长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程改成椭圆的标准方程形式，通过可得，故，继而求出答案【详解】解：椭圆方程可化为，由题意知，所以，所以，即椭圆的长轴长，故选：C2．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（

）．A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等【答案】B【分析】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果．【详解】解：椭圆，可知，，，长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．椭圆中，，，，长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．故选：B．3．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上，若，则点P的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知求得，再由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得选项.【详解】因为椭圆，所以所以，所以，设，则，又，解得或，而，所以，故选：D.4．已知椭圆的左､右焦点分别为､，点在椭圆上，若､､是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（

）A． B．3 C．或 D．【答案】D【分析】根据题意分类讨论：（1）当；（2）当（或），分别求解出符合条件的点坐标，由此得到结果.【详解】当（或）时，，所以点到轴的距离为；当时，设，所以，所以，所以，此时无解；所以点到轴的距离为，故选：D.5．椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，则点到轴的距离为（

）A．2.4 B．2.8 C．4.0 D．4.8【答案】D【分析】先根据椭圆的定义，求出，，观察到是直角三角形，利用面积求解点到轴的距离.【详解】因为，，所以，所以，不妨设，过点作⊥y轴于点B，点到轴的距离为的长，因为，，所以，因为，则，所以，则，所以故选：D6．（多选）设P是椭圆上的动点，则（

）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C．点P到左焦点距离的最大值为D．点P到左焦点距离的最大值为【答案】AC【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，故选：AC7．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（

）A．9 B．3 C．4 D．8【答案】B【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解【详解】法一：设，，则，，∴．又，∴，解得．法二：由焦点三角形面积公式得故选：B8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求出B点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.【详解】左、右焦点分别为，，上顶点为，∴，设，则，由，根据勾股定理，有，即解得，即，由，，，，三点共线，∴，代入椭圆方程，有，化简得，所以椭圆离心率为.故选：B9．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．10．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件．【答案】必要不充分【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案.【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；当为椭圆，则，可得且，必要性成立；综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分11．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.【答案】【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．【详解】解：圆，圆心为，半径为4，因为线段的垂直平分线交于点，所以，所以．所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．故答案为：．12．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.【答案】【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，即，根据椭圆的定义，可得，则，所以，当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，此时，所以的最大值为.故答案为：.13．已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为________.【答案】【分析】首先求出椭圆的焦点，再判断点在椭圆外，最后根据两点间线段最短求出的最小值；【详解】解：椭圆：中，，所以，所以为椭圆的左焦点，又点，则，所以点在椭圆外，所以当点为线段与椭圆的交点时最小，其最小值为.故答案为：14．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．【答案】【分析】首先根据椭圆定义可得，当三点不共线时，必要，如图，当点运动到的延长线和椭圆交点时，取得最大，即可得解.【详解】根据题意椭圆方程为，所以，，所以，，故，如图，根据椭圆定义可得：，当点运动到的延长线和椭圆交点时，取得最大，此时，所以的最大值为.故答案为：15．椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．【答案】答案见解析【分析】将椭圆方程化为标准方程，分别求出，从而可求出答案.【详解】解：化椭圆方程为标准方程得，则，所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8，顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，图像如图所示：16．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点．(1)求满足条件的椭圆方程；(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．【答案】(1)(2)长半轴的长为，顶点坐标为、、、，离心率为．【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解椭圆方程；（2）根据椭圆的几何性质求解.（1）设椭圆的标准方程为，则所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，椭圆的长半轴长为，顶点坐标为、、、，离心率.1．已知椭圆的焦点为，点满足，则（）A．点在椭圆外B．点在椭圆内C．点在椭圆上D．点与椭圆的位置关系不能确定【答案】A【分析】结合椭圆定义可确定点在椭圆外.【详解】若在椭圆上，则，，点在椭圆外.故选：A.2．曲线与曲线的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D3．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.因为，所以.故选：D4．方程表示的曲线是（

）A．一个椭圆和一个点 B．一个双曲线的右支和一条直线C．一个椭圆的一部分和一条直线 D．一个椭圆【答案】C【分析】由可得，或，再由方程判断所表示的曲线.【详解】由可得，或，即或，则该方程表示一个椭圆的一部分和一条直线.故选：C5．椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】设，代入椭圆方程；根据及向量垂直的坐标关系，可得解方程组即可求得的值，进而可得M到y轴的距离.【详解】设，点M在椭圆上，所以椭圆的焦点为，，则，，所以，，由，可得，化简可得联立可解得，故M到y轴的距离为，故选：C.6．椭圆，分别为椭圆的两焦点，点为椭圆上一点且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义及勾股定理，列出，，联立求解值，根据三角形面积，即可求解点到轴的距离.【详解】由题意，点为椭圆上一点，则，两边平方，得又，则，两式相减，得则点到轴的距离故选：7．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（

）A．4 B．8 C．10 D．20【答案】D【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.【详解】解：设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，，当不共线时，，所以△ABF周长的最大值为20.故选：D.8．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值.【详解】椭圆上的点P满足，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B9．“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】可以先利用椭圆的方程的特征得到所给方程表示椭圆的充分必要条件，然后作出判定；也可以通过举反例得到结论.【详解】[解法一]方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是,显然“，”是“”既不充分也不必要条件，故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，[解法二]当时，满足“，”，此时题中方程可化为：,表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，故选：10．若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】首先根据已知条件得到，，即可得到，，，再分类讨论即可得到答案.【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，所以，设，，，，因为焦点到椭圆上点的最短距离为，所以，即.，，.当焦点在轴时，椭圆的方程为，当焦点在轴时，椭圆的方程为.故选：B11．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．【详解】由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．12．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点满足（是坐标原点），则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，即可得到，从而得到，再根据，转化为的一元二次方程，解得即可.【详解】解：依题意，，，所以，又，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去）；故选：B13．离心率和椭圆形状的有关，据此判断椭圆和，则和哪个图形更为扁平（

）A． B．C．相同 D．无法判断【答案】A【分析】分别计算出两个椭圆的离心率，然后比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁就越扁.【详解】在椭圆中，，，.在椭圆中，，，.，椭圆的图形更为扁平一些.故选：A.14．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．∵使为直角三角形的点有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，∴，∴，又，解得.方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,又，故.故选：A．15．已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由几何关系得，再由椭圆性质求解【详解】由题意为直角三角形，，而，则，又，∴，，由椭圆的定义知，，∴离心率为．故选：A16．已知F是椭圆的右焦点，B为C的上顶点，原点O到直线BF的距离为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意求出直线BF的方程，由原点O到直线BF的距离公式代入即可得出答案.【详解】因为F是椭圆的右焦点，B为C的上顶点，所以，所以直线BF的方程为：，化为一般式方程为：，所以原点O到直线BF的距离为，所以.故选：D.17．（多选）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（

）A．M到两定点，的距离之和为4B．M到两定点，的距离之和为6C．M到两定点，的距离之和为6D．M到两定点，的距离之和为8【答案】BD【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，故选：BD18．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（

）A．的周长为4B．的周长为8C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案.【详解】由题意，椭圆，可得，则，则的周长为，又由椭圆的几何性质，可得椭圆上的点到焦点的最短距离为.故选：BC19．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆的圆心为，，圆的圆心为，，设动圆的圆心为，半径为，由题意得，，则，，由椭圆定义得的轨迹方程为，故答案为：20．若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．【答案】【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴，再由点到椭圆一个焦点的距离为，利用椭圆的定义即可算出点到另一焦点的距离.【详解】椭圆方程为：椭圆的焦点在轴上，且可得，即又由椭圆的定义：解得：点到另一个焦点的距离为故答案为：.21．已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________．【答案】【分析】将求最大值的问题，转化为求点到圆心距离最大值的问题，结合点满足椭圆方程，代值计算即可.【详解】不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最大值，即为的最大值与圆的半径之和.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.22．已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为___．【答案】20【分析】利用椭圆的定义有，进而求△的周长即可.【详解】由椭圆方程知：，而，又△ABF2的周长是.故答案为：20．23．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．【答案】【分析】设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.【详解】由题,设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,.故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故答案为：.24．已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为__________