（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测3.3.2 抛物线的简单几何性质（解析版）

第第页3．3.2抛物线的简单几何性质知识点一抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p知识点二直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．知识点三抛物线的常用推论1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).【题型目录】题型一、抛物线的几何性质的应用题型二、直线与抛物线的位置关系命题角度1直线与抛物线位置关系的判断命题角度2直线与抛物线的相交问题题型三、抛物线的综合问题题型一、抛物线的几何性质的应用1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2【答案】B【详解】因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.2．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选．3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则抛物线的焦点坐标为()A．(2,0)B．(1,0)C．(8,0)D．(4,0)答案B解析因为eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，于是b2＝3a2，则eq\f(b,a)＝eq\r(3)，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，则|AB|＝eq\r(3)p，又三角形的高为eq\f(p,2)，则S△AOB＝eq\f(1,2)·eq\f(p,2)·eq\r(3)p＝eq\r(3)，即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．题型二、直线与抛物线的位置关系命题角度1直线与抛物线位置关系的判断4．抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能【答案】B【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论．【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.故选：B5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（

）A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3，0)D．(－2，0)【答案】A【分析】先根据直线与圆相切求出与的关系，再把直线与抛物线联立运用判别式求解.【详解】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.故选：A6．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．【答案】相切【分析】通过比较圆心到准线的距离与圆的半径的大小判断以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系.【详解】过点作垂直与准线，垂足为，过点作垂直与准线，垂足为，设的中点为，点作垂直与准线，垂足为，所以，由抛物线定义可得，，所以，又，所以，即圆心到准线的距离为圆的半径，所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.故答案为：相切.命题角度2直线与抛物线的相交问题7．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，分析出点为的中点，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】过点作，垂足为点，作，垂足为点，，所以，四边形为矩形，所以，，因为，所以，，故，由抛物线的定义可得，，所以，，即.故选：A.8．过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（

）A． B． C．12 D．【答案】C【分析】设，，联立直线与抛物线的方程消元，然后可得，，然后根据求出的值，然后可得答案.【详解】，当直线的斜率不存在时，不满足题意，所以直线的斜率存在，设，将代入直线方程整理得，所以，，所以，所以，故选：C9．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．【详解】抛物线，可知，设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，过焦点的弦，，∴，故选：D．10．已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.【答案】1【分析】根据通径公式，即可求解.【详解】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就是通径，即，.故答案为：111．已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为_____．【答案】5【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析即可．【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，即．分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有.过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，，即到准线的距离为5．故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．12．过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________．【答案】或【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.【详解】如图所示，由抛物线的焦点为，准线方程为，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：则，，，所以，，所以，即直线l的倾斜角等于，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为.故答案为：或13．过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为_______________.【答案】【分析】设直线的方程为：，，，，，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入得，，显然当时，的值取到最小值．【详解】解：设直线的方程为：，，，，，联立方程，消去得：，，，，当时，的值取到最小值，最小值为，故答案为：．14．已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点.(1)求证：；(2)求的面积S.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据，结合韦达定理运算处理；（2）根据点到直线距离公式结合弦长公式运算求解.【详解】（1）设由，消得：又，，即（2）点到直线的距离

15．已知抛物线E：y2＝8x．(1)求抛物线的焦点及准线方程；(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．【答案】(1)焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；(2)y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；(3)4x-3y+1＝0.【分析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程．【详解】(1)由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2．(2)当直线l1的斜率为0时，y＝1；当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，联立，得y2-8my+8m+8＝0，因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0．(3)由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，两式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝0．题型三、抛物线的综合问题16．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：eq\f(k1,k2)为定值．【详解】(1)解依题意，设AB的方程为x＝my＋2，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.(2)证明设M(x3，y3)，N(x4，y4)，eq\f(k1,k2)＝eq\f(y3－y4,x3－x4)×eq\f(x1－x2,y1－y2)＝eq\f(y3－y4,\f(y\o\al(2,3),4)－\f(y\o\al(2,4),4))×eq\f(\f(y\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,2),4),y1－y2)＝eq\f(y1＋y2,y3＋y4)，设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，eq\f(k1,k2)＝eq\f(y1＋y2,y3＋y4)＝eq\f(y1＋y2,\f(－4,y1)＋\f(－4,y2))＝eq\f(y1y2,－4)，由(1)知y1y2＝－8，所以eq\f(k1,k2)＝2为定值．17．已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))的距离小1.①求动点P的轨迹C的方程；②设斜率为－1且不过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.【详解】①解依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，准线为x＝－1，设其方程为y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))，则eq\f(p,2)＝1，解得p＝2，所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>0)).②证明设直线AB：y＝－x＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b≠3))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝－x＋b，))得y＝－eq\f(y2,4)＋b，即y2＋4y－4b＝0，Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝eq\f(y\o\al(2,1),4)，x2＝eq\f(y\o\al(2,2),4)，所以k1＋k2＝eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＋eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2)),y\o\al(2,2)－4)＋eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－2)),y\o\al(2,1)－4)＝eq\f(4,y2＋2)＋eq\f(4,y1＋2)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋2＋y2＋2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋2)))＝0.因此k1＋k2＝0.1．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.【详解】因为，根据抛物线定义有：，设与轴的交点为，因为，所以.因为，所以.故A，C，D错误.故选：B.2．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案.【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线，故选：D3．（多选）已知直线与抛物线相切，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】将直线方程与抛物线的方程联立，由可求得的值.【详解】联立可得，由题意可得，解得.故选：BC.4．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.【答案】2【分析】结合图像，可知且|AB|≤|AF|＋|BF|，由此可得|MM1|≥3，进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.【详解】由题意知，抛物线的准线l：，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，如图，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则，因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，又，所以|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，故|MM1|≥3，所以点M到x轴的距离，故最短距离为2.故答案为：2.5．已知抛物线：的焦点为，第一象限的，两点在上，若，，，若直线的倾斜角为，则________．【答案】【分析】利用抛物线的几何性质，以为斜边，构建直角三角形即可求解.【详解】如图所示，设C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作于点P．由抛物线的定义可知，，所以．又因为，，所以，所以直线AB的斜率，所以.故答案为：.6．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则面积的最小值为___________.【答案】1【分析】设，，联立抛物线可得，再由及三角形面积公式，应用基本不等式求最小值，注意取值条件.【详解】由，故可设，代入，得，设，，不妨令，，∴∴当且仅当时取等号，此时轴.故面积的最小值为1.故答案为：17．设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则_________.【答案】或【分析】由题意设出和点B的横坐标为，由抛物线的定义和可得出点，分情况求出直线斜率，得出对应的倾斜角，即可求出.【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为：，因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，依题意，，解得，则或，若点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，所以为或.故答案为：或.8．过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.【答案】【分析】由抛物线方程可得焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理与弦长公式求得的值，进而得到答案.【详解】由题，抛物线的焦点为，设过的直线为，，，由，得：，则，所以，所以，所以该直线方程为，即，故答案为：9．已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；（2）可知直线AB的方程为，设点，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值【详解】（1）由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，所以动点M的轨迹方程是（2）由已知可得直线的方程是即，设，由得，，所以，则，故10．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．(1)若的倾斜角为且过点F，求；(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.【详解】（1）因为的倾斜角为，，所以直线的方程为，联立可得，设，则，所以；（2）设，则，所以，因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，所以的斜率为，所以的方程为，即.11．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)；(2)或或.【分析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【详解】(1)因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.(2)当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.1．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.【详解】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.所以抛物线的方程为或故选：D【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.2．已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上都有可能【答案】A【分析】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，联立直线方程与抛物线方程，根据根的判别式即可得出结论．【详解】解：圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心坐标为（﹣2，1），代入抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴抛物线C1：y＝4（x+1）2﹣3．将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3：y＝4x2，联立，消整理得，，所以直线l与抛物线C3相交，故选：A．3．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（

）A．4 B．12 C．4或16 D．4或12【答案】A【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.设，，因为，，所以.因为，所以，.设直线的方程为，联立方程组得，则.因为，所以或.因为，所以，故.故选：A4．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值，即可求解【详解】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3，所以，得，因为，所以，所以，得，所以的值为，故选：C5．已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（

）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点A在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：【答案】B【分析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确．【详解】依题意得，抛物线的焦点为，准线为，对于A，直线过焦点，，当垂直于轴时，取最小值，此时，故A正确；对于B，由题可知，直线为，代入，整理得，解得或，所以，，即，故B错误；对于C，由于A，为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故C正确；对于D，依题意，，故，即，同理可得，故直线方程为，故D正确．故选：B.6．过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（

）A．或 B．或 C．或 D．与p值有关【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.【详解】如图所示，由抛物线的焦点为，准线方程为，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：则，，，所以，，所以，即直线l的倾斜角等于，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为，故选：C．7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（

）A．40 B．36 C．28 D．24【答案】B【分析】利用抛物线定义加韦达定理以及基本不等式即可求解.【详解】方法一:设,由抛物线的定义，知,当直线的斜率不存在，即时，直线方程为，则，当直线的斜率存在，即时，联立化简得，由韦达定理得，，所以的最小值为36.故选:B.抛物线的焦点在直线上，，（结论：为抛物线的焦点弦，为定值）故选:B.8．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，则，故，此时，即，则直线AF的方程为，即，代入得，解得（舍）或，则，故选：B．9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（

）A．的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4【答案】CD【分析】设，求出的长，由二次函数性质得最小值判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错；抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；记抛物线的准线为，准线方程为，过作于，过作于，则，，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：CD．10．（多选）泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转转瞬间无处寻觅，已知，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离大.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是（

）A．是“最远距离直线”B．不是“最远距离直线”C．点的轨迹与直线是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点）D．点的轨迹曲线是一条线段【答案】BCD【分析】根据题意可判断点的轨迹是以为焦点的抛物线，求得抛物线方程，与直线方程联立即可判断.【详解】点到点的距离比到直线的距离大，点到点的距离等于到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点的抛物线，故D错误；则可得点的轨迹方程为，联立方程可得，则，有解，故是“最远距离直线”，故A正确；联立方程可得，则，有解，故是“最远距离直线”，故B错误；联立方程，可解得，故两个轨迹有交点，故C错误.综上，选项BCD错误.故选：BCD.11．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则_________．【答案】【分析】先设出切线方程与抛物线方程联立，令可求出切线斜率；再求出切线方程及切点坐标；然后即可求出.【详解】切线过点，且交抛物线于两点，切线斜率存在，设切线斜率为,则过的切线方程为,联立，则，令，，切线的方程分别为：和，联立，则，，，同理可知;,,.故答案为：12．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.【答案】4【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，因为且，所以，即，所以，可得，因为，所以.故答案为：.13．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．【答案】【分析】利用抛物线的焦半径公式列方程求得直线的倾斜角，即可求得直线的斜率【详解】设直线的倾斜角为，则．因为线段的长是焦半径长的3倍，所以，故，当时，，，则，解得，所以直线的斜率为同理可得当时，，所以直线的斜率为．综上，直线的斜率为故答案为：14．设过点K(-1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，为抛物线的焦点，若|BF|=2|AF|，则cos∠AFB=_______．【答案】【分析】根据已知设直线方程为与C联立，结合|BF|=2|AF|，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.【详解】令直线的方程为将直线方程代入批物线C:的方程，得令且，所以由抛物线的定义知，由|BF|=2|AF|可知，，则，解得：，，则A，B两点坐标分别为，则则.故答案为：15．已知抛物线焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M､N两点，P为抛物线C准线l上一点且，连接PM交y轴于Q点，过Q作于点D，若，则___________.【答案】【分析】设出直线的方程，与抛物线联立，得出韦达定理，再利用相似比得出即可求出.【详解】设，直线的方程为，联立，可得，所以①，②，因为，可得，由题可得，所以，则，整理可得③，联立①②③，解得，，所以.故答案为：.16．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．(1)求p的值；(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线的方程，与抛物线进行联立可得，利用韦达定理可得，即可得到答案【详解】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，所以；（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，则直线的方程为设，联立，整理可得，所以，由抛物线的性质可得．17．已