【课件】三角形的内角课件+2025-2026学年人教版八年级数学上册+

人教版·八年级数学上册13.3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和13.3三角形的内角与外角

学习目标经历探究活动的过程，多角度探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性.获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°.应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力.情境导入请你帮忙评判一下这些关于三角形内角和的观点！【提示：本页音频单击鼠标播放，点击喇叭显示对话文字】我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！我是直角三角形，我的形状最大，我的内角和肯定最大！我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！(有误差)(只能对有限个三角形使用这些方法)在小学我们已经知道，三角形的内角和等于180°，我们是如何验证这一结论的？1测量2剪拼方法3折叠方法【提示：方法2和3有链接，点击对应方法打开文件】探究新知知识点

三角形的内角和这样的方法获得的结论可靠吗？这些验证不是数学证明，需要通过推理的方法来证明.知识点

三角形的内角和三角形三个内角的和等于180°.命题证明ABC已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.画图写出已知求证证明过程？你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？探究知识点

三角形的内角和ABCABCBCBABCAABC······将三个角拼合到一起的目的是什么？为了得到一个平角.有了平角，根据平角定义，就得到了180°.知识点

三角形的内角和从下图给出的操作过程中，你能发现证明的思路吗？BBCCAlABCl12345直线l

与△ABC

的边BC

有什么关系？直线l∥BC证明思路：过点A作直线l//BC由平行线的性质，转移∠B和∠C由平角定义得到180°知识点

三角形的内角和ABCl12345已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，过点A作直线l，使l//

BC.∵l//

BC，∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).有其他证法吗？知识点

三角形的内角和三角形的内角和定理ABC三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°知识点

三角形的内角和BBCAAl从下图给出的操作过程中，你能发现其他证明的思路吗？探究ABCl12345知识点

三角形的内角和延长BC，过点C作直线l，使l//

AB.∵l//

AB，∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等).且∠2=∠5.∵∠3，∠4，∠5组成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定义).ABCl12345证法2：(两直线平行，同位角相等).通过前面的操作和证明过程，你有什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？CAB12345lP6mCAB12345lP6mnCAB12345lP6mn借助平行线“移角”功能，将三个角转化成一个平角.转化思想知识点

三角形的内角和①依据平角定义，得到180°除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？思路②如何添加辅助线？利用平行线的性质，转移角添加平行线(辅助线)②两直线平行，同旁内角互补ABCl21F1423DEABC知识点

三角形的内角和证法三证法四针对训练如图，说出各图中∠1的度数.

30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68°∠1=180°–50°–80°=50°∠1=180°–105°–30°=45°∠1=180°–22°–90°=68°例1

如图，在△ABC

中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD

是△ABC的角平分线.求∠ADB

的度数.教材P12例题第1题ACBDACBD教材P12例题第1题解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD

=180°–75°–

20°=85°.∠BAD＝

∠BAC＝20°.教材P12例题第2题例2

下图是

A，B，C三岛的平面图，C岛在

A岛的北偏东50°方向，B岛在

A岛的北偏东80°方向，C岛在

B岛的北偏西40°方向.从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从

C岛看

A，B两岛的视角∠ACB呢？北北CABDE80°40°？50°？教材P12例题第2题分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB.北北CABDE80°40°？50°？教材P12例题第2题解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=

80°–

50°

=30°.由

AD//

BE，得

∠BAD+∠ABE

=180°.在△ABC中，∠ACB

=

180°–∠ABC–∠CAB

=180°–60°–30°

=

90°.答：从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是60°，

从

C岛看

A，B两岛的视角∠ACB是90°.所以∠ABE=180°–∠BAD=

180°–80°

=100°，∠ABC=∠ABE

–∠EBC=100°–

40°

=

60°.北北CABDE80°40°50°你还能给出其他解法吗？教材P12例题第2题解：过点C作CF//AD，则CF//BE.∴∠1=∠3，∠2

=∠4

(两直线平行，内错角相等)∴∠ACB

=

∠1

+∠2

=

∠3+∠4

=50°+40°=

90°

(等量代换)所以∠ABC=

180°–∠BAD

–∠4

=

180°–80°–40°=

60°.由

AD//

BE，得

∠BAD+∠ABE

=180°.北北CABDE80°40°50°12F34答：从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是60°，

从

C岛看

A，B两岛的视角∠ACB是90°.随堂演练教材P13练习第1题1.如图，从A处观测C

处的仰角∠CAD=30°，从B

处观测C

处的仰角∠CBD=45°.从C

处观测A，B

两处的视角∠ACB

是多少度？CABD随堂演练教材P13练习第1题CABD解：在△ABC中，∠ACD=180°–(∠BAD+∠CAD)

=180°–(30°

+

90°)=60°

.在△BCD中，∠BCD=

180°–(∠CBD+∠D)

=180°–(45°

+

90°)=45°

.∴∠ACB=∠ACD–∠BCD

=60°–45°

=15°

.随堂演练教材P13练习第2题2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED

的度数.CABDE随堂演练教材P13练习第2题CABDE解：在△ADE中，∠ACD+∠AED=180°–∠A

=180°–40°=140°

.在△ABC中，∠B+∠C=180°–∠A

=180°–40°=140°

.∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°

=280°

.随堂演练3.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.（1）若∠A=95°，∠B=40°，则∠C=_____；（2）若∠A:∠B

:∠C=4:5:9，则∠C=_____；（3）若∠A=2∠B=6∠C，则∠B=_____.（1）∠C=180°–∠A–∠B45°（2）设∠A=4x°，则∠B=5x°，∠C=9x°∴4x+5x+9x=180解得x=1090°54°（3）设∠C=x°，则∠A=6x°，∠B=3x°∴6x+3x+x=180解得x=18课堂小结证法转化为一个平角或同旁内角互补应用求角度三角形的内角和等于180°课后作业从课后习题中选取；完成练习册本课时的习题.人教版·八年级数学上册授课老师：王老师第2课时三角形的两个锐角互余学习目标理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.情境导入这是我们常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的这两把三角尺，其两锐角的度数之和分别是多少？ABC对任意直角三角形，这个结论还成立吗？都是90°探究新知知识点1直角三角形的性质如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B

+

90°=180°，所以∠A+∠B=90°.由三角形的内角和定理，得直角三角形的两个锐角互余.ABC也就是说直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.直角三角形的表示方法ABC文字语言几何语言直角三角形的两个锐角互余如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°教材P14例题第3题例3

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小.ACDEB教材P14例题第3题ACDEB解：在Rt△AEC中，∠CAE=

90°–∠AEC.∵∠AEC=∠BED

，∴∠CAE=∠DBE.在Rt△BDE中，∠DBE=

90°

–∠BED

.教材P14练习第1题如图，在△ABC，中，∠ACB

=90°，CD⊥AB，垂足为

D.∠ACD

与∠B

有什么关系？为什么？针对训练ACDB解：∠ACD=∠B.理由：∵∠ACB

=90°，CD⊥AB，∴∠ACD

+∠BCD=90°，∠B

+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B.2.如图，∠B=∠C=90°，AD

交BC

于点O，∠A

与∠D

有什么关系？请说明理由.解：∠A=∠D.理由：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.针对训练ACDBO模型归纳F(C)BAEDEFD(A)BCEFDB(A)CB(E)AFD(C)EBC(A)FD知识点2直角三角形的判定思考有两个角互余的三角形是直角三角形吗？CAB你有什么猜想？如何证明你的猜想？知识点2直角三角形的判定即△ABC是直角三角形.ABC猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形.已知：____________________________求证：____________________________△ABC中，∠A+∠B=90°.∠C＝90°.∠A+∠B+∠C=180°.又∵∠A+∠B=

90°，∴∠C=180°

–90°

=90°.证明：由三角形的内角和等于180°，得文字语言几何语言有两个角互余的三角形是直角三角形如图，在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形ACB知识点2直角三角形的判定针对训练1.如图，在△ABC中，∠C=25°，直线a//b，点A

在直线a

上，若∠1

=75°，∠2=40°，则△ABC按角分类属于_____三角形.直角1ACBab240°65°90°教材P14练习第2题2.如图，在△ABC

中，∠C＝90°，点D，E

分别在边AB，AC

上，且∠1

＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？针对训练12ABCDE∵∠C

=90°，∴∠A+∠2

=90°.∴∠ADE=90°.∵∠1

=

∠2，∴∠A+∠1

=90°.解：是直角三角形.理由：∴△ADE是直角三角形.随堂演练