2025-2026学年25.44解直角三角形的应用热点问题6大题型提分练数学沪教版五四制九年级上册

*1、一般步骤1．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳，则此时点D与桌E？（底座AB长为60cm，支架CD垂直平分AB，桌面EF的中点D固定在支架CD处，EF宽为60cm．身高为160cm的使用者MN站立处点M与点A，B在同一条直线上，MA=20cm．点N到点F的距离是视线距离．(1)如图2，当EF∥AB，CD=100cm时，求视线距离NF的长；(2)如图3，使用者坐下时，高度MN下降50cm，当桌面EF与CD的夹角上CDE为35°时，恰有视线NFⅡAB，问需要将支架CD调整到多少cm？（参考数据：sin35°≈0.57，6．数学社团的活动课上，小华想测量学校太阳能路灯的高度．如图，路灯AB与教学楼参考数据：sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43．7．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°.若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B间的距离BE为4cm，求点E8．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度坐板均用线段表示．若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E，D，现测得AB=AC=70cm，DE=18cm，AD=20cm，AP=16cm．图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角α为42°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，CD丄E参考数据：sin40°=0.643,cos40°=0.766,tan40°=0.839）12．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角PF=0.90m，支架AB，PE垂直水平地面，支架CE与14．图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知ABⅡCDⅡEFⅡGH，MC∥BE∥DG∥FO，M，N，P，Q四点分别是AB，CD，EF，GH的中点（N，P两点也分别在BE和DG上FO丄底座HI，垂足为O，经测量，AB=CD(1)求证：四边形MBNC为菱形．eB，eC及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与eA的最高点重合．此时，D的高度为20cm，如图3，拉动OP，使轮子eA，eB在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图@是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均且它们之间的距离为10cm．(1)求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离；图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，(1)求图中AH的高度是多少结果保留整数）(2)求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米？（结果保留整数）劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图@，其要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为撑臂折线PEF和QHG保持平行，PE与基座BC成70°夹角．支撑臂的拐点E与BC的水平距离为32.9cm，边EF与地面平行是长6cm，扇面OK与地面成60°夹角，长为28cm，AD与地面垂直．是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以45°角方向完全伸出“手臂”AB后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移3m到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图@所示，已知21．如图①是一种智能洗地机的示意图，其结构可以抽象成图②的实线部分，线段AC表示滚刷盒，线段AB表示手柄，AB=110cm，AC=20cm．工作时，滚刷盒AC(2)当上BAC=142°时，求手柄顶端离地面的高度BD（精确到0.1cm小甬妈平日使用时，(3)一长方形餐桌高为75cm(PR)，宽为120cm(PQ)，餐桌下地面需清洗，洗地（RS即滚刷盒的点C能否到达点R处？请通过计算说明（精确到0.1cm以O为圆心，OB为半径的圆弧的中点T接触地面，RT表示地面，此时PQⅡMNⅡRT， ≈1.41，τ≈3.14）(2)当木马沿弧AB向前滚动到点A接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示此时，AO与地面夹角为90°.为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面KR，木马静止时到墙角R的距离TR长度最小是多少？（结果保留到十分位）学与古典（传统）文化之间的紧密联系，解题过程23．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点梯，其简单示意图如图2，已知AB=AC=1.8m，AD=1.6m，AC与AB的夹角ÐBACC两点、此时农夫站在离顶端D处0.6m的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在光索道．设计示意图如图@所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A，B两处的DF丄AF，垂足为点F图中所有点都在同一平面内，(1)求索道AB的长（结果精确到1m探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝景介绍而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠实践任务资料查阅即：建筑高度(h)=室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度◆2/半坡宽度W≈0.5．数据表达了古人的审美情趣，现模型初建将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以模型优化屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水图所示，弧和弧是半径为17m、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为15m．补充模型从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如如图5所示，折线C-M1-M2-M3-A为宋代常见的一种屋顶建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB边上的四等分点，过N1作N1P1丄AB交 将降低米得到M1，连接AM1；重复上述步骤，过N2作N2P2丄AB交AM1于P2，将P2降低BC米得到M2，连接AM2；过N3作N3P3丄AB交AC于P3，将P3降低BC米得到M3，连接AM3；“举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折图51料查阅”第一23BC．于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处（PQ丄DQC，E在一条点O，支杆AD与树干PQ的横向距离DQ的宽度AG=2.8米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面BC用、如图，在侧截面示意图中，遮阳棚BC长4米，与水平线的夹角为22°、且靠墙端离地的高AB为4米，当太阳光线CD与地面DA的夹角为60°时，求AD的长结果精确到0.1线FC垂直，支点A在线段FC上，斜杆AB与AC的夹角上BAC=37°,拉杆DE丄AB于点D，(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度EF不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求参考数据吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制遮阳伞的开合， (1)白天时打开遮阳伞，若上a=70°,求遮阳伞宽度CD（结果精确到(2)傍晚时收拢遮阳伞，上a从70°减少到45°,求点E下降的高度（结果精确到0.1m图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB,AC与水平方向的夹撑杆AN=2.2m．(1)如图②,当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离．(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜AO与铅垂线HN成30°夹角，灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．灯杆AC高架AD与灯杆AC所成的上DAC=135°时（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.414）面平行，云梯底端C距离地面3m，云梯AC=25m，在点C测得目标处点A的仰角为70°, 【问题情景】如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑【问题解决】沿离行人还有1m，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（15m≤AC≤26m38．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼？（(2)小华一家决定在该小区中B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如1．B、C两栋楼中各套房子的面积均为100m2．2．A、B、C三栋楼平行排列，A楼在B楼正南方且间距68米，B楼在C楼的正南方且（本题参考值：sin81.4°=0.99，cos81.4°=0.15cos34.88°=0.82，tan34.88°=0.70）一个平面镜MN(如图所示)，经测量，他发现MN与墙面AB所成的角即ÐMNA=118°,墙面AB=8m，ADⅡBM当小明站在点C处，与点A距离2m，且点C在AD上，CM连线与AB平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精BC于F，先证明OF丄BC得到上AF【详解】解：如图所示，延长OA交BC于F，:上AFB=90°,:OF=OA+AF=44cm，:投影探头的端点D到桌面OE的距离为44-8=36cm．角形是解本题的关键．过点D作DH丄AB，交AB延长线于点H，过点C作CF丄AH于F，和DE的长，再由矩形的判定和性质得到CF=EH，最后根据线段的和差计算出DH的长，【详解】解：过点D作DH丄AB，交AB延长线于点H，过点C作CF丄AH于F，过点C:四边形CFHE是矩形，:CF=EH，:DH=DE+EH，:点D与桌面的距离约为50cm，故答案为：50cm．角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问:AB=AC，在Rt△GEP中．:四边形GPQH为矩形，答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度GH为11.5mm．故答案为：11.5(2)高度是增加了，增加了约7.9cm:四边形ABMF为矩形，:DE=24cm，CD=6cm，5．(1)视线距离NF的长为100cm；(2)需要将支架CD调整到85.4cm．（2）连接NF，延长CD交NF于点Q，由题意可得：CQ=MN=110cm，:MC=HD，:NH=MN-HM=160-100=6在Rt△NHF中，由勾股定理得:视线距离NF的长为100cm；（2）解：如图，连接NF，延长CD交NF于点Q，:DQ=24.6cm，:需要将支架CD调整到85.4cm．利用AB=DF=DE-EF即可得到答:四边形ABDF是矩形，AF8即路灯AB的高为4.3m．7．点E到地面的距离约为66.7cm【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点C作CH丄AB于点H，过点E作EF垂直【详解】解：过点C作CH丄AB于点H，过点E作EF垂直AB的延长线于点F．答：点E到地面的距离约为66.7cm．(2)点P到地面的距离约为76.5cm的长，再根据等腰三角形的性质可得BG的长，然后在Rt△ABG中，解直角三角形可得（2）过点P作PQ丄MN于点Q，在Rt△BPQ中，利用正弦的定义求解即可得．:△ADE∽△ACB，在Rt△ABG中，cos上答：椅子的展角ÐBAC的度数约为54°.（2）解：如图，过点P作PQ丄MN于点Q，答：点P到地面的距离约为76.5cm．根据题意，过点A作AE丄BC于点E，可求得CE=BC-BE，得出结论AE垂直平分BC，因此AC=AB=18(cm)．【详解】解：过点A作AE丄BC于点E，如图：:CE=BC-BE=24-12=12(cm)=BE，即AE垂直平分BC，:AC=AB=18(cm)，键．由题意根据已知得出EF的长度以及利用锐角三角函数求出CD的长度即可．答：空调机的底部位置距离床的高度CD约为2.4m．【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，连接BD，过点O作OH丄BD，垂足为点H，利用三线合一和锐角三角函数，求出BD的长即可:BD=2BH,上BOH=上BOD=40°,在Rt△BOH中，【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作BC丄OH，并延长AD交BC于点E，【详解】过点B作BC丄OH，交OH于点C，延长AD交BC于点E，:四边形DECH是矩形，:DH=CE．在Rt△BOC中，BO=3m，2所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长AB，EC交于点M，先求出据此求出AB+BM+EF的值即可得到答案．【详解】解：如图，延长AB，EC交于点M．:上CBM=35°.在Rt△BCM，BC=0.84m，上CBM=35°,:EF=0.15m，:篮框F到水平地面的距离约为3.1m．(2)折叠资料架的高约为147.4cm（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形MBNC:四边形MBNC是平行四边形，:M是AB的中点，AB=44cm，:CM=22cm，:BM=CM=22cm，:四边形MBNC为菱形；由题意得：AT丄HT，AS=CM+N在Rt△HST中，上GHI=48°,:AT=AS+ST=66+81.4=147.4cm，:折叠资料架的高约为147.4cm．【分析】本题主要考查了切线的性质，含30度角根据题意连接BC，延长AO交BC于J，作BQ⊥HI于Q，则AD=BQ=4cm，OJ丄BC，即可得到OJ=OB，即可求解OA的长度；过点F作FS⊥HI于S，则【详解】解：如图2所示，连接BC，延长AO交BC于J，作BQ⊥HI于Q，QΘA，eB，eC的半径均为4cm，:AD=BQ=4cm，:AJ=20-AD-BH=12cm，:x=8，如图2所示，过点F作FS⊥HI于S，则FS=20cm，如图3所示，如图所示，过点B作BM∥HI，过点G作GM⊥BM，连接BG，:BM∥OA，:上GBM=30°,:点G与B的垂直高度差为（1）连接AD，并向两边延长，分别交BC，EF于点M，N，由两圆弧翼成轴对称可得AM=DN，在Rt△ABM中，AM=AB.sin上ABM，MN=AM+DN+AD，进行解答即可．（2）过点A作AG垂直于地面于点G，过点B作BH丄AG交AG于点H，在Rt△ABM中，【详解】（1）如图,连接AD，并向两边延长，分别交BC，EF于点M，N，由题意点A与点D在同一水平线上，BC，EF垂直于地面，可得MN丄BC，MN丄EF，:MN的长度就是BC与EF之间的距离，由两圆弧翼成轴对称可得AM=DN，:BC与EF之间的距离约为66.4cm．（2）如图，过点A作AG垂直于地面于点G，过点B作BH丄AG交AG于点H，:可得AH=BM，:cos上ABM=，:HG=20，(2)此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识，正确作出辅助线，并得出AB=AH-EM+EN是解题的关键（2）过点E作EN丄BC于点N，交HG于点M，则AB=AH-EM+EN，通过解直角三角形可（2）解：过点E作EN丄BC于点N，交HG于点M，则AB=AH-E在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG=m米，则FM=(7-m)米，:0.73m=0.47(7-m)，即：此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米为F，等边对等角求出锐角三角函数求出AF，BF的长，三角形中位线定理求出DE的长，进而求出需要绑绳的长度即可．:DE=BF=0.684m．:他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三由题意得：上RFK=60°,四边形MRKN是矩形:点E应在点R的右侧:RE=EF-RF=1cm，NK=MR=ME-RE=31.9cm:点K到墙壁AD的水平距离为：31.9+3=34.9≈35cm(2)18.4m函数的定义求出CF的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．:“手臂”完全伸出时AB的长度为13m；:路灯挂灯笼位置到地面的距离CG约为18.4m．:符合正常使用要求．所以洗地机不能完全清扫桌面正下方的区域（RS（2）求出到木马向前的最大安全角时D刚好碰到KR时D到AO距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角R的距离TR长度最小值．∵PQⅡMNⅡRT，OT丄RT:OC=CQ:上CQN=37°:CN≈6，:AN=OA-OC-NC≈40-8-6≈40-14(cm)；:的长为23．“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过B作BH丄AC于H，构造包含特殊角的过B作BH丄AC于H，设AH=xm，由含30度角的直角三角形的性质得到【详解】解：过B作BH丄AC于H，:AB=2AH=2xm，:BH=xm，:CH=BH=xm，答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点E作EHTBC于H，先利用三角【详解】解：如图所示，过点E作EHTBC于H，答：农夫所在的E处到地面的高度为2.6米．25．AE（即雕塑的高度）的长为3.1m出AF,EF，即可得出结果．:上BAF=38°,:ABⅡDE，在Rt△ABF中，AB=1.86m，:CE=0.62m，在Rt△ECF中，CE=0.62m，:AE=EF+AF=3.1m，答：AE（即雕塑的高度）的长为3.1m．26．(1)索道AB的长约为594m．(2)水平距离AF的长约为1045m【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练（2）根据AB、CD两段长度相等及CD与水平线夹角为45°求出C到DF的距离即可得到答答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G，QBC∥AF，DF丄AF，:DG丄CG．∴四边形BEFG为矩形．:EF=BG．答：水平距离AF的长约为1045m到N2M2和N3M3的值即可求出BC的长．:AH=2,所以MB=AB∵MO1:△AO1M是等边三角形，在△ABM中，MB=AB，上上AO1B则AB=2AH，BH=AHPABo又因为ÐABC是公共角因为N1是线段AB的四等分点，所以28．(1)遮阳宽度BC为3.46m；(2)点E下降的高度为0.53m．（2）过点E作EF丄AD于点F，得EF=DQ=3m，再在Rt△AEF中锐角三角函数的定义可:BC=2OC≈3.46m，答：遮阳宽度BC为3.46m；:上DFE=90°,:EF=DQ=3m，:点E下降的高度为2.26-1.73=0.53m，答：点E下降的高度为0.53m．29．点E距离地面BC的高度约为5.8米于点M，交AD于点H，设EH的长度为a米，在Rt△FHE中，利用三角函数求得,在Rt△GHE中，利用三角函数求得，再根据FH-GH=FG列方程，【详解】过点E作EM丄BC于点M，交AD于点H，设EH的长度为a米，:FG=AG-AF=2.8-1.5=1.3米，:FH-GH=FG=1.3米，解得a=4.64，答：点E距离地面BC的高度约为5.8米．在Rt△BCE中，解直角三角形得出米，米，证明四边形AECF为矩形，得出 米米，在Rt△CDF中，解直角三角形得出DF≈1.4米，即可 :四边形AECF为矩形，:在Rt△CDF中，tan上在Rt△EDB中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即角函数的定义求出OE的长，从而求出EF的长，进行比较即可解答．:BD=AB-AD≈3-1=2(m)，:上EDB=90°,:该支架的边BE的长为4m；:四边形OFCB是矩形:OF=BC=1.8(m)，在Rt△EOB中:安装雨棚的高度是合格的．(2)点E下降高度为1.6m（1）先根据锐角三角函数的定义可求出OD的长度，然后根据对称性可求出CD的长度．（2）当