专题13有理数的乘方（原卷版）

专题13有理数的乘方1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.2.会求有理数的正整数指数幂.3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则.4.感受发现问题的过程中体会到数学学习的乐趣，从而增进学好数学的自信心.1.有理数的乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；如：，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，；，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．2．有理数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.【题型一】有理数乘方的概念【解题技巧】有理数乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.【典题1】（2021·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是_______;结果是______.【典题2】（2021·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是

A．它们的意义相同 B．它们的结果相等C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等【变式练习】1.（2021·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（）A．的底数是 B．读作：2的3次方C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数2．（2021·湖南常德·七年级期中）表示的意义是（

）A．个相乘的积 B．个相乘的积 C．乘以 D．个相加3．（2021·浙江宁波·七年级期中）对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．底数相同，指数相同B．底数不同，指数不同C．底数相同，运算结果不同D．底数不同，运算结果相同【题型二】有理数乘方的运算【解题技巧】有理数乘方的运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．【典题1】（2021·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（）A．－4 B． C． D．4【典题2】（2022·河北邯郸·三模）计算：（

）A． B． C． D．【变式练习】1．（2022·湖北襄阳·模拟预测）（

）A． B． C． D．2.（2021·山东德州市·七年级期中）计算（）A． B． C． D．【题型三】乘方运算的符号规律【解题技巧】乘方的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．【典题1】（2021·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（）A．与B．与C．与（为正整数）D．与（为正整数）【典题2】（2021·浙江宁波·七年级期中）下列各组数中，结果相等的是（

）A．52与25B．﹣22与（﹣2）2C．﹣34与（﹣3）4D．（﹣1）2与（﹣1）20【变式练习】1.（2021·平山县外国语中学七年级期末）当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=(a)2021；③a2020=(a)2020；④a2021=a2021中，使等式成立的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（

）①与；②与；③与；④与A．0 B．1 C．2 D．3【题型四】有理数乘方的简算【解题技巧】性质：【典题1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）计算的结果是（）A．9 B． C．2 D．【典题2】（2021·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（）A． B． C． D．【变式练习】1．（2021·山东淄博·期中）等于（

）A． B．8 C．0.125 D．2．（2022·全国·七年级）计算的结果是（）A． B． C． D．【题型五】含乘方的混合运算【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【典题1】（2022·全国七年级专题练习）计算：（1）

（2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．【典题2】（2022·全国·七年级）计算：(1)；(2)﹣23÷8﹣×（﹣2）2；(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2；(4)[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．【变式练习】1．（2021·广东梅州·七年级期末）计算：2．（2021·江苏七年级月考）计算：（1），（2），（3），（4）【题型六】有理数乘方的应用（二进制与末位数字问题）【解题技巧】此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。【典题1】（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．【典题2】（2022·全国·七年级单元测试）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【变式练习】1．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（

）A．328 B．362 C．338 D．3342.（2021·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．【题型七】有理数乘方的应用（实际问题）【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。【典题1】（2021·河南许昌·七年级期中）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此第九次后剩下的绳子的长度为（

）A．

B． C．

D．【典题2】（2022·湖北黄冈·九年级）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟【变式练习】1．（2021·浙江湖州·七年级期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次2．（2021·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．1．（2021·河北九年级二模）表示的意义是（）A．B．C．D．2．（2020·浙江台州·七年级期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（）个①互为相反数②互为相反数③互为相反数④互为相反数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021·浙江金华市·七年级期中）所得的结果是（）A． B． C． D．4．（2021·甘肃白银市·七年级期末）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22020的末位数字是()A．2 B．4 C．6 D．85．（2021·江苏省初一期中）已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（）①在25的“分解”结果是15和17两个数．②在42的“分解”结果中最大的数是9．③若m3的“分解”结果中最小的数是23，则m＝5．④若3n的“分解”结果中最小的数是79，则n＝5．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2021·福建省初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（）A．3123 B．3214 C．3258 D．32367.（2021·西安同仁中学初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（）A． B． C． D．8．（2021·湖北荆州·七年级期中）计算＝（）A． B． C． D．9．（2021·江苏苏州市·七年级月考）计算等于（）．A． B． C． D．10．（2022·福建三明·七年级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（

）A． B． C．8 D．1611．（2021·山西晋中·七年级期中）蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（

）A． B． C． D．12．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（

）A．当时， B．若，则m只能是5C．若，则m只能是4 D．随着m的增大，n不一定也增大13．（2022·上海·位育中学期中）的底数是____________．14．（2021·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.15．（2021·湖南广益实验中学）计算：0.252019×42020＝_____．16．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．17．（2021·苏州新草桥中学七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是____．18．（2021·广西柳州市·九年级三模）计算：（﹣3）2×（）3﹣（﹣9＋3）．19．（2021·广西南宁市·南宁二中九年级三模）计算：．20．（2021·山东聊城市·七年级月考）计算：（1）；（2）；21．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：（1）．（2）．（3）（4）22．（2021·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因